2012г. 28 стр.
Решения к Н.Г. Гмурман "Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике". Часть 3
Элементы математической статистики
Глава 10: Статистические оценки параметров распределения
Параграф 1: Точечные оценки
451. Из генеральной совокупности извлечена выборка
объема n=60:
х 1 3 6 26
n 8 40 10 2
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
454. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n= 20:
X 2560 2600 2620 2650 2700
n 2 3 10 4 1
456. По выборке объема n = 51 найдена смещенная оценка = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
455. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка Dв= 3 генеральной дисперсии.
Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
458. В итоге четырех измерений некоторой физической
величины одним прибором (без систематических ошибок)
получены следующие результаты: 8; 9; 11;
12. Найти:
а) выборочную среднюю результатов измерений;
б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
459. Ниже приведены результаты измерения роста
(в см) случайно отобранных 100 студентов.
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.
Указание. Найти середины интервала и принять их в качестве
вариант.
461. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:
Х 340 360 375 380
n 20 50 18 12
462. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100 :
X 2502 2804 2903 3028
n 8 30 60 2
464. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 50:
xi 0,1 0,5 0,6 0,8
n 5 15 20 10
465. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n= 50:
Xi 18,4 18,9 19,3 19,6
n 5 1 0 20 15
467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
Xi 1250 1275 1280 1300
n 20 25 50 5
469. Найти исправленную выборочную дисперсию по
данному распределению выборки объема n= 20:
Xi 0,1 0,5 0,7 0,9
n 6 12 1 1
470. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n= 10:
х 23,5 26,1 28,2 30,4
n 2 3 4 1 Параграф 2: Метод моментов
472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество х сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n—число проб, содержащих х семян сорняков):
x О 1 2 3 4 5 6
п 405 366 175 40 8 4 2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n = 200 партиях (в первой строке указано количество x- нестандартных изделий в одной партии;во второй строке указана частота n — число партий, содержащих x нестандартных изделий):
x О 1 2 3 4
n 132 43 20 3 2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра x распределения Пуассона.
474. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра р биномиального распределения
где x — число появлений события в i-м опыте (i = 1, 2,. . . ,n),
т — количество испытаний в одном опыте.
У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический момент первого
порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка
475. Случайная величина x (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р.
Ниже приведено эмпирическое распределение
числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний
в каждом (в первой строке указано число Xi появлений
события А в одном опыте; во второй строке указана
частота n — количество опытов, в которых наблюдалось
Xi появлений события A):
x О 1 2 3 4
n 5 2 1 1 1
Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения.
476. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn
точечную оценку неизвестного параметра x показательного
распределения, плотность которого ….
477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение.
Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время х работы элемента в часах; во второй строке указана частота n-количество элементов»
проработавших в среднем x часов):
Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
ni 133 45 15 4 2 1
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного
параметра показательного распределения.
478. Найти методом моментов точечную оценку параметра р (вероятности) геометрического распределения
где xi—число испытаний, произведенных до появления события;
р—вероятность появления события в одном испытании.
482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.
Испытания пяти элементов дали следующие наработки
(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300.
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β , которыми определяется гамма-распределение.
483. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn
точечные оценки неизвестных параметров а и δ нормального
распределения, плотность которого дана.
484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами а и δ.
Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения
от номинала n = 200 изделий (в первой строке указано отклонение хi- (мм); во второй строке приведена
частота n — количество изделий, имеющих отклонение Xi):
Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3
n 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и δ нормального распределения.
485. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn точечные оценки параметров а и b равномерного распределения,
плотность которого f (х) = 1/(b—а) (b а).
486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и b.
Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n = 200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка x; во второй строке указана
частота п—количество измерений, имеющих среднюю ошибку x):
x 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
п 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.
488. Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона.
Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n = 327 испытаниях (в первой строке указано число х- появлений события; во второй строке приведена частота n — количество испытаний, в которых появилось x событий):
x О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 1
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров «двойного распределения» Пуассона. Параграф 3: Метод наибольшего правдоподобия
490. Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число xi появлений события в одном опыте из m = 1 0 испытаний, во второй строке приведена
частота ni—число опытов, в которых наблюдалось хi появлений события А):
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
ni 2 3 10 22 26 20 12 5
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную
оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.
491. Случайная величина X (число появлений события А m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром :
где т—число испытаний в одном опыте, хi—число появлений события в i-M опыте ( i = 1 , 2, . . . , n).
Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром. Ниже
приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество х поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота n — число контейнеров, содержащих х поврежденных изделий):
x О 1 2 3 4 5 6 7
n 199 169 87 31 9 3 1 1
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.
494. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное. Ниже приведено эмпирическое распределение
среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке
указано среднее время x безотказной работы одного
элемента в часах; во второй строке указана частота
n—количество элементов, проработавших в среднем x
часов):
x 5 15 25 35 45 55 65
n 365 245 150 100 70 45 25
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную
оценку неизвестного параметра показательного распределения.
495. Найти методом наибольшего правдоподобия по
выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра р гамма- распределения (параметр α известен), плотность которого дана.
496. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.
Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250,
300. Найти методом наибольшего правдоподобия
точечную оценку одного неизвестного параметра β гамма- распределения, если второй параметр этого распределения α = 1,12.
498. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра α (параметр δ известен) распределения Кэптейна, плотность которого
где g{x)—дифференцируемая функция.
499. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра δ (параметр α известен) распределения Кэптейна.
(решебник)
Решения к Н.Г. Гмурман "Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике". Часть 3
Элементы математической статистики
Глава 10: Статистические оценки параметров распределения
Параграф 1: Точечные оценки
451. Из генеральной совокупности извлечена выборка
объема n=60:
х 1 3 6 26
n 8 40 10 2
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
454. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n= 20:
X 2560 2600 2620 2650 2700
n 2 3 10 4 1
456. По выборке объема n = 51 найдена смещенная оценка = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
455. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка Dв= 3 генеральной дисперсии.
Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
458. В итоге четырех измерений некоторой физической
величины одним прибором (без систематических ошибок)
получены следующие результаты: 8; 9; 11;
12. Найти:
а) выборочную среднюю результатов измерений;
б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
459. Ниже приведены результаты измерения роста
(в см) случайно отобранных 100 студентов.
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.
Указание. Найти середины интервала и принять их в качестве
вариант.
461. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:
Х 340 360 375 380
n 20 50 18 12
462. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100 :
X 2502 2804 2903 3028
n 8 30 60 2
464. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 50:
xi 0,1 0,5 0,6 0,8
n 5 15 20 10
465. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n= 50:
Xi 18,4 18,9 19,3 19,6
n 5 1 0 20 15
467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
Xi 1250 1275 1280 1300
n 20 25 50 5
469. Найти исправленную выборочную дисперсию по
данному распределению выборки объема n= 20:
Xi 0,1 0,5 0,7 0,9
n 6 12 1 1
470. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n= 10:
х 23,5 26,1 28,2 30,4
n 2 3 4 1 Параграф 2: Метод моментов
472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество х сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n—число проб, содержащих х семян сорняков):
x О 1 2 3 4 5 6
п 405 366 175 40 8 4 2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n = 200 партиях (в первой строке указано количество x- нестандартных изделий в одной партии;во второй строке указана частота n — число партий, содержащих x нестандартных изделий):
x О 1 2 3 4
n 132 43 20 3 2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра x распределения Пуассона.
474. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра р биномиального распределения
где x — число появлений события в i-м опыте (i = 1, 2,. . . ,n),
т — количество испытаний в одном опыте.
У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический момент первого
порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка
475. Случайная величина x (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р.
Ниже приведено эмпирическое распределение
числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний
в каждом (в первой строке указано число Xi появлений
события А в одном опыте; во второй строке указана
частота n — количество опытов, в которых наблюдалось
Xi появлений события A):
x О 1 2 3 4
n 5 2 1 1 1
Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения.
476. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn
точечную оценку неизвестного параметра x показательного
распределения, плотность которого ….
477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение.
Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время х работы элемента в часах; во второй строке указана частота n-количество элементов»
проработавших в среднем x часов):
Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
ni 133 45 15 4 2 1
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного
параметра показательного распределения.
478. Найти методом моментов точечную оценку параметра р (вероятности) геометрического распределения
где xi—число испытаний, произведенных до появления события;
р—вероятность появления события в одном испытании.
482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.
Испытания пяти элементов дали следующие наработки
(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300.
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β , которыми определяется гамма-распределение.
483. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn
точечные оценки неизвестных параметров а и δ нормального
распределения, плотность которого дана.
484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами а и δ.
Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения
от номинала n = 200 изделий (в первой строке указано отклонение хi- (мм); во второй строке приведена
частота n — количество изделий, имеющих отклонение Xi):
Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3
n 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и δ нормального распределения.
485. Найти методом моментов по выборке x1,x2, … , xn точечные оценки параметров а и b равномерного распределения,
плотность которого f (х) = 1/(b—а) (b а).
486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и b.
Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n = 200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка x; во второй строке указана
частота п—количество измерений, имеющих среднюю ошибку x):
x 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
п 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.
488. Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона.
Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n = 327 испытаниях (в первой строке указано число х- появлений события; во второй строке приведена частота n — количество испытаний, в которых появилось x событий):
x О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 1
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров «двойного распределения» Пуассона. Параграф 3: Метод наибольшего правдоподобия
490. Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число xi появлений события в одном опыте из m = 1 0 испытаний, во второй строке приведена
частота ni—число опытов, в которых наблюдалось хi появлений события А):
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
ni 2 3 10 22 26 20 12 5
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную
оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.
491. Случайная величина X (число появлений события А m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром :
где т—число испытаний в одном опыте, хi—число появлений события в i-M опыте ( i = 1 , 2, . . . , n).
Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром. Ниже
приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество х поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота n — число контейнеров, содержащих х поврежденных изделий):
x О 1 2 3 4 5 6 7
n 199 169 87 31 9 3 1 1
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.
494. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное. Ниже приведено эмпирическое распределение
среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке
указано среднее время x безотказной работы одного
элемента в часах; во второй строке указана частота
n—количество элементов, проработавших в среднем x
часов):
x 5 15 25 35 45 55 65
n 365 245 150 100 70 45 25
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную
оценку неизвестного параметра показательного распределения.
495. Найти методом наибольшего правдоподобия по
выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра р гамма- распределения (параметр α известен), плотность которого дана.
496. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.
Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250,
300. Найти методом наибольшего правдоподобия
точечную оценку одного неизвестного параметра β гамма- распределения, если второй параметр этого распределения α = 1,12.
498. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра α (параметр δ известен) распределения Кэптейна, плотность которого
где g{x)—дифференцируемая функция.
499. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1,x2, … , xn точечную оценку параметра δ (параметр α известен) распределения Кэптейна.
(решебник)