М. - Л.: ОГИЗ, 1948. — 396 с.
Книга выдающегося российского математика-алгебраиста Н.Г.
Чеботарева знакомит читателя со всем богатством результатов теории
алгебраических функций. В ней последовательно излагаются общая
теория полей, арифметическая теория алгебраических функций с
основными приложениями, основы теории римановых поверхностей и
связанных с ними результатов, а также обзор дальнейших направлений
теории алгебраических функций, классических и современных.
Рекомендуется математикам - студентам, аспирантам и специалистам. Может быть использована в качестве справочника при работе над диссертациями. Предисловие.
Введение.
Теория полей.
Понятия поля и кольца.
Подполя. Простые поля. Характеристика.
Расширения полей. Трансцендентные расширения.
Расширения полей алгебраические.
Кратные корни. Совершенные поля.
След, норма, дискриминант.
Теорема Люрота.
Упражнения к главе I.
Поле алгебраических функций.
Определение поля алгебраических функций.
Кольца и дивизоры в поле рациональных функций.
Кольца в поле алгебраических функций.
Базис и дискриминант кольца.
Нормальный базис.
Дивизоры и идеалы в поле алгебраических функций.
Представление элементов поля через дивизоры .
Случай алгебраически незамкнутого числового поля.
Упражнения к главе II.
Измерение классов.
Семейства и классы дивизоров.
Определение производных.
Представление производных через дивизоры.
Класс дифференциалов.
Измерение класса дифференциалов.
Зависимость жанра от числового поля.
Упражнения к главе III.
Теорема Римана-Роха и ее приложения.
Теорема Римана-Роха.
Продолжение: случай несобственных классов.
Теорема Нётера о пробелах.
Точки Вейерштрасса.
Теорема Клиффорда и ее обобщение.
Теорема Римана-Роха при произвольном числовом поле.
Структура полей алгебраических функций.
Понятие группы преобразований.
Подгруппы, смежные классы, нормальные делители.
Автоморфизм и гомоморфизм. Факторгруппы.
Группа преобразований в себя.
Особые точки.
Теорема Кронекера.
Число параметров поля алгебраических функций.
Подполя.
Результаты Гурвица в теории групп преобразований в себя.
Упражнения к главе V.
Применения теории аналитических функций.
Сведения из общей теории аналитических функций.
Диаграмма Ньютона.
Эффективное нахождение фундаментального базиса.
Упражнения к главе VI.
Риманова поверхность.
Построение римановой поверхности.
Группа монодромии.
Элементарные сведения из топологии.
Порядок связности римановой поверхности.
Число замкнутых вещественных ветвей кривой.
Упражнения к главе VII.
Абелевы интегралы.
Классификация абелевых интегралов.
Периоды абелевых интегралов.
Теорема Абеля.
Упражнения к главе VIII.
Классические проблемы в теории алгебраических функций.
θ-функция.
Римановы θ-функции.
Проблема обращения абелевых интегралов.
Задача, обратная проблеме обращения абелевых интегралов. Поверхности переноса.
Общая теория гиперповерхностей переноса.
Принцип соответствия.
Приведение абелевых интегралов к интегралам в полях.
Функции Аппелля.
Проблема униформизации.
Алгебраические функции многих независимых переменных.
Упражнения к главе IX.
Современные проблемы в теории алгебраических функций.
Рациональные точки на алгебраических кривых.
Z-функция.
Систематический путеводитель по литературе.
Указатель литературы.
Именной указатель.
Предметный указатель.
Рекомендуется математикам - студентам, аспирантам и специалистам. Может быть использована в качестве справочника при работе над диссертациями. Предисловие.
Введение.
Теория полей.
Понятия поля и кольца.
Подполя. Простые поля. Характеристика.
Расширения полей. Трансцендентные расширения.
Расширения полей алгебраические.
Кратные корни. Совершенные поля.
След, норма, дискриминант.
Теорема Люрота.
Упражнения к главе I.
Поле алгебраических функций.
Определение поля алгебраических функций.
Кольца и дивизоры в поле рациональных функций.
Кольца в поле алгебраических функций.
Базис и дискриминант кольца.
Нормальный базис.
Дивизоры и идеалы в поле алгебраических функций.
Представление элементов поля через дивизоры .
Случай алгебраически незамкнутого числового поля.
Упражнения к главе II.
Измерение классов.
Семейства и классы дивизоров.
Определение производных.
Представление производных через дивизоры.
Класс дифференциалов.
Измерение класса дифференциалов.
Зависимость жанра от числового поля.
Упражнения к главе III.
Теорема Римана-Роха и ее приложения.
Теорема Римана-Роха.
Продолжение: случай несобственных классов.
Теорема Нётера о пробелах.
Точки Вейерштрасса.
Теорема Клиффорда и ее обобщение.
Теорема Римана-Роха при произвольном числовом поле.
Структура полей алгебраических функций.
Понятие группы преобразований.
Подгруппы, смежные классы, нормальные делители.
Автоморфизм и гомоморфизм. Факторгруппы.
Группа преобразований в себя.
Особые точки.
Теорема Кронекера.
Число параметров поля алгебраических функций.
Подполя.
Результаты Гурвица в теории групп преобразований в себя.
Упражнения к главе V.
Применения теории аналитических функций.
Сведения из общей теории аналитических функций.
Диаграмма Ньютона.
Эффективное нахождение фундаментального базиса.
Упражнения к главе VI.
Риманова поверхность.
Построение римановой поверхности.
Группа монодромии.
Элементарные сведения из топологии.
Порядок связности римановой поверхности.
Число замкнутых вещественных ветвей кривой.
Упражнения к главе VII.
Абелевы интегралы.
Классификация абелевых интегралов.
Периоды абелевых интегралов.
Теорема Абеля.
Упражнения к главе VIII.
Классические проблемы в теории алгебраических функций.
θ-функция.
Римановы θ-функции.
Проблема обращения абелевых интегралов.
Задача, обратная проблеме обращения абелевых интегралов. Поверхности переноса.
Общая теория гиперповерхностей переноса.
Принцип соответствия.
Приведение абелевых интегралов к интегралам в полях.
Функции Аппелля.
Проблема униформизации.
Алгебраические функции многих независимых переменных.
Упражнения к главе IX.
Современные проблемы в теории алгебраических функций.
Рациональные точки на алгебраических кривых.
Z-функция.
Систематический путеводитель по литературе.
Указатель литературы.
Именной указатель.
Предметный указатель.