М.: Наука, 1980 - 496с.
Содержание книги соответствует программе по математике для средних специальных учебных заведений на базе 10 классов средней школы. Материал изложен в доступной для выпускника средней школы форме.
В книге приводится большое количество решенных примеров и задач. В конце каждой главы имеются упражнения для самостоятельного решения.
Книга предназначена для учащихся средних специальных учебных заведений.
Оглавление.
Предисловие.
Элементы вычислительной математики.
Роль математики в современной науке и технике.
Вычислительная техника.
Приближенные числа.
Учет погрешностей результатов операций над приближенными числами.
Основные вопросы организации вычислений.
Упражнения к главе.
Прямая линия на плоскости и ее уравнения.
Векторный базис на плоскости.
Прямоугольные и полярные координаты Связь между ними.
Преобразование прямоугольных координат.
Деление отрезка в данном отношении.
Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.
Общее уравнение прямой и его частные случаи.
Другие формы уравнения прямой на плоскости.
Пересечение двух прямых.
Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Упражнения к главе.
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Векторный базис в пространстве.
Прямоугольные координаты в пространстве Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.
Общее уравнение плоскости и его частные случаи.
Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором.
Другие формы уравнений прямой в пространстве.
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Упражнения к главе.
ве 4 Кривые второго порядка.
Окружность и ее уравнения.
Эллипс и его каноническое уравнение.
Исследование формы эллипса по его уравнению.
Другие сведения об эллипсе.
Гипербола и ее каноническое уравнение.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению.
Другие сведения о гиперболе.
Парабола и ее каноническое уравнение.
Исследование формы параболы по ее уравнению.
Параллельный перенос параболы.
Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными.
Упражнения к главе.
Производная функции и ее приложения.
Предел и непрерывность функций.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Сложная функция и ее производная.
Формулы дифференцирования.
Обратная функция и ее производная.
Неявная функция и ее производная.
Производные высших порядков.
Механический смысл второй производной.
Возрастание и убывание функции Признаки возрастания и убывания функции.
Экстремумы функции Необходимые условия существования экстремума.
Достаточные условия существования экстремума.
Выпуклость графика функции Достаточное условие выпуклости.
Точка перегиба Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
Асимптоты кривой.
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Задачи прикладного характера.
Упражнения к главе.
Дифференциал функции и его приложения.
Понятие дифференциала функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Вычисление дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Упражнения к главе.
Неопределенный интеграл.
Понятие неопределенного интеграла, и его геометрический смысл.
Таблица основных интегралов.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Выделение интегральной кривой по заданным начальным условиям.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки).
Интегрирование по частям.
Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции.
Упражнения к главе.
Определенный интеграл и его приложения.
Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верху и пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определенного интеграла «особом подстановки (с помощью замены переменной).
Интегрирование по частям.
Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление объема тела по известным площадям поперечного сечения.
Объем тела вращения.
Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги., Площадь поверхности вращения.
Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач.
Упражнения к главе.
Комплексные числа.
Вопросы расширения понятия числа.
Построение множества комплексных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Решение квадратных уравнений с действителъными коэффициентами.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Эйлера Показательная форма комплексного числа.
Применение комплексных чисел в расчете физических величин.
Упражнения к главе.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия и определения.
Дифференциальные уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение задач на составление дифференциальных уравнений.
Упражнения к главе.
Элементы теории вероятностей.
Испытания и события.
Виды случайных событий.
Операции над событиями.
Вероятность события.
Операции над вероятностями.
Формула полной вероятности.
Повторение испытаний Формула Бернулли.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Закон больших чисел.
Упражнения к главе.
Числовые ряды.
Числовые ряды, основные понятия.
Свойства рядов.
Необходимые условия сходимости ряда Расходимость гармонического ряда.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимости.
Знакочередующиеся ряды.
Оценка остатка ряда.
Перестановка членов ряда и умножение рядов.
О последовательностях и рядах с комплексными членами.
Упражнения к главе.
Степенные ряды.
Функциональные ряды Область сходимости.
Степенные ряды и их свойства.
Формула Тейлора и ее остаточный член.
Ряд Тейлора.
Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций.
Примеры практического применения степенных рядов.
Упражнения к главе.
Ряды Фурье.
Некоторые способы приближения функций.
Ортогональные системы функций Обобщенные многочлены Фурье.
Обобщенные ряды Фурье.
Тригонометрические ряды Фурье.
Практический гармонический анализ.
Упражнения к главе.
Функции многих переменных Кратные интегралы.
Функции нескольких переменных Основные понятия.
Частное и полное приращения функций Непрерывность функций.
Частные производные функций нескольких переменных.
Нахождение экстремумов функции многих переменных.
Полный дифференциал функции двух переменных.
Двойной интеграл.
Понятие о тройном интеграле.
Упражнения к главе.
Элементы математической статистики.
Основные задачи математической статистики.
Основные понятия математической статистики.
Выборочные ряды распределения.
Сводные числовые характеристики выборки.
Понятие об аппроксимации распределений.
Совместные распределения случайных величин.
Нахождение уравнений выборочной регрессии методом наименьших квадратов.
Упражнения к главе.
Ответы.
Содержание книги соответствует программе по математике для средних специальных учебных заведений на базе 10 классов средней школы. Материал изложен в доступной для выпускника средней школы форме.
В книге приводится большое количество решенных примеров и задач. В конце каждой главы имеются упражнения для самостоятельного решения.
Книга предназначена для учащихся средних специальных учебных заведений.
Оглавление.
Предисловие.
Элементы вычислительной математики.
Роль математики в современной науке и технике.
Вычислительная техника.
Приближенные числа.
Учет погрешностей результатов операций над приближенными числами.
Основные вопросы организации вычислений.
Упражнения к главе.
Прямая линия на плоскости и ее уравнения.
Векторный базис на плоскости.
Прямоугольные и полярные координаты Связь между ними.
Преобразование прямоугольных координат.
Деление отрезка в данном отношении.
Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.
Общее уравнение прямой и его частные случаи.
Другие формы уравнения прямой на плоскости.
Пересечение двух прямых.
Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Упражнения к главе.
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Векторный базис в пространстве.
Прямоугольные координаты в пространстве Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.
Общее уравнение плоскости и его частные случаи.
Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором.
Другие формы уравнений прямой в пространстве.
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Упражнения к главе.
ве 4 Кривые второго порядка.
Окружность и ее уравнения.
Эллипс и его каноническое уравнение.
Исследование формы эллипса по его уравнению.
Другие сведения об эллипсе.
Гипербола и ее каноническое уравнение.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению.
Другие сведения о гиперболе.
Парабола и ее каноническое уравнение.
Исследование формы параболы по ее уравнению.
Параллельный перенос параболы.
Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными.
Упражнения к главе.
Производная функции и ее приложения.
Предел и непрерывность функций.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Сложная функция и ее производная.
Формулы дифференцирования.
Обратная функция и ее производная.
Неявная функция и ее производная.
Производные высших порядков.
Механический смысл второй производной.
Возрастание и убывание функции Признаки возрастания и убывания функции.
Экстремумы функции Необходимые условия существования экстремума.
Достаточные условия существования экстремума.
Выпуклость графика функции Достаточное условие выпуклости.
Точка перегиба Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
Асимптоты кривой.
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Задачи прикладного характера.
Упражнения к главе.
Дифференциал функции и его приложения.
Понятие дифференциала функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Вычисление дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Упражнения к главе.
Неопределенный интеграл.
Понятие неопределенного интеграла, и его геометрический смысл.
Таблица основных интегралов.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Выделение интегральной кривой по заданным начальным условиям.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки).
Интегрирование по частям.
Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции.
Упражнения к главе.
Определенный интеграл и его приложения.
Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верху и пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определенного интеграла «особом подстановки (с помощью замены переменной).
Интегрирование по частям.
Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление объема тела по известным площадям поперечного сечения.
Объем тела вращения.
Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги., Площадь поверхности вращения.
Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач.
Упражнения к главе.
Комплексные числа.
Вопросы расширения понятия числа.
Построение множества комплексных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Решение квадратных уравнений с действителъными коэффициентами.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Эйлера Показательная форма комплексного числа.
Применение комплексных чисел в расчете физических величин.
Упражнения к главе.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия и определения.
Дифференциальные уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение задач на составление дифференциальных уравнений.
Упражнения к главе.
Элементы теории вероятностей.
Испытания и события.
Виды случайных событий.
Операции над событиями.
Вероятность события.
Операции над вероятностями.
Формула полной вероятности.
Повторение испытаний Формула Бернулли.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Закон больших чисел.
Упражнения к главе.
Числовые ряды.
Числовые ряды, основные понятия.
Свойства рядов.
Необходимые условия сходимости ряда Расходимость гармонического ряда.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимости.
Знакочередующиеся ряды.
Оценка остатка ряда.
Перестановка членов ряда и умножение рядов.
О последовательностях и рядах с комплексными членами.
Упражнения к главе.
Степенные ряды.
Функциональные ряды Область сходимости.
Степенные ряды и их свойства.
Формула Тейлора и ее остаточный член.
Ряд Тейлора.
Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций.
Примеры практического применения степенных рядов.
Упражнения к главе.
Ряды Фурье.
Некоторые способы приближения функций.
Ортогональные системы функций Обобщенные многочлены Фурье.
Обобщенные ряды Фурье.
Тригонометрические ряды Фурье.
Практический гармонический анализ.
Упражнения к главе.
Функции многих переменных Кратные интегралы.
Функции нескольких переменных Основные понятия.
Частное и полное приращения функций Непрерывность функций.
Частные производные функций нескольких переменных.
Нахождение экстремумов функции многих переменных.
Полный дифференциал функции двух переменных.
Двойной интеграл.
Понятие о тройном интеграле.
Упражнения к главе.
Элементы математической статистики.
Основные задачи математической статистики.
Основные понятия математической статистики.
Выборочные ряды распределения.
Сводные числовые характеристики выборки.
Понятие об аппроксимации распределений.
Совместные распределения случайных величин.
Нахождение уравнений выборочной регрессии методом наименьших квадратов.
Упражнения к главе.
Ответы.