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Çàìå÷àíèå 1. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ÷åðòà çäåñü èñïîëüçîâàíà äëÿ ñî-
êðàùåííîé çàïèñè óñëîâíûõ óòâåðæäåíèé, ò. å. óòâåðæäåíèé âèäà
«åñëè..., òî...».
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî:
1') À, Â
À & B; 2') À & Â
À è À & Â
Â;
3') A
À ∨ Â è Â
À ∨ Â; 4') À ∨ Â, À ⊃ Ñ, Â
⊃ Ñ
Ñ;
5') Ã, À
 → Ã
À ⊃ Â; 6') À, À ⊃ Â
Â;
7') À ⊃ Â, À ⊃ ¬Â
¬À; 8') À, ¬À
Â;
9') ¬¬À
À.
Äåéñòâèòåëüíî, óòâåðæäåíèÿ 1, 2, 3, 6, 8, 9 ñëåäóþò ñîîòâåò-
ñòâåííî èç óòâåðæäåíèé 1', 2', 3', 6', 8', 9' â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè
îòíîøåíèÿ
, à óòâåðæäåíèÿ 4 è 7 ñëåäóþò èç 4' è 7' â ñèëó òðàíçè-
òèâíîñòè
è óòâåðæäåíèÿ 5. Äëÿ óòâåðæäåíèÿ 5 ñîîòâåòñòâóþùåé
ïàðû íåò, ïîýòîìó îíî ïðîñòî ïîâòîðÿåòñÿ, ïðàâäà, ïî òåõíè÷åñêèì
ïðè÷èíàì
â äðóãîé ôîðìå çàïèñè.
Ñíà÷àëà äîêàæåì óòâåðæäåíèå 5.
Äîïóñòèì, ÷òî Ã, À
Â, è äîêàæåì, ÷òî Ã
À ⊃ Â. Ïóñòü α –
òàêîé íàáîð äëÿ îáùåãî ñîáñòâåííîãî ñïèñêà ïåðåìåííûõ ôîðìóë
À,
 è ôîðìóë èç Ã, íà êîòîðîì âñå ôîðìóëû èç à ïðèíèìàþò
çíà÷åíèå È. Äîêàæåì, ÷òî |À ⊃  |
α
= È. Åñëè |À|
α
= È, òî â ñèëó
äîïóùåíèÿ Ã, À
 ïîëó÷àåì, ÷òî | |
α
= È, à çíà÷èò, è |À ⊃  |
α
= È.
Åñëè |À|
α
= Ë, òî, î÷åâèäíî, òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òî |À ⊃  |
α
= È. Òà-
êèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå 5 äîêàçàíî.
Òåïåðü äîêàæåì óòâåðæäåíèå 4': À ∨ Â, À ⊃ Ñ,
Â
⊃ Ñ
Ñ.
Ïóñòü α – ïðîèçâîëüíûé èñòèííîñòíûé íàáîð äëÿ îáùåãî ñîá-
ñòâåííîãî ñïèñêà ôîðìóë À, Â, Ñ. Äîïóñòèì, ÷òî |À ∨ Â |
α
= È,
|À ⊃ Ñ |
α
= È, |Â ⊃ Ñ |
α
= È, è äîêàæåì, ÷òî |Ñ |
α
= È. Èç äîïóùåíèÿ
|À ∨ Â |
α
= È ñëåäóåò, ÷òî |À|
α
= È èëè |Â |
α
= È. Åñëè |À|
α
= È, òî ïðè
äîïóùåíèè |À ⊃ Ñ|
α
= È ïîëó÷àåì, ÷òî |Ñ |
α
= È. Åñëè |Â |
α
= È, òî
ïðè äîïóùåíèè |Â ⊃ Ñ |
α
= È òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òî |Ñ |
α
= È. Òàêèì
îáðàçîì, |Ñ|
α
= È, à çíà÷èò, óòâåðæäåíèå 4' äîêàçàíî.
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 7': À ⊃ Â, À ⊃ ¬Â
¬À.
Ïóñòü α – ïðîèçâîëüíûé íàáîð äëÿ îáùåãî ñîáñòâåííîãî ñïèñêà
ôîðìóë À è Â. Äîïóñòèì, ÷òî |À ⊃ Â|
α
= È è | À ⊃ ¬Â |
α
= È, è
äîêàæåì, ÷òî |¬À|
α
= È. Äîïóñòèì, ÷òî |¬À|
α
= Ë. Òîãäà, î÷åâèäíî,
|À|
α
= È. Îòñþäà, ïîñêîëüêó |À ⊃ Â|
α
= È è |À ⊃ ¬Â |
α
= È, ïîëó÷àåì,
÷òî |Â|
α
= È è |¬Â|
α
= È, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, |¬À|
α
= È,
à çíà÷èò, óòâåðæäåíèå 7' äîêàçàíî.