63
Задача 3.4.
Визначити напруженість поля від двох нескінченних коаксіальних циліндрів в
точках, що віддалені від осі на 10 і 20 мм, якщо радіус внутрішнього циліндра 9
мм, а зовнішнього 12 мм. Густина зарядів на поверхні внутрішнього циліндру
σ
1
=2×10
-3
Кл/м
2
, зовнішнього
σ
2
=4×10
-3
Кл/м
2
.
Розв`язок:
Для розв`язку задачі необхідно
зробити малюнок. Визначимо
напруженість поля в точці, що
лежить між поверхнями
циліндрів на відстані
l
1
(точка
А
).
Застосуємо теорему Остроград-
ського–Гауcса до проведеної
через цю точку допоміжної
циліндричної поверхні. Потік
вектора індукції через основи
обраної поверхні висотою
h
дорівнює нулю, оскільки при
умові
l
1
<<h
лінії індукції поля
будуть паралельні до них.
Запишемо потік вектора
індукції електростатичного поля
через бічну поверхню обраної
циліндричної поверхні
hlEN
D 1101
2
За теоремою Остроградського - Гауcса потік
N
D
дорівнює сумі зарядів, що
охоплює дана поверхня, таким чином, це заряд, який припадає на поверхню
довжиною
h
внутрішнього коаксіального циліндра:
q
1
=
σ
σσ
σ
1
2
π
ππ
π
R
1
h.
Отже:
E
1
ε
εε
εε
εε
ε
0
2
π
ππ
π
l
1
h=
σ
σσ
σ
1
2
π
ππ
π
R
1
h
звідки
10
11
1
l
R
E
εε
=
;
8
212
33
1
1003,2
101085,8
109102
⋅=
×⋅
⋅×⋅
=
−−
−−
E
B
Аналогічно визначимо напруженість поля в точці
В
за межами циліндрів. Повний
потік через поверхню циліндра радіусом
l
2
і висотою
h
дорівнює:
hlEEN
D 21022
2
Проте в цій точці поле створене сумарним зарядом двох поверхонь. Тому
)(222
221122112
RRhhRhRq
.
1
R
1
l
2
R
2
l