М.: Либроком, 2009. — 120 с.
Чем, собственно, занимается математика? Почему она долго являлась
наименее популярной из всех наук, несмотря на то, что вся
человеческая культура имеет подлинной своей основой математические
науки? Каким образом она играет в нашей культуре ту выдающуюся
роль, какая фактически все же выпала на ее долю? В чем состоит
сущность математики? Эти и другие вопросы рассмотрены в книге
немецкого ученого, посвященной сущности математики, в том числе и с
точки зрения исторического развития этой науки.
Книга адресована ученым-математикам и философам, аспирантам и студентам вузов, всем, кто интересуется историей и методологией математики. Значение математики для развития и для понимания нашей технически-научной культуры
Несколько слов относительно общего понимания сущности и задач математики
Очерк исторического развития математики от древнейших времен до настоящего времени
Начатки математического знания. Математика египтян. Математика у греков и у индусов. Математика в средние века. Математика к концу XVI в. Проблема касательной и вычисления площадей. Аналитическая геометрия. Понятие функции. Учение о движении. Скорость и ускорение. Начатки исчисления бесконечно-малых. Кеплер и Ньютон. Ньютон и Лейбниц. Исчисление бесконечно-малых в XVIII в.
Чистая математика как наука о числах Что такое математика? Понятие математики. Чистая математика как наука о числах. Исчисление бесконечно-малых в первоначальной его стадии.
Математическое познание в XIX веке Арифметизирование математики. Развитие теории чисел. Основы теории чисел. Целые числа. Дробные и отрицательные числа. Мнимые числа. Принцип перманентности. Комплексные числа. Кватернионы и гиперкомплексные числа. Иррациональные числа. Учение о пропорциях у греков. Теория иррациональных чисел Дедекинда. Континуум вещественных чисел. Общее понятие числа. Дифференциал у Лейбница и у Эйлера. Понятие предела у Больцано и Коши. Арифметика иррациональных чисел. Линейный континуум. Учение о величинах. Расширения понятия числа. Понятие функции. Функции комплексных переменных. Аналитические функции. Мнимые числа в анализе. Дифференциальные уравнения. Существование решений. Характер решений. Дифференциальные уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Определенный интеграл. Учение о множествах. Эквивалентность множеств. Парадоксы теории множеств. Трансфинитные множества. Континуум. Понятие измерения. Понятие кривой. Порядковый тип множества. Трансфинитные порядковые числа. Полная упорядоченность континуума. Точечные множества. Определенный интеграл у Коши и Риманна. Интегрируемые функции. Основная теорема интегрального исчисления. Область приложений математики. Геометрия и механика
Интуиция и понятие числа. Геометрия Евклида. Гаусс и Лобачевский. Риманн. Понятие и интуиция в геометрии. Мера кривизны пространства. Не-евклидовы геометрии. Их наглядность. He-евклидова геометрия. Отсутствие в ней противоречий. Новейшая аксиоматика. Механика. Теория относительности. Координатная система теории относительности. Измерение времени. Преобразования Лоренца. Новая механика Аксиоматика в арифметике
Прогресс математического знания Принцип индукции. Развитие и прогресс в математике. Объективная ценность математика
Необходимость основательной математической подготовки, реформа преподавания математики Заключение
Указатель имен и предметов
Книга адресована ученым-математикам и философам, аспирантам и студентам вузов, всем, кто интересуется историей и методологией математики. Значение математики для развития и для понимания нашей технически-научной культуры
Несколько слов относительно общего понимания сущности и задач математики
Очерк исторического развития математики от древнейших времен до настоящего времени
Начатки математического знания. Математика египтян. Математика у греков и у индусов. Математика в средние века. Математика к концу XVI в. Проблема касательной и вычисления площадей. Аналитическая геометрия. Понятие функции. Учение о движении. Скорость и ускорение. Начатки исчисления бесконечно-малых. Кеплер и Ньютон. Ньютон и Лейбниц. Исчисление бесконечно-малых в XVIII в.
Чистая математика как наука о числах Что такое математика? Понятие математики. Чистая математика как наука о числах. Исчисление бесконечно-малых в первоначальной его стадии.
Математическое познание в XIX веке Арифметизирование математики. Развитие теории чисел. Основы теории чисел. Целые числа. Дробные и отрицательные числа. Мнимые числа. Принцип перманентности. Комплексные числа. Кватернионы и гиперкомплексные числа. Иррациональные числа. Учение о пропорциях у греков. Теория иррациональных чисел Дедекинда. Континуум вещественных чисел. Общее понятие числа. Дифференциал у Лейбница и у Эйлера. Понятие предела у Больцано и Коши. Арифметика иррациональных чисел. Линейный континуум. Учение о величинах. Расширения понятия числа. Понятие функции. Функции комплексных переменных. Аналитические функции. Мнимые числа в анализе. Дифференциальные уравнения. Существование решений. Характер решений. Дифференциальные уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Определенный интеграл. Учение о множествах. Эквивалентность множеств. Парадоксы теории множеств. Трансфинитные множества. Континуум. Понятие измерения. Понятие кривой. Порядковый тип множества. Трансфинитные порядковые числа. Полная упорядоченность континуума. Точечные множества. Определенный интеграл у Коши и Риманна. Интегрируемые функции. Основная теорема интегрального исчисления. Область приложений математики. Геометрия и механика
Интуиция и понятие числа. Геометрия Евклида. Гаусс и Лобачевский. Риманн. Понятие и интуиция в геометрии. Мера кривизны пространства. Не-евклидовы геометрии. Их наглядность. He-евклидова геометрия. Отсутствие в ней противоречий. Новейшая аксиоматика. Механика. Теория относительности. Координатная система теории относительности. Измерение времени. Преобразования Лоренца. Новая механика Аксиоматика в арифметике
Прогресс математического знания Принцип индукции. Развитие и прогресс в математике. Объективная ценность математика
Необходимость основательной математической подготовки, реформа преподавания математики Заключение
Указатель имен и предметов