Лекции по ЕММ (укр.) - файл ЛК.19 - Економетричні моделі динаміки.doc

Лекции по ЕММ (укр.)
(2608.3 kb.)
Доступные файлы (19):
ЛК.01 - Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.doc263kb.06.12.2010 16:00
ЛК.02 - Введення в оптимізаційні економіко-математичні моделі.doc669kb.06.12.2010 16:03
ЛК.03 - Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.doc2112kb.06.12.2010 16:03
ЛК.04 - Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування.doc760kb.06.12.2010 15:57
ЛК.05 - Введення в теорію двоїстості.doc764kb.06.12.2010 16:01
ЛК.06 - Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.doc409kb.06.12.2010 15:57
ЛК.07 - Аналіз коефіцієнтів лінійних моделей.doc196kb.06.12.2010 16:00
ЛК.08 - Цілочислове лінійне програмування.doc639kb.06.12.2010 15:59
ЛК.09 - Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.doc910kb.06.12.2010 15:57
ЛК.10 - Квадратичне програмування.doc598kb.06.12.2010 15:59
ЛК.11 - Аналіз та управління ризиком в економіці.doc643kb.06.12.2010 15:57
ЛК.12 - Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику.doc434kb.06.12.2010 15:59
ЛК.13 - Ризик у відносному вираженні.doc776kb.06.12.2010 16:01
ЛК.14 - Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.doc214kb.06.12.2010 15:57
ЛК.15 - Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії.doc726kb.06.12.2010 16:00
ЛК.16 - Лінійні моделі множинної регресії.doc319kb.06.12.2010 15:57
ЛК.17 - Економетричний аналіз лінійної функції множинної регресії.doc181kb.06.12.2010 16:01
ЛК.18 - Узагальнені економетричні моделі.doc454kb.06.12.2010 15:58
ЛК.19 - Економетричні моделі динаміки.doc200kb.06.12.2010 15:59

ЛК.19 - Економетричні моделі динаміки.doc

ЛЕКЦІЯ 19.ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ


Анотація

Методи моделювання часових рядів. Перевірка гіпотези про існування тренда. Моделювання тенденції часового ряду: згладжування та аналітичне вирівнювання.

19.1 Методи моделювання часових рядів


При построении эконометрической модели используются два типа данных:

  1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

  2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

^ Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

  1. факторы, формирующие тенденцию ряда;

  2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;

  3. случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Ряди, в яких рівні коливаються навколо постійної середньої, називаються стаціонарними. Економічні ряди, як правило, неста­ціонарні. Для більшості з них характерна систематична зміна рів­нів з нерегулярними коливаннями, коли піки і западини чергую­ться з різною інтенсивністю. Скажімо, економічні цикли (про­мислові, будівельні, фондового ринку тощо) повторюються з різ­ною тривалістю і різною амплітудою коливань.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис.19.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.



Рисунок 19.1

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис.19.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.



Рисунок 19.2

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис.19.3.



Рисунок 19.3

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
^

19.2 Перевірка гіпотези про існування тренда


При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

(19.0)

где

(19.0)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(19.0)

где

(19.0)

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

  1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

  2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
^

19.3 Моделювання тенденції часового ряду: згладжування та аналітичне вирівнювання


Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: ;

гипербола: ;

экспоненциальный тренд: (или );

степенная функция: ;

полиномы различных степеней: .

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Досить поширеним і простим методом аналізу динаміки є згладжування ряду. Суть його полягає в заміні фактичних рівнів yі середніми за певними інтервалами. Варіація середніх порівняно з варіацією рівнів первинного ряду значно менша, а тому харак­тер динаміки проявляється чіткіше. Процедуру згладжування на­зивають фільтруванням, а оператори, за допомогою яких вона здійснюється, — фільтрами. На практиці використовують пере­важно лінійні фільтри, з-поміж яких найпростіший — ковзна середня з інтервалом згладжування т<п. Інтервали поступово зміщуються на один елемент

y1, y2, …, ym;

y2, y3, …, ym 1;

y3, y4, …, ym 2 і т.д.

Для кожного з них визначається середня , яка припадає на середину інтервалу. Якщо т – непарне число, тобто т = 2р 1, а ваги членів ряду в межах інтервалу однакові , то , де уi – фактичне значення рівня в i-й момент; і –порядковий номер рівня в інтервалі.

При парному т середина інтервалу знаходиться між двома ча­совими точками і тоді проводиться додаткова процедура центру­вання (усереднення кожної пари значень).

Ковзна середня з однаковими вагами аr при згладжуванні ди­намічного ряду погашає не лише випадкові, а й властиві конкре­тному процесу періодичні коливання. Припускаючи наявність таких коливань, використовують зважену ковзну середню, тобто кожному рівню в межах інтервалу згладжування надають певну вагу. Способи формування вагової функції різні. В одних випадках ваги відповідають членам розкладання бінома , при m=3, скажімо . В інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліно, наприклад, парабола Тоді вагова функція така:



Як видно з формул, ваги симетричні відносно центра інтерва­лу згладжування, сума їх з урахуванням винесеного за дужки множника дорівнює .

Основна перевага ковзної середньої – наочність і простота тлумачення тенденції. Проте не слід забувати, що ряд ковзних середніх коротший за первинний ряд на рівнів, а отже, втрача­ється інформація про крайні члени ряду. І чим ширший інтервал згладжування, тим відчутніші втрати, особливо нової інформації. Окрім того, маючи спільну основу розрахунку, ковзні середні ви­являються залежними, що при згладжуванні значних коливань навіть за відсутності циклів у первинному ряду може вказувати] на циклічність процесу (ефект Слуцького).

У симетричних фільтрах стара і нова інформація рівновагомі, а при прогнозуванні важливішою є нова інформація. У такому разі використовують асиметричні фільтри. Найпростіший з них – ковзна середня, яка замінює не центральний, а останній член ряду (адаптивна середня):

.

У наведеній формулі перший елемент характеризує інерцію розвитку, другий – адаптує середню до нових умов. Таким чином середня з кожним кроком ніби оновлюється. Ступінь оновлення визначається постійною вагою – .
^

19.4 Моделирование сезонных колебаний


Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

. (19.0)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

. (19.0)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

  1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

  2. Расчет значений сезонной компоненты .

  3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной или () в мультипликативной модели.

  4. Аналитическое выравнивание уровней () или () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

  5. Расчет полученных по модели значений () или ().

  6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.




Учебный материал
© studmed.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации