Учебно-методическое пособие. -Казань: Казанский государственный
университет, 2009. -39 с.
Предназначено для студентов и аспирантов физического факультета
Казанского государственного университета.
Теория функций Бесселя вправе называться жемчужиной теории специальных функций, которая является ключевым элементом курса математической физики. В ставших классическими монографиях Г.Н. Ватсона, Г.Бейтмена и А.Эрдейи, Н.Н. Лебедева, А.Н.Тихонова и А А.Самарского, Н.С.Кошлякова, Э.Б.Глинера и М.М.Смирнова читатель найдет исчерпывающую информацию о функциях Бесселя, их свойствах и приложениях. Основываясь на собственном опыте преподавания математической физики студентам физического факультета КГУ, автор предлагает вниманию студентов и аспирантов свою версию изложения лекций по теории функций Бесселя, которые, с одной стороны, не отягощены излишней детализацией свойств этих функций, но с другой стороны содержат все самые важные и принципиальные моменты, необходимые в дальнейшем для изучения различных аспектов теоретической физики. Содержание.
Лекция. Цилиндрические функции как фундаментальные решения дифференциального уравнения Бесселя.
Дифференциальные уравнения, определяющие функции Бесселя.
Представление цилиндрических функций с помощью обобщенных степенных рядов.
Функции Бесселя первого рода.
Функции Бесселя второго рода - функции Вебера-Шлефли.
Функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля.
Функции Бесселя мнимого аргумента.
Замечание о дифференциальных уравнениях, сводящихся к уравнениям Бесселя.
Лекция. Интегральные представления функций Бесселя, рекуррентные соотношения и производящая функция.
Представление функций Бесселя с помощью рекуррентных соотношений.
Вывод рекуррентных соотношений.
Приложение рекуррентных соотношений к функциям Бесселя целого индекса (v = n).
Функции Бесселя полуцелого индекса (v=n+1/2).
Представление функций Бесселя целого индекса с помощью производящей функции.
Интегральные представления функций Бесселя.
Интегральное представление, введенное Бесселем для функций целого индекса v=n.
Представление функций Бесселя произвольного индекса v с помощью интеграла Пуассона.
Интегральные представления модифицированных функций Бесселя.
Об асимптотическом поведении функций Бесселя при больших значениях аргумента.
О корнях функций Бесселя.
Лекция. Ряды Фурье-Бесселя и их приложения.
Ортогональность функций Бесселя.
Ряды Фурье-Бесселя.
О некоторых приложениях функций Бесселя.
Задача о распространение тепла в цилиндре конечных размеров.
Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в сферической системе координат.
Функции состояния релятивистского газа.
Литература.
Теория функций Бесселя вправе называться жемчужиной теории специальных функций, которая является ключевым элементом курса математической физики. В ставших классическими монографиях Г.Н. Ватсона, Г.Бейтмена и А.Эрдейи, Н.Н. Лебедева, А.Н.Тихонова и А А.Самарского, Н.С.Кошлякова, Э.Б.Глинера и М.М.Смирнова читатель найдет исчерпывающую информацию о функциях Бесселя, их свойствах и приложениях. Основываясь на собственном опыте преподавания математической физики студентам физического факультета КГУ, автор предлагает вниманию студентов и аспирантов свою версию изложения лекций по теории функций Бесселя, которые, с одной стороны, не отягощены излишней детализацией свойств этих функций, но с другой стороны содержат все самые важные и принципиальные моменты, необходимые в дальнейшем для изучения различных аспектов теоретической физики. Содержание.
Лекция. Цилиндрические функции как фундаментальные решения дифференциального уравнения Бесселя.
Дифференциальные уравнения, определяющие функции Бесселя.
Представление цилиндрических функций с помощью обобщенных степенных рядов.
Функции Бесселя первого рода.
Функции Бесселя второго рода - функции Вебера-Шлефли.
Функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля.
Функции Бесселя мнимого аргумента.
Замечание о дифференциальных уравнениях, сводящихся к уравнениям Бесселя.
Лекция. Интегральные представления функций Бесселя, рекуррентные соотношения и производящая функция.
Представление функций Бесселя с помощью рекуррентных соотношений.
Вывод рекуррентных соотношений.
Приложение рекуррентных соотношений к функциям Бесселя целого индекса (v = n).
Функции Бесселя полуцелого индекса (v=n+1/2).
Представление функций Бесселя целого индекса с помощью производящей функции.
Интегральные представления функций Бесселя.
Интегральное представление, введенное Бесселем для функций целого индекса v=n.
Представление функций Бесселя произвольного индекса v с помощью интеграла Пуассона.
Интегральные представления модифицированных функций Бесселя.
Об асимптотическом поведении функций Бесселя при больших значениях аргумента.
О корнях функций Бесселя.
Лекция. Ряды Фурье-Бесселя и их приложения.
Ортогональность функций Бесселя.
Ряды Фурье-Бесселя.
О некоторых приложениях функций Бесселя.
Задача о распространение тепла в цилиндре конечных размеров.
Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в сферической системе координат.
Функции состояния релятивистского газа.
Литература.