Московский государственный университет экономики, статистики и
информатики, 2001, 261с.
Содержание.
Векторная алгебра.
Понятие вектора и линейные операции над векторами.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами.
Понятие линейной зависимости векторов.
Линейные комбинации двух векторов.
Линейные комбинации трех векторов.
Линейная зависимость четырех векторов.
Понятие базиса. Аффинные координаты.
Проекция вектора на ось.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве (ДПСК).
Скалярное произведение двух векторов.
Определение скалярного произведения (СП).
Геометрические свойства СП.
Алгебраические свойства СП.
Выражение скалярного произведения (СП) в декартовых прямоугольных координатах (ДПК).
Векторное произведение двух векторов.
Правые и левые тройки векторов и системы координат.
Векторное произведение двух векторов (ВП).
Геометрические свойства ВП.
Алгебраические свойства векторного произведения (ВП).
Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка.
Выражение векторного произведения (ВП) в декартовых прямоугольных координатах (ДПК).
Смешанное произведение трех векторов.
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
Уравнение линии на плоскости.
Параметрическое представление линии.
Уравнение линии в полярных координатах.
Пересечение двух линий.
Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
Различные виды уравнений прямой на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в отрезках.
Каноническое уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.
Кривые второго порядка.
Эллипс.
Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.
Исследование формы эллипса.
Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса.
Гипербола.
Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения.
Исследование формы гиперболы.
Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы.
Парабола.
Определение параболы и ее уравнение.
Исследование формы параболы.
Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы.
Директриса эллипса и параболы.
Полярное уравнение кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Плоскость как поверхность первого порядка.
Неполные уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Уравнение прямой в пространстве.
Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой.
Некоторые дополнительные предложения и примеры.
Введение в математический анализ.
Основные понятия о множествах, логическая символика.
Некоторые сведения о множествах.
Вещественные числа и их изображение на числовой оси. Основные свойства рациональных чисел.
Ограниченные множества вещественных чисел.
Некоторые конкретные множества вещественных чисел.
Теория последовательностей.
Понятие числовой последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях.
Сходящиеся последовательности. Основные определения.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Монотонные последовательности.
Число е.
Предельный переход в неравенствах.
Подпоследовательности числовых последовательностей.
Предельные точки последовательности.
Понятие функции. Предел функции. Непрерывность.
Определение функции.
Способы задания функций.
Монотонные функции.
Сложная функция.
Обратная функция.
Допустимые области определения функций.
Определение предела функции в точке.
Односторонние пределы.
Пределы на бесконечности.
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Предельный переход в функциональных неравенствах.
Определение непрерывности функции в точке и на множестве.
Арифметические действия над непрерывными функциями.
Сложная функция и ее непрерывность.
Замечательные пределы.
Точки разрыва функций.
Свойства непрерывных функций.
Дифференциальное исчисление.
Определение производной.
Геометрический смысл производной.
Дифференциируемость функции.
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Вычисления производных некоторых элементарных функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала функции.
Дифференциал независимой переменной.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Свойства дифференцируемых функций.
Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
Теорема о нуле производной.
Формула конечных приращений (теорема Лагранжа).
Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша).
Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано.
Формула Маклорена.
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
Приложения формулы Маклорена. Приближенное вычисление числа е.
Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена.
Исследование поведения функций с помощью производных.
Условие постоянства функций.
Признак монотонности функции.
Экстремум дифференцируемой функции.
Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке.
Направление выпуклости графика функции.
Точки перегиба графика функции.
Теоремы о достаточных условиях перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции.
Примеры построения графиков функций.
Неопределенный интеграл.
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Интегрирование по частям.
Метод неопределенных коэффициентов.
Метод вычеркивания.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрируемость рациональной дроби.
Интегрирование некоторых иррациональностей.
Рациональные функции от нескольких аргументов.
Интегрирование выражений вида.
Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его геометрические приложения.
Интегрируемость функции на сегменте.
Верхние и нижние суммы и их свойства.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.
Равномерная непрерывность функции на множестве.
Основные свойства определенного интеграла.
Первая и вторая формулы среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
Квадратируемость и площадь плоской фигуры.
Объем тела вращения.
Обобщение понятия определенного интеграла.
.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Функции нескольких переменных.
Множества в евклидовом пространстве Rm.
Последовательности точек из Rm.
Понятие функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных.
Основные свойства непрерывных функций.
Дифференцируемость функций нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Достаточное условие дифференцируемости.
Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y).
Дифференцирование сложной функции.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
Частные производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора.
Неявные функции.
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум функции нескольких переменных.
Двойные интегралы.
Условия существования двойного интеграла и его свойства.
Вычисление двойных интегралов.
Замена переменных в двойном интеграле.
Ряды.
Числовые ряды.
Основные понятия.
Основные теоремы.
Сходимость положительных рядов.
Теоремы сравнения рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши-Маклорена.
Знакопеременные ряды.
Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды.
Свойства степенных рядов.
Разложение функций в степенные ряды.
Дифференциальные уравнения.
Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений.
Общий и частный интегралы. Общее и частное решения.
Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка.
Интегрируемые типы дифференциальных уравнений.
первого порядка.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией.
Уравнения в полных дифференциалах.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Содержание.
Векторная алгебра.
Понятие вектора и линейные операции над векторами.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами.
Понятие линейной зависимости векторов.
Линейные комбинации двух векторов.
Линейные комбинации трех векторов.
Линейная зависимость четырех векторов.
Понятие базиса. Аффинные координаты.
Проекция вектора на ось.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве (ДПСК).
Скалярное произведение двух векторов.
Определение скалярного произведения (СП).
Геометрические свойства СП.
Алгебраические свойства СП.
Выражение скалярного произведения (СП) в декартовых прямоугольных координатах (ДПК).
Векторное произведение двух векторов.
Правые и левые тройки векторов и системы координат.
Векторное произведение двух векторов (ВП).
Геометрические свойства ВП.
Алгебраические свойства векторного произведения (ВП).
Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка.
Выражение векторного произведения (ВП) в декартовых прямоугольных координатах (ДПК).
Смешанное произведение трех векторов.
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
Уравнение линии на плоскости.
Параметрическое представление линии.
Уравнение линии в полярных координатах.
Пересечение двух линий.
Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
Различные виды уравнений прямой на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в отрезках.
Каноническое уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.
Кривые второго порядка.
Эллипс.
Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.
Исследование формы эллипса.
Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса.
Гипербола.
Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения.
Исследование формы гиперболы.
Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы.
Парабола.
Определение параболы и ее уравнение.
Исследование формы параболы.
Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы.
Директриса эллипса и параболы.
Полярное уравнение кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Плоскость как поверхность первого порядка.
Неполные уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Уравнение прямой в пространстве.
Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой.
Некоторые дополнительные предложения и примеры.
Введение в математический анализ.
Основные понятия о множествах, логическая символика.
Некоторые сведения о множествах.
Вещественные числа и их изображение на числовой оси. Основные свойства рациональных чисел.
Ограниченные множества вещественных чисел.
Некоторые конкретные множества вещественных чисел.
Теория последовательностей.
Понятие числовой последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях.
Сходящиеся последовательности. Основные определения.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Монотонные последовательности.
Число е.
Предельный переход в неравенствах.
Подпоследовательности числовых последовательностей.
Предельные точки последовательности.
Понятие функции. Предел функции. Непрерывность.
Определение функции.
Способы задания функций.
Монотонные функции.
Сложная функция.
Обратная функция.
Допустимые области определения функций.
Определение предела функции в точке.
Односторонние пределы.
Пределы на бесконечности.
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Предельный переход в функциональных неравенствах.
Определение непрерывности функции в точке и на множестве.
Арифметические действия над непрерывными функциями.
Сложная функция и ее непрерывность.
Замечательные пределы.
Точки разрыва функций.
Свойства непрерывных функций.
Дифференциальное исчисление.
Определение производной.
Геометрический смысл производной.
Дифференциируемость функции.
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Вычисления производных некоторых элементарных функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала функции.
Дифференциал независимой переменной.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Свойства дифференцируемых функций.
Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.
Теорема о нуле производной.
Формула конечных приращений (теорема Лагранжа).
Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша).
Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано.
Формула Маклорена.
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
Приложения формулы Маклорена. Приближенное вычисление числа е.
Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена.
Исследование поведения функций с помощью производных.
Условие постоянства функций.
Признак монотонности функции.
Экстремум дифференцируемой функции.
Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке.
Направление выпуклости графика функции.
Точки перегиба графика функции.
Теоремы о достаточных условиях перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции.
Примеры построения графиков функций.
Неопределенный интеграл.
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Интегрирование по частям.
Метод неопределенных коэффициентов.
Метод вычеркивания.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрируемость рациональной дроби.
Интегрирование некоторых иррациональностей.
Рациональные функции от нескольких аргументов.
Интегрирование выражений вида.
Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его геометрические приложения.
Интегрируемость функции на сегменте.
Верхние и нижние суммы и их свойства.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.
Равномерная непрерывность функции на множестве.
Основные свойства определенного интеграла.
Первая и вторая формулы среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
Квадратируемость и площадь плоской фигуры.
Объем тела вращения.
Обобщение понятия определенного интеграла.
.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Функции нескольких переменных.
Множества в евклидовом пространстве Rm.
Последовательности точек из Rm.
Понятие функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных.
Основные свойства непрерывных функций.
Дифференцируемость функций нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Достаточное условие дифференцируемости.
Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y).
Дифференцирование сложной функции.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
Частные производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора.
Неявные функции.
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум функции нескольких переменных.
Двойные интегралы.
Условия существования двойного интеграла и его свойства.
Вычисление двойных интегралов.
Замена переменных в двойном интеграле.
Ряды.
Числовые ряды.
Основные понятия.
Основные теоремы.
Сходимость положительных рядов.
Теоремы сравнения рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши-Маклорена.
Знакопеременные ряды.
Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды.
Свойства степенных рядов.
Разложение функций в степенные ряды.
Дифференциальные уравнения.
Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений.
Общий и частный интегралы. Общее и частное решения.
Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка.
Интегрируемые типы дифференциальных уравнений.
первого порядка.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией.
Уравнения в полных дифференциалах.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.