Перевод с английского Блохина А.А., Аракелова С.Ю. — М.: Мир, 1972.
— 279 с. — (Современная математика. Популярная серия).
Книга составлена из двух небольших и хорошо дополняющих одно другое
сочинений известных американских учёных. Она может служить для
первоначального ознакомления с новой математической дисциплиной,
интерес к которой за последние годы очень возрос. Идеи
дифференциальной топологии оказались чрезвычайно плодотворными в
геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений, а также
в различных приложениях математики. Авторы излагают начальные
понятия этой дисциплины, иллюстрируя их большим количеством
примеров.
Книгу следует рекомендовать всем, начинающим изучать современную математику. Она доступна для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов, но будет также интересна как специалистам, так и всем, кто желает получить представление о математике наших дней. Предисловие редактора перевода
А. Уоллес. Дифференциальная топология. Первые шаги
Предисловие Топологические пространства
Окрестности
Открытые и замкнутые множества
Непрерывные отображения
Топологические произведения
Связность
Компактность
Пространства со счётной базой Гладкие многообразия
Введение
Гладкие функции и гладкие отображения
Гладкие многообразия
Локальные координаты и гладкие функции
Гладкие отображения
Ранг гладкого отображения
Многообразия с краем Подмногообразия
Определение
Многообразия в евклидовом пространстве
Теорема о вложении
Вложение многообразия с краем Касательные пространства и критические точки
Касательные прямые
Критические точки
Невырожденные критические точки
Усиление теоремы о вложении Критические и некритические уровни
Определения и примеры
Окрестность критического уровня; разбор одного примера
Окрестность критического уровня; общее обсуждение
Окрестность критической точки
Окрестность критического уровня; итоги Сферические перестройки
Введение
Прямое вложение
Определение перестроек
Плёнка, реализующая перестройку
Бордантные многообразия
Малые шевеления и изотопия
Приведение в общее положение
Перегруппировка перестроек
Интерпретация теоремы 6.5 в терминах критических точек Двумерные многообразия
Введение
Ориентируемые двумерные многообразия
Неориентируемый случай
Теорема о трёхмерных многообразиях Последующие шаги
Убивание гомотопитических классов
Компенсирующие перестройки и сокращение
Приложение к трёхмерным многообразиям Дж. Милнор. Топология с дифференциальной точки зрения
Предисловие
Гладкие многообразия и гладкие отображения
Касательные пространства и производные
Регулярные значения
Основная теорема алгебры Теорема Сарда и Брауна
Многообразия с краем
Теорема Брауэра о неподвижной точке Доказательство теоремы Сарда
Степень отображения по модулю 2
Гладкая гомотопия и гладкая изотопия Ориентированные многообразия
Степень Брауэра Векторные поля и эйлерова характеристика Оснащённый бордизм; конструкция Понтрягина
Теорема Хопфа Упражнения Приложение. Классификация одномерных многообразий
Заключительные замечания и рекомендуемая литература
Литература
Список обозначений Предметный указатель
Книгу следует рекомендовать всем, начинающим изучать современную математику. Она доступна для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов, но будет также интересна как специалистам, так и всем, кто желает получить представление о математике наших дней. Предисловие редактора перевода
А. Уоллес. Дифференциальная топология. Первые шаги
Предисловие Топологические пространства
Окрестности
Открытые и замкнутые множества
Непрерывные отображения
Топологические произведения
Связность
Компактность
Пространства со счётной базой Гладкие многообразия
Введение
Гладкие функции и гладкие отображения
Гладкие многообразия
Локальные координаты и гладкие функции
Гладкие отображения
Ранг гладкого отображения
Многообразия с краем Подмногообразия
Определение
Многообразия в евклидовом пространстве
Теорема о вложении
Вложение многообразия с краем Касательные пространства и критические точки
Касательные прямые
Критические точки
Невырожденные критические точки
Усиление теоремы о вложении Критические и некритические уровни
Определения и примеры
Окрестность критического уровня; разбор одного примера
Окрестность критического уровня; общее обсуждение
Окрестность критической точки
Окрестность критического уровня; итоги Сферические перестройки
Введение
Прямое вложение
Определение перестроек
Плёнка, реализующая перестройку
Бордантные многообразия
Малые шевеления и изотопия
Приведение в общее положение
Перегруппировка перестроек
Интерпретация теоремы 6.5 в терминах критических точек Двумерные многообразия
Введение
Ориентируемые двумерные многообразия
Неориентируемый случай
Теорема о трёхмерных многообразиях Последующие шаги
Убивание гомотопитических классов
Компенсирующие перестройки и сокращение
Приложение к трёхмерным многообразиям Дж. Милнор. Топология с дифференциальной точки зрения
Предисловие
Гладкие многообразия и гладкие отображения
Касательные пространства и производные
Регулярные значения
Основная теорема алгебры Теорема Сарда и Брауна
Многообразия с краем
Теорема Брауэра о неподвижной точке Доказательство теоремы Сарда
Степень отображения по модулю 2
Гладкая гомотопия и гладкая изотопия Ориентированные многообразия
Степень Брауэра Векторные поля и эйлерова характеристика Оснащённый бордизм; конструкция Понтрягина
Теорема Хопфа Упражнения Приложение. Классификация одномерных многообразий
Заключительные замечания и рекомендуемая литература
Литература
Список обозначений Предметный указатель