М.: Физматлит, 2005. - 488с.
В настоящем пособии дается систематическое изложение углубленного курса планиметрии. Наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. Стиль изложения, принятый в пособии, заметно отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев авторы не формулируют теоремы и аксиомы заранее, а ищут их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В книге значительное внимание уделяется геометрии Лобачевского, кривым постоянной ширины, изопериметрическим задачам, доказывается целый ряд замечательных теорем планиметрии.
Пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также всех, кого привлекает красота геометрии. Оно может использоваться в классах с углубленным изучением математики, в работе математических кружков и факультативов, служить основным учебником в школах физико-математического профиля.
Из Предисловия:
Настоящее пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, и предназначено, прежде всего, для классов с углубленным изучением математики, для математических кружков и факультативов. Оно состоит из 13 глав, соответствующих главам учебника «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна, В. Ф. бутузова, Сб. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной (М.: Просвещение, 1990 г. и последующие издания). Вместе с тем пособие вполне автономно, что позволяет использовать его как в тех классах, где преподавание геометрии ведется по другим учебникам, так и в качестве основного учебника в школах физико-математического профиля. Следует отметить, что стиль изложения, принятый в пособии, отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев мы не формулируем теоремы и аксиомы заранее, а ищем их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В пособии наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. В частности, значительное внимание уделяется теории параллельных прямых и дается представление о связанной с ней геометрии Лобачевского.
В каждой главе по мере изложения теоретического материала даются задачи с решениями, иллюстрирующие применение тех или иных утверждений. К каждому параграфу главы даны задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами и указаниями. Наиболее трудные задачи и разделы отмечены звездочкой. Имеется также предметный указатель, позволяющий легко ориентироваться в книге. Мы надеемся, что наша книга окажется интересной не только для учителей и учеников из классов с углубленным изучением математики, но и для всех, кого привлекает красота геометрии.
Оглавление.
Предисловие.
Глава 1 Начальные геометрические сведения.
Точки, прямые, отрезки.
Точка.
Прямая линия.
Луч и отрезок.
Несколько задач.
Угол.
Полуплоскость.
Измерение отрезков и углов.
Равенство геометрических фигур.
Сравнение отрезков и углов.
Середина отрезка и биссектриса угла.
Измерение отрезков и углов.
О числах.
Перпендикулярные и параллельные прямые.
Перпендикулярные прямые.
Признаки параллельности двух прямых.
Практические способы построения параллельных прямых.
А есть ли квадрат?
Заключительные замечания.
Глава 2 Треугольники.
Треугольники и их виды.
Треугольник.
Внешний угол треугольника.
Классификация треугольников.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Равнобедренный треугольник.
Теорема об углах равнобедренного треугольника.
Признак равнобедренного треугольника.
Теорема о высоте равнобедренного треугольника.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Обратные теоремы.
Неравенство треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Три признака равенства треугольников.
Есть ли другие признаки равенства треугольников?
Признаки равенства треугольников, использующие медианы, биссектрисы и высоты.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Пять признаков равенства прямоугольных треугольников.
Серединный перпендикуляр к отрезку. Осевая симметрия.
Расстояние от точки до прямой.
Свойство биссектрисы угла.
Теорема о пересечении биссектрис треугольника.
Задачи на построение.
Окружность. Центральная симметрия.
Взаимное расположение прямой и окружности.
Окружность, вписанная в треугольник.
Взаимное расположение двух окружностей.
Построение треугольника по трем сторонам.
Основные задачи на построение.
Еще несколько задач на построение треугольника.
Глава 3 Параллельные прямые.
Аксиома параллельных прямых.
Аксиомы.
Основные понятия.
Система аксиом планиметрии.
Два следствия из аксиом.
О теоремах.
Аксиома параллельных прямых.
О пятом постулате Евклида.
Еще раз о существовании квадрата.
Свойства параллельных прямых.
Расстояние между параллельными прямыми.
Еще один способ построения параллельных прямых.
Задачи на построение.
Глава 4 Дальнейшие сведения о треугольниках.
Сумма углов треугольника. Средняя линия треугольника.
Задача о разрезании треугольника.
Сумма углов треугольника.
Средняя линия треугольника.
Теорема Фалеса.
Неожиданный факт.
Четыре замечательные точки треугольника.
Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Окружность, описанная около треугольника.
Теорема о пересечении высот треугольника.
Размышления о точке пересечения медиан треугольника.
Теорема о пересечении медиан треугольника.
Глава 5 Многоугольники.
Выпуклый многоугольник.
Ломаная.
Многоугольник.
Выпуклый многоугольник.
Выпуклая линия.
Замкнутая линия.
Замкнутая выпуклая линия.
Вписанный многоугольник.
Описанный многоугольник.
Четырехугольники.
Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника.
Характеристическое свойство фигуры.
Параллелограмм.
Теоремы Вариньона и Гаусса.
Прямоугольник, ромб и квадрат.
Трапеция.
Глава 6 Площадь.
Равносоставленные многоугольники.
Задачи на разрезание многоугольников.
составленные многоугольники.
Разрезание квадрата на неравные квадраты.
Понятие площади.
Измерение площади многоугольника.
Площадь произвольной фигуры.
Площадь треугольника.
Площади прямоугольника, параллелограмма и треугольника.
Равновеликие многоугольники.
Метод Евклида.
Две теоремы об отношении площадей треугольников.
Две теоремы о биссектрисах треугольника.
Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины.
Формула Герона и ее приложения.
Формула Герона.
Теорема о медиане.
Формула биссектрисы треугольника.
Теорема Пифагора.
Обобщенная теорема Пифагора.
Задача о разрезании квадратов.
Глава 7 Подобные треугольники.
Признаки подобия треугольников.
Подобие и равенство треугольников.
Другие признаки подобия треугольников.
Тригонометрические функции.
Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
Обобщенная теорема Фалеса.
Следствие из обобщенной теоремы Фалеса.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
Теорема Чевы.
Теорема Менелая.
Задачи на построение.
Среднее геометрическое.
Среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное для двух отрезков.
Метод подобия.
О замечательных точках треугольника.
О высотах треугольника.
О биссектрисах треугольника.
Еще две точки, связанные с треугольником.
Глава 8 Окружность.
Свойства окружности.
Характеристическое свойство окружности.
Задачи на построение.
Кривые постоянной ширины.
Углы, связанные с окружностью.
Вписанные углы.
Углы между хордами и секущими.
Угол между касательной и хордой.
Теорема о квадрате касательной.
Теорема Паскаля.
Вневписанные окружности треугольника.
Глава 9 Векторы.
Сложение векторов.
Сонаправленные векторы.
Равенство векторов.
Сумма векторов.
Умножение вектора на число.
Произведение вектора на число.
Несколько задач.
Глава 10 Метод координат.
Координаты точек и векторов.
Ось координат.
Прямоугольная система координат.
Координаты вектора.
Длина вектора и расстояние между двумя точками.
Теорема Стюарта.
Уравнения прямой и окружности.
Перпендикулярные векторы.
Уравнение прямой.
Уравнение окружности.
Радикальная ось и радикальный центр окружностей.
Радикальная ось двух окружностей.
Расположение радикальной оси относительно окружностей.
Радикальный центр трех окружностей.
Теорема Брианшона.
Гармонические четверки точек.
Примеры гармонических четверок.
Поляра.
Четырехвершинник.
Построение касательной с помощью одной линейки.
Глава 11 Тригонометрические соотношения в треугольнике. Скалярное произведение векторов.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Синус и косинус двойного угла.
Тригонометрические функции произвольных углов.
Формулы приведения.
Еще одна формула площади треугольника.
Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Использование тригонометрических формул при решении геометрических задач.
Синус и косинус суммы и разности углов.
Теорема Морлея.
Площадь четырехугольника.
Площади вписанных и описанных четырехугольников.
Скалярное произведение векторов.
Угол между векторами.
Определение и свойства скалярного произведения векторов.
Теорема Эйлера.
Теорема Лейбница.
Глава 12 Правильные многоугольники. Длина и площадь.
Правильные многоугольники.
Равносторонние и равноугольные многоугольники.
Построение правильных многоугольников.
Длина.
Длина окружности.
Длина линии.
Площадь.
Площадь фигуры.
Первый замечательный предел.
Изопериметрическая задача.
Глава 13 Геометрические преобразования.
Движения.
Осевая симметрия.
Движение.
Использование движений при решении задач.
Центральное подобие.
Свойства центрального подобия.
Теорема Наполеона.
Задача Эйлера.
Прямая Симеона.
Инверсия.
Определение инверсии.
Основные свойства инверсии.
Теорема Птолемея.
Формула Эйлера.
Окружности Аполлония.
Окружности Аполлония нужны даже флибустьерам.
Теорема Фейербаха.
Задача Аполлония.
Приложение 1 Снова о числах.
Неотрицательные вещественные числа.
Сравнение неотрицательных вещественных чисел.
Сложение неотрицательных вещественных чисел.
Умножение положительных вещественных чисел.
Отрицательные вещественные числа.
Точная верхняя грань.
Теорема Вейерштрасса.
Двоичная форма записи числа.
О взаимном расположении прямой и окружности.
Об измерении углов.
О взаимном расположении двух окружностей.
Приложение 2 Снова о геометрии Лобачевского.
Ответы и указания.
Наш блокнот.
Именной указатель.
Предметный указатель.
В настоящем пособии дается систематическое изложение углубленного курса планиметрии. Наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. Стиль изложения, принятый в пособии, заметно отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев авторы не формулируют теоремы и аксиомы заранее, а ищут их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В книге значительное внимание уделяется геометрии Лобачевского, кривым постоянной ширины, изопериметрическим задачам, доказывается целый ряд замечательных теорем планиметрии.
Пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также всех, кого привлекает красота геометрии. Оно может использоваться в классах с углубленным изучением математики, в работе математических кружков и факультативов, служить основным учебником в школах физико-математического профиля.
Из Предисловия:
Настоящее пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, и предназначено, прежде всего, для классов с углубленным изучением математики, для математических кружков и факультативов. Оно состоит из 13 глав, соответствующих главам учебника «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна, В. Ф. бутузова, Сб. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной (М.: Просвещение, 1990 г. и последующие издания). Вместе с тем пособие вполне автономно, что позволяет использовать его как в тех классах, где преподавание геометрии ведется по другим учебникам, так и в качестве основного учебника в школах физико-математического профиля. Следует отметить, что стиль изложения, принятый в пособии, отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев мы не формулируем теоремы и аксиомы заранее, а ищем их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В пособии наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. В частности, значительное внимание уделяется теории параллельных прямых и дается представление о связанной с ней геометрии Лобачевского.
В каждой главе по мере изложения теоретического материала даются задачи с решениями, иллюстрирующие применение тех или иных утверждений. К каждому параграфу главы даны задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами и указаниями. Наиболее трудные задачи и разделы отмечены звездочкой. Имеется также предметный указатель, позволяющий легко ориентироваться в книге. Мы надеемся, что наша книга окажется интересной не только для учителей и учеников из классов с углубленным изучением математики, но и для всех, кого привлекает красота геометрии.
Оглавление.
Предисловие.
Глава 1 Начальные геометрические сведения.
Точки, прямые, отрезки.
Точка.
Прямая линия.
Луч и отрезок.
Несколько задач.
Угол.
Полуплоскость.
Измерение отрезков и углов.
Равенство геометрических фигур.
Сравнение отрезков и углов.
Середина отрезка и биссектриса угла.
Измерение отрезков и углов.
О числах.
Перпендикулярные и параллельные прямые.
Перпендикулярные прямые.
Признаки параллельности двух прямых.
Практические способы построения параллельных прямых.
А есть ли квадрат?
Заключительные замечания.
Глава 2 Треугольники.
Треугольники и их виды.
Треугольник.
Внешний угол треугольника.
Классификация треугольников.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Равнобедренный треугольник.
Теорема об углах равнобедренного треугольника.
Признак равнобедренного треугольника.
Теорема о высоте равнобедренного треугольника.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Обратные теоремы.
Неравенство треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Три признака равенства треугольников.
Есть ли другие признаки равенства треугольников?
Признаки равенства треугольников, использующие медианы, биссектрисы и высоты.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Пять признаков равенства прямоугольных треугольников.
Серединный перпендикуляр к отрезку. Осевая симметрия.
Расстояние от точки до прямой.
Свойство биссектрисы угла.
Теорема о пересечении биссектрис треугольника.
Задачи на построение.
Окружность. Центральная симметрия.
Взаимное расположение прямой и окружности.
Окружность, вписанная в треугольник.
Взаимное расположение двух окружностей.
Построение треугольника по трем сторонам.
Основные задачи на построение.
Еще несколько задач на построение треугольника.
Глава 3 Параллельные прямые.
Аксиома параллельных прямых.
Аксиомы.
Основные понятия.
Система аксиом планиметрии.
Два следствия из аксиом.
О теоремах.
Аксиома параллельных прямых.
О пятом постулате Евклида.
Еще раз о существовании квадрата.
Свойства параллельных прямых.
Расстояние между параллельными прямыми.
Еще один способ построения параллельных прямых.
Задачи на построение.
Глава 4 Дальнейшие сведения о треугольниках.
Сумма углов треугольника. Средняя линия треугольника.
Задача о разрезании треугольника.
Сумма углов треугольника.
Средняя линия треугольника.
Теорема Фалеса.
Неожиданный факт.
Четыре замечательные точки треугольника.
Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Окружность, описанная около треугольника.
Теорема о пересечении высот треугольника.
Размышления о точке пересечения медиан треугольника.
Теорема о пересечении медиан треугольника.
Глава 5 Многоугольники.
Выпуклый многоугольник.
Ломаная.
Многоугольник.
Выпуклый многоугольник.
Выпуклая линия.
Замкнутая линия.
Замкнутая выпуклая линия.
Вписанный многоугольник.
Описанный многоугольник.
Четырехугольники.
Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника.
Характеристическое свойство фигуры.
Параллелограмм.
Теоремы Вариньона и Гаусса.
Прямоугольник, ромб и квадрат.
Трапеция.
Глава 6 Площадь.
Равносоставленные многоугольники.
Задачи на разрезание многоугольников.
составленные многоугольники.
Разрезание квадрата на неравные квадраты.
Понятие площади.
Измерение площади многоугольника.
Площадь произвольной фигуры.
Площадь треугольника.
Площади прямоугольника, параллелограмма и треугольника.
Равновеликие многоугольники.
Метод Евклида.
Две теоремы об отношении площадей треугольников.
Две теоремы о биссектрисах треугольника.
Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины.
Формула Герона и ее приложения.
Формула Герона.
Теорема о медиане.
Формула биссектрисы треугольника.
Теорема Пифагора.
Обобщенная теорема Пифагора.
Задача о разрезании квадратов.
Глава 7 Подобные треугольники.
Признаки подобия треугольников.
Подобие и равенство треугольников.
Другие признаки подобия треугольников.
Тригонометрические функции.
Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
Обобщенная теорема Фалеса.
Следствие из обобщенной теоремы Фалеса.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
Теорема Чевы.
Теорема Менелая.
Задачи на построение.
Среднее геометрическое.
Среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное для двух отрезков.
Метод подобия.
О замечательных точках треугольника.
О высотах треугольника.
О биссектрисах треугольника.
Еще две точки, связанные с треугольником.
Глава 8 Окружность.
Свойства окружности.
Характеристическое свойство окружности.
Задачи на построение.
Кривые постоянной ширины.
Углы, связанные с окружностью.
Вписанные углы.
Углы между хордами и секущими.
Угол между касательной и хордой.
Теорема о квадрате касательной.
Теорема Паскаля.
Вневписанные окружности треугольника.
Глава 9 Векторы.
Сложение векторов.
Сонаправленные векторы.
Равенство векторов.
Сумма векторов.
Умножение вектора на число.
Произведение вектора на число.
Несколько задач.
Глава 10 Метод координат.
Координаты точек и векторов.
Ось координат.
Прямоугольная система координат.
Координаты вектора.
Длина вектора и расстояние между двумя точками.
Теорема Стюарта.
Уравнения прямой и окружности.
Перпендикулярные векторы.
Уравнение прямой.
Уравнение окружности.
Радикальная ось и радикальный центр окружностей.
Радикальная ось двух окружностей.
Расположение радикальной оси относительно окружностей.
Радикальный центр трех окружностей.
Теорема Брианшона.
Гармонические четверки точек.
Примеры гармонических четверок.
Поляра.
Четырехвершинник.
Построение касательной с помощью одной линейки.
Глава 11 Тригонометрические соотношения в треугольнике. Скалярное произведение векторов.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Синус и косинус двойного угла.
Тригонометрические функции произвольных углов.
Формулы приведения.
Еще одна формула площади треугольника.
Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Использование тригонометрических формул при решении геометрических задач.
Синус и косинус суммы и разности углов.
Теорема Морлея.
Площадь четырехугольника.
Площади вписанных и описанных четырехугольников.
Скалярное произведение векторов.
Угол между векторами.
Определение и свойства скалярного произведения векторов.
Теорема Эйлера.
Теорема Лейбница.
Глава 12 Правильные многоугольники. Длина и площадь.
Правильные многоугольники.
Равносторонние и равноугольные многоугольники.
Построение правильных многоугольников.
Длина.
Длина окружности.
Длина линии.
Площадь.
Площадь фигуры.
Первый замечательный предел.
Изопериметрическая задача.
Глава 13 Геометрические преобразования.
Движения.
Осевая симметрия.
Движение.
Использование движений при решении задач.
Центральное подобие.
Свойства центрального подобия.
Теорема Наполеона.
Задача Эйлера.
Прямая Симеона.
Инверсия.
Определение инверсии.
Основные свойства инверсии.
Теорема Птолемея.
Формула Эйлера.
Окружности Аполлония.
Окружности Аполлония нужны даже флибустьерам.
Теорема Фейербаха.
Задача Аполлония.
Приложение 1 Снова о числах.
Неотрицательные вещественные числа.
Сравнение неотрицательных вещественных чисел.
Сложение неотрицательных вещественных чисел.
Умножение положительных вещественных чисел.
Отрицательные вещественные числа.
Точная верхняя грань.
Теорема Вейерштрасса.
Двоичная форма записи числа.
О взаимном расположении прямой и окружности.
Об измерении углов.
О взаимном расположении двух окружностей.
Приложение 2 Снова о геометрии Лобачевского.
Ответы и указания.
Наш блокнот.
Именной указатель.
Предметный указатель.