Упражнение 2. Проанализировать управляемость, если сила F
будет приложена левее центра инерции (см. пунктирную стрелку
на рис. 6.11).
в рассмотренных примерах (электрическом и механическом)
мы имели дело с частными случаями неуправляемой структуры
(см. рис. 6.9, б). способ доказательства неуправляемости опирал-
ся на получение алгебраических соотношений, связывающих пе-
ременные состояния системы. для сложных систем такой способ,
как правило, неприемлем, поэтому возникает задача отыскания
критериев, позволяющих судить об управляемости, анализируя
матрицы системы (6.4).
в теории управления существует целый ряд таких критери-
ев. наибольшую известность получил алгебраический критерий
калмана. он основан на анализе матрицы
1
, , ..., .
n-
éù
=
êú
ëû
R b Ab A b
(6.5)
Матрица R называется матрицей управляемости. если у си-
стемы r входов, эта матрица имеет n строк и nr столбцов. в па-
кете MATLAB матрицу управляемости можно построить с помо-
щью команды ctrb.
для того чтобы система (6.4) была управляемой, необходимо
и достаточно, чтобы матрица управляемости имела полный ранг:
rankR = n.
в случае систем с одним входом матрица R становится ква-
дратной, поэтому анализ ранга может быть заменен вычислени-
ем определителя. для управляемости системы (6.4) определи-
тель должен быть отличен от нуля detR ≠ 0.
таким образом, управляемость системы определяется свой-
ствами пары матриц А, b.
Пример 6. на рис. 6.12 изображены два апериодических зве-
на с общим управлением. для анализа управляемости перейдем
к описанию в пространстве состояний:
1 11 1
2 22 2
,
.
x ax ku
x ax ku
=- +
=- +
выпишем матрицы А, b и матрицу управляемости R:
1 1 1 11
2 2 2 22
0
0
,, .
a k k ak
a k k ak
é ù éù é ù
--
ê ú êú ê ú
= ==
ê ú êú ê ú
--
ë û ëû ë û
A bR