Учебное пособие. — М.: АСВ, 2015. — 288 с. — ISBN
978-5-4323-0090-4.
Это издание является учебным пособием для преподавания и изучения в
технических высших учебных заведениях основ математического
моделирования и компьютерных технологий решения прикладных
инженерных задач. Книга написана на основе опыта преподавания
авторами дисциплин «Математическое моделирование» и «Метод конечных
элементов» в Московском государственном строительном университете,
а также проводимой авторами верификации ПК SIMULIA Abaqus в
Российской академии архитектуры и строительных наук.
Книга предназначена студентам, аспирантам, специалистам для изучения ими основ математического моделирования, теоретических предпосылок и алгоритма метода конечных элементов, а также для освоения технологий компьютерного моделирования инженерных объектов с применением многоцелевых конечноэлементных (т.н. «тяжёлых») программных комплексов. Книга рекомендуется студентам старших курсов при выполнении курсовых проектов и работ, выпускных квалификационных работ, а также аспирантам для самостоятельного изучения. Предисловие
Введение. Задачи расчёта сооружений
Теоретические основы
Математическая модель сооружения
Этапы математического моделирования
Привлечение к построению математических моделей фундаментальных законов природы. «Причины конечные» и «причины производящие»
Принцип сохранения в механике
Законы Ньютона
Принцип минимума в механике
Вариационный принцип
Вариация функции
Вариация функционала
Суть вариационной модели
Напряжённо-деформированное состояние упругого тела
Перемещения точек
Деформация в точке
Соотношения между деформациями и перемещениями. Формулы Коши
Напряжение
Индексные обозначения компонент перемещений, деформаций, напряжений
Соотношения между напряжениями и деформациями
Матричное представление компонент перемещений, деформаций, напряжений
Уравнения равновесия деформируемого тела в напряжениях. Уравнения Навье
Уравнения совместности деформаций. Уравнения Сен-Венана
Уравнения равновесия деформируемого тела в перемещениях. Уравнения Ламе
Граничные условия
Математическая модель сооружения в виде выражения изменения энергии
Изменение потенциальной энергии твёрдого тела при его деформировании
Граничные условия
Условия минимума изменения энергии конструкции при её деформировании
Подход к нахождению минимума функции
Пример 2.1. Задача о наилучших размерах консервной банки
Условие экстремума функционала
Условия минимума энергии деформирования твёрдого тела
Условия минимума в вариационном исчислении. О простейшей задаче вариационного исчисления
Допустимая функция
Слабый минимум
Уравнение Эйлера
Первый интеграл дифференциального уравнения
Пример 2.2. Задача И.Бернулли о брахистохроне
Уравнение Эйлера для выражения изменения энергии изгибаемой балки
Вариационный подход к выявлению условий минимума изменения энергии
Численный расчёт конструкций
Метод Ритца
Пример 3.1. Решение задачи о цилиндрическом изгибе пластины
О дискретном варианте метода Ритца
Идея метода конечных элементов
Дискретизация задачи
Конечно-элементная расчётная схема
Функция формы
Математическая формулировка
Переход к дискретному аналогу
Условие минимума дискретного функционала
Метод конечных элементов как развитие метода Ритца
Пример 3.2. Расчёт изгибаемой балки методом конечных элементов
Конечно-элементная расчётная схема конструкции
Сетка конечных элементов
Узлы расчётной схемы
Степени свободы
Конечные элементы. Типы конечных элементов
Конечные элементы для построения трёхмерных расчётных схем
Конечные элементы для построения двумерных расчётных схем
Конечный элемент для построения одномерных расчётных схем
Алгоритм метода конечных элементов
Формулировка задачи
Аппроксимация математической формулировки в МКЭ. Переход от континуальной формулировки задачи к дискретной
Восполнение узловых перемещений по конечному элементу. Функция формы
бальная система координат расчётной схемы. Локальная система координат конечного элемента
Перемещения узлов
Перемещение узла конечного элемента в локальной и глобальной системах координат
Матрица преобразования координат конечного элемента
Перемещение произвольной внутренней точки конечного элемента в локальной и глобальной системах координат
Способы закрепления расчётной схемы конструкции
Задание внешней нагрузки. Узловые силы
Энергия деформирования множества (ансамбля) конечных элементов в локальных системах координат
Энергия деформирования расчётной схемы, как энергия деформирования ансамбля конечных элементов в общей глобальной системе координат
Решение задачи из условий минимума энергии деформирования расчётной схемы
Формирование глобальной матрицы жёсткости расчётной схемы конструкции
Учёт граничных условий
Решение системы линейных уравнений. Вычисление перемещений и напряжений
6. Приложения в программном комплексе SIMULIA Abaqus
Введение. Работа в Abaqus/CAE
Пример 6.1. Расчёт однопролётной шарнирно опёртой балки на действие равномерно распределённой нагрузки
Пример 6.2. Расчёт фермы на собственные колебания и устойчивость
Пример 6.3. Расчёт прямоугольной плиты на собственные колебания, определение её напряжённо-деформированного состояния при действии равномерно распределенной нагрузки
Пример 6.4. Расчёт заклёпочного соединения металлической конструкции
Список литературы
Книга предназначена студентам, аспирантам, специалистам для изучения ими основ математического моделирования, теоретических предпосылок и алгоритма метода конечных элементов, а также для освоения технологий компьютерного моделирования инженерных объектов с применением многоцелевых конечноэлементных (т.н. «тяжёлых») программных комплексов. Книга рекомендуется студентам старших курсов при выполнении курсовых проектов и работ, выпускных квалификационных работ, а также аспирантам для самостоятельного изучения. Предисловие
Введение. Задачи расчёта сооружений
Теоретические основы
Математическая модель сооружения
Этапы математического моделирования
Привлечение к построению математических моделей фундаментальных законов природы. «Причины конечные» и «причины производящие»
Принцип сохранения в механике
Законы Ньютона
Принцип минимума в механике
Вариационный принцип
Вариация функции
Вариация функционала
Суть вариационной модели
Напряжённо-деформированное состояние упругого тела
Перемещения точек
Деформация в точке
Соотношения между деформациями и перемещениями. Формулы Коши
Напряжение
Индексные обозначения компонент перемещений, деформаций, напряжений
Соотношения между напряжениями и деформациями
Матричное представление компонент перемещений, деформаций, напряжений
Уравнения равновесия деформируемого тела в напряжениях. Уравнения Навье
Уравнения совместности деформаций. Уравнения Сен-Венана
Уравнения равновесия деформируемого тела в перемещениях. Уравнения Ламе
Граничные условия
Математическая модель сооружения в виде выражения изменения энергии
Изменение потенциальной энергии твёрдого тела при его деформировании
Граничные условия
Условия минимума изменения энергии конструкции при её деформировании
Подход к нахождению минимума функции
Пример 2.1. Задача о наилучших размерах консервной банки
Условие экстремума функционала
Условия минимума энергии деформирования твёрдого тела
Условия минимума в вариационном исчислении. О простейшей задаче вариационного исчисления
Допустимая функция
Слабый минимум
Уравнение Эйлера
Первый интеграл дифференциального уравнения
Пример 2.2. Задача И.Бернулли о брахистохроне
Уравнение Эйлера для выражения изменения энергии изгибаемой балки
Вариационный подход к выявлению условий минимума изменения энергии
Численный расчёт конструкций
Метод Ритца
Пример 3.1. Решение задачи о цилиндрическом изгибе пластины
О дискретном варианте метода Ритца
Идея метода конечных элементов
Дискретизация задачи
Конечно-элементная расчётная схема
Функция формы
Математическая формулировка
Переход к дискретному аналогу
Условие минимума дискретного функционала
Метод конечных элементов как развитие метода Ритца
Пример 3.2. Расчёт изгибаемой балки методом конечных элементов
Конечно-элементная расчётная схема конструкции
Сетка конечных элементов
Узлы расчётной схемы
Степени свободы
Конечные элементы. Типы конечных элементов
Конечные элементы для построения трёхмерных расчётных схем
Конечные элементы для построения двумерных расчётных схем
Конечный элемент для построения одномерных расчётных схем
Алгоритм метода конечных элементов
Формулировка задачи
Аппроксимация математической формулировки в МКЭ. Переход от континуальной формулировки задачи к дискретной
Восполнение узловых перемещений по конечному элементу. Функция формы
бальная система координат расчётной схемы. Локальная система координат конечного элемента
Перемещения узлов
Перемещение узла конечного элемента в локальной и глобальной системах координат
Матрица преобразования координат конечного элемента
Перемещение произвольной внутренней точки конечного элемента в локальной и глобальной системах координат
Способы закрепления расчётной схемы конструкции
Задание внешней нагрузки. Узловые силы
Энергия деформирования множества (ансамбля) конечных элементов в локальных системах координат
Энергия деформирования расчётной схемы, как энергия деформирования ансамбля конечных элементов в общей глобальной системе координат
Решение задачи из условий минимума энергии деформирования расчётной схемы
Формирование глобальной матрицы жёсткости расчётной схемы конструкции
Учёт граничных условий
Решение системы линейных уравнений. Вычисление перемещений и напряжений
6. Приложения в программном комплексе SIMULIA Abaqus
Введение. Работа в Abaqus/CAE
Пример 6.1. Расчёт однопролётной шарнирно опёртой балки на действие равномерно распределённой нагрузки
Пример 6.2. Расчёт фермы на собственные колебания и устойчивость
Пример 6.3. Расчёт прямоугольной плиты на собственные колебания, определение её напряжённо-деформированного состояния при действии равномерно распределенной нагрузки
Пример 6.4. Расчёт заклёпочного соединения металлической конструкции
Список литературы