72
(для значений p, таких, что det(A − pI) 6= 0). Легко видеть, что
определитель матрицы, заключенной в фигурной скобке равенства
(14) есть с точностью до знака минор µ(p). Поэтому из (14) имеем
det Q(p) = (−1)
n+r
∆(p)µ(p). (15)
Перейдем в равенстве (15) к пределу при p → p
0
. Учитывая (11),
получим, что
det Q(p
0
) 6= 0. (16)
Поэтому все n+r строк матрицы Q(p
0
) линейно независимы, а следо-
вательно, линейно независимы и n ее первых строк. Таким образом,
rank (A − p
0
I, b
j
1
, . . . , b
j
r
) = n. (17)
Отсюда тем более
rank (A − p
0
I, b) = n. (18)
Рассуждая аналогично, мы получим, что
rank
¡
(A − p
0
I)
∗
, c
¢
= n. (19)
Итак, мы установили, что для произвольного корня p
0
многочлена
∆(p) имеют место соотношения (18) и (19). Поскольку для любого
p 6= p
0
∆(p) = det(pI − A) 6= 0, то rank (A − pI) = n ∀p 6= p
0
.
Следовательно, для любого комплексного p
rank (A − pI, b) = n, (20)
rank
¡
(A − pI)
∗
, c)
¢
= n. (21)
В силу свойства (V II
y
) полной управляемости и соответствующего
свойства (V II
н
) полной наблюдаемости (получающегося из (V II
y
)
по теореме двойственности Калмана) из соотношений (20) и (21) сле-
дует полная управляемость и полная наблюдаемость системы (1).
Н е о б х о д и м о с т ь. Допустим теперь, что система (1) полностью
управляема и наблюдаема. Покажем, что матричная передаточная
функция W (p) невырождена, т.е. что имеет место соотношение (11).
Пусть p
0
— произвольный корень многочлена ∆(p), а дефект мат-
рицы A − p
0
I равен r, т.е.
rank (A − p
0
I) = n − r. (22)
Так как det(A−p
0
I) = 0, то, очевидно, r ≥ 1. В силу свойства (V II
y
)
полной управляемости и (V II
н
) полной наблюдаемости будут иметь