70 Глава 3. Устойчивость
(в дискретном случае), где λ
i
— собственные значения A. Точно так же, для устой-
чивости систем, заданных с помощью передаточных функций, аналогичные условия
нужно проверять для корней характеристического полинома системы — знаменателя
передаточной функции.
Разумеется, при огромных возможностях современной вычислительной техники и
математического обеспечения, проверка подобных условий не представляет никакой
проблемы. Достаточно одной команды roots(P) или eig(A) в системе Matlab, чтобы
вычислить (практически моментально для разумных значений n) все корни полино-
ма или собственные значения матрицы и тем самым проверить устойчивость. Тем не
менее нам будут интересны другие критерии, не требующие вычисления корней или
собственных значений. Дело в том, что матрица A или полином P обычно не заданы
численно, а зависят от параметров или содержат неопределенности. Например, даже
если матрица A в системе ˙x = Ax + Bu задана точно, а управление выбирается в виде
обратной связи u = Kx, то матрица замкнутой системы A
c
= A + BK зависит от пара-
метров регулятора K. Поэтому нас может интересовать вопрос, при каких значениях
параметров система устойчива.
Известно много различных критериев устойчивости. Рассмотрим прежде всего гра-
фические критерии, которые по поведению некоторых кривых (обычно называемых
годографами) позволяют делать выводы об устойчивости полиномов.
3.3.1 Графические критерии
Пусть задан полином
P (s) = a
0
+ a
1
s + . . . + a
n
s
n
с вещественными коэффициентами a
i
, причем a
n
> 0 (этого всегда можно добиться,
так как P (s) и −P (s) имеют одинаковые корни). Рассмотрим его значение при мнимом
значении аргумента s = jω:
P (jω) = a
0
− a
2
ω
2
+ a
4
ω
4
− . . . + jω(a
1
− a
3
ω
2
+ a
5
ω
4
− . . .)
.
= U(ω
2
) + jωV (ω
2
),
где обозначено
U(t)
.
= a
0
− a
2
t + a
4
t
2
− . . . , V (t)
.
= a
1
− a
3
t + a
5
t
2
− . . .
Годографом функции P (jω) называется кривая, описываемая точкой z = P (jω) на
комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞.
Теорема 9 Следующие условия эквивалентны:
1. Полином P (s) гурвицев;
2. Годограф P (jω) проходит через n квадрантов последовательно, начиная с перво-
го, не проходя через начало координат;
3. Аргумент годографа arg P (jω) определен, монотонно возрастает и меняется
от 0 до πn/2;