Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений

Подождите немного. Документ загружается.

После этого вычисляют суммарную стандартную

неопределенность u

. В случае некоррелированных оценок

xx ,...,

суммарная стандартная неопределенность вычисляется

по формуле:

()

uy x

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

∑

, (1.1.6)

а при наличии корреляции:

()

111

() ,,

mmm

iijij

iij

fff

uy x rxxuxux

xxx

===

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂∂∂

∑∑∑

(1.1.7)

где

(

)

xxr , – коэффициент корреляции,

(

)

xu – стандартная

неопределенность i-ой входной величины, оцененная по типу А

или по типу В.

Коэффициент охвата k при оценке расширенной

неопределенности в общем случае дается выражением: k=t

(ν

eff

где t

(ν

eff

) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным

числом степеней свободы ν

eff

и уровнем доверия P:

()

eff

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

∑

, (1.1.8)

где

eff

=− (число степеней свободы).

Значения коэффициента t

(n-1) приведены в [22, 42, 45]. В

частности, для практически важных случаев k полагают равным:

2=k при P=0,95 и 3=k при P=0,99.

Таким образом, изложенный подход распространяет гауссов

закон сложения ошибок, характерный для случая косвенных

измерений при условии нормального распределения результатов

имерений (оценка по типу А), на случай оценки по типу В. В

последнем случае n

равно числу свидетельств для переменной

. Если же используются нестатистические данные, то число

степеней свободы полагается равным n

∞

, что соответствует

теоретическому значению.

При представлении результата измерения с использованием

неопределенности рекомендуется привести количество

информации, достаточное для обеспечения возможности

повторить весь процесс оценивания, а именно: алгоритм

получения результата измерения; алгоритм расчета всех

поправок и их неопределенностей; оценки неопределенностей

всех используемых данных и способы их получения; алгоритм

вычисления суммарной неопределенности и расширенной

неопределенности (включая значение коэффициента k).

Сравнительный анализ двух подходов показывает, что

подход на основе неопределенности является более общим, чем

подход на основе погрешности, так как он применим и для

количественной статистической информации, и для

качественной нестатистической, например, в виде свидетельств

или оценок экспертов, справочных данных и т.п.

1.2. Нормирование метрологических характеристик средств

измерений

Под нормированием понимается установление пределов,

следовательно, нормирование метрологических характеристик

средств измерений (СИ) означает установление пределов их

изменения, а к нормируемым характеристикам относятся такие

показатели, которые определяют качество функционирования

СИ. Как правило, метрологические характеристики служат для

описания СИ определённого типа, например аналоговые

приборы, меры, цифровые приборы и т.п., однако, в особо

ответственных случаях эти характеристики устанавливают для

конкретных экземпляров СИ (например, для образцовых СИ, для

сложных системных СИ, в частности, интеллектуальных).

Нормируемые метрологические характеристики прежде всего

должны давать возможность оценивать результат измерения и его

точность при применении СИ данного типа, поэтому наиболее

важными характеристиками СИ являются характеристики

погрешности измерений.

В общем виде результат измерений y(t) в момент времени t

можно представить в виде:

() [ ( ), , ]

yt f xt Z

=− , (1.2.1)

где x(t–

) – значение измеряемой величины в момент t–

, f(x) –

характеристика преобразования СИ;

– значения влияющих

величин или неинформативных параметров входного сигнала;

время запаздывания (реакция СИ); Z – взаимодействие СИ с

объектом измерения (например, потребление мощности).

Действительное значение измеряемой величины можно

получить, если характеристики преобразования и все влияющие

величины будут иметь номинальные значения, т.е.

=0; Z=0:

(t)=f

ном

(x(t),

i ном

, 0). Разлагая y(t) в ряд Тейлора до второго

порядка малости по ∆y = y(t)-y

(t), имеем:

()(/) (/ ) (/)

yt yf f y yt

ϕδϕ τ

Δ=∂∂ +∂∂ +∂∂+

∑

(/ ) (),yZZoy

+∂ ∂ + Δ (1.2.2)

где

f= f-f

ном

;

Δϕ

i ном

В этом выражении представлены все группы погрешностей.

Первый член даёт основную погрешность СИ, обусловленную

неидеальностью собственных свойств СИ, т.е. отличием реальной

характеристики преобразования f от номинальной f

ном

(или

отличием действительного значения меры от номинального

значения). Второй член содержит дополнительные погрешности –

погрешности результата измерений, обусловленные реакцией СИ

на изменение влияющих величин и неинформативных

параметров входного сигнала относительно номинальных

значений. Третий член представляет динамическую погрешность,

т.е. погрешность, обусловленную инерционностью СИ и

скоростью изменения входного сигнала. Отметим, что

динамическая погрешность СИ может быть вызвана разными

причинами. Например, для цифровых измерительных приборов

(ЦИП) различают динамическую погрешность 1-го и 2-го рода.

Погрешность 1-го рода обусловлена инерционностью элементов

измерительной части прибора. Динамическая погрешность 2-го

рода возникает из-за того, что измерение проводится в момент t

а результат приписывается либо началу цикла преобразования t

либо концу t

. Это приводит к погрешностям ∆х

или ∆х

соответственно (см. рис.1). Максимальная приведённая

динамическая погрешность второго рода:

(t)=

±Δ

x/x

=x'T

где ∆х–максимальное изменение величины х(t) за время Т

; x

–

максимальное значение x(t); x' – средняя скорость изменения х(t)

за время Т

. Например, для x(t)=A sin

t динамическая

погрешность второго рода:

(t)=

. Таким образом,

динамические погрешности ограничивают допустимую частоту

или скорость изменения измеряемой величины х(t) при заданном

цикле Т

Δx

x(t)

Δx

Рис.1. Динамическая погрешность 2-го рода в ЦИП: T

-t

Четвёртый член содержит погрешность, обусловленную

взаимодействием СИ с объектом измерений (или другим

компонентом измерительной цепи).

Все погрешности, кроме первой, связаны не только со

свойствами СИ, но и с условиями измерений. В связи с этим при

нормировании метрологических характеристик на этапе

проектирования и создания СИ закладывается основа для

эксплуатации СИ в разных условиях. Метрологические

характеристики конкретного СИ постоянны в данный момент, но

с течением времени они изменяются из-за износа, старения,

регулировки элементов, а по совокупности СИ данного типа они

являются случайными из-за разброса параметров при

изготовлении и условий эксплуатации. Поэтому при

нормировании метрологических характеристик должна быть

предусмотрена возможность оценки соответствия конкретного

СИ установленным нормам, а также оценки предельной

погрешности при использовании данного СИ (для этой цели

лучше всего подходит предел допускаемых значений

метрологической характеристики). Кроме того должна быть

предусмотрена возможность определения вероятностных

характеристик распределения погрешности результата

измерений, проводимых любым СИ данного типа (для этого

проводят усреднение значений метрологической характеристики

по группе СИ). Последнее связано с необходимостью для

изготовителя проведения значительного числа испытаний, что не

всегда оправдано для СИ, эксплуатируемых в традиционных

условиях. Метрологические характеристики СИ (МХ СИ ),

регламентируемые в ГОСТ 8.009-84[17], используются для

определения результатов измерений и расчётной оценки

характеристик инструментальной составляющей погрешности

измерений, расчёта метрологических характеристик каналов

измерительных систем, оптимального выбора СИ и контроля СИ

на соответствие установленным нормам. Комплекс

метрологических характеристик конкретных СИ должен быть

достаточен для оценок погрешностей результатов измерений в

реальных условиях применения. МХ СИ следует выбирать так,

чтобы контроль СИ можно было осуществлять при приемлемых

затратах.

Комплекс нормируемых МХ (НМХ) выбирается из

следующего ряда характеристик (в соответствии с ГОСТ 8.009-

84).

Характеристики для определения результата измерений (без

введения поправок). К ним относятся функция преобразования

измерительного преобразователя или измерительного прибора с

наименованной шкалой f(x) и значение однозначной или значения

многозначных мер. Для этих характеристик нормируются

номинальные значения или функции. Например, ГОСТ 6651-84

«Термопреобразователи сопротивления» нормирует

номинальную функцию преобразования R(t)=W(t)·R(0), где R(0)-

сопротивление преобразователя при 0°С, W(t)- коэффициент,

зависящий от температуры. Допускается не нормировать

номинальные характеристики отдельных СИ, имеющих

индивидуальные характеристики. В этих случаях нормируют

пределы, в которых должна находиться индивидуальная

характеристика. Нормируется также цена деления шкалы

измерительного прибора или многозначной меры, вид выходного

кода, число разрядов кода, цена единицы наименьшего разряда

кода СИ, предназначенных для выдачи результатов в цифровом

коде. Например, ГОСТ 13837-79 «Динамометры общего

назначения» нормирует нижний предел минимальной цены

деления динамометров как 0,01 от наибольшего предела

измерений.

Характеристики погрешности СИ. К ним относятся

характеристики систематической и случайной составляющих

погрешности и случайной составляющей погрешности от

гистерезиса, либо характеристики погрешности СИ (если

нецелесообразно разделение). Нормируемыми характеристиками

систематической составляющей

погрешности являются её

предельные значения Δ

либо значения

с математическим

ожиданием M[

] и стандартным отклонением (СТО) σ[

]

распределения

по совокупности СИ данного типа. Величины

] и σ[

] указывают для СИ, выпускаемых партиями, если

их можно использовать для оценки погрешности измерений (т.е.

можно пренебречь их изменениями от времени и влияющих

величин или возможно их нормирование в виде функций времени

и условий применения). В остальных случаях нормируют

пределы

. Их определяют как границы интервала, в котором

значение

всех СИ данного типа должно иметь вероятность

P=1. Вероятность P=1 не контролируется, но по условию |

| ≤

| проводится отбраковка неправильных СИ при приёмо-

сдаточном контроле или поверке. На практике, зная

распределение

можно установить границы по заданной P.

Например, для случайного распределения при P=0,997:

=M[

]

3 σ[

Нормируемой характеристикой случайной составляющей

погрешности СИ является предел σ

[

] допускаемых значений

СТО σ[

]. Если СИ предназначено для работы в условиях, при

которых необходимо учитывать корреляцию случайной

погрешности во времени, дополнительно может нормироваться

нормализованная автокорреляционная функция r

[

] или

функция спектральной плотности S

(

Нормируемой характеристикой случайной составляющей (

)

погрешности от гистерезиса является предел (без указания знака)

вариации H

выходного сигнала или показаний СИ.

Характеристикой погрешности СИ (при нормальных или рабочих

условиях применения) является значение погрешности. При её

нормировании устанавливают пределы (положительные и

отрицательные)

допускаемой погрешности и предел H

допускаемой вариации. Нормирование пределов

допускаемой

погрешности СИ без указания составляющих погрешности –

наиболее простой и удобный для контроля способ нормирования.

Это допустимо в следующих случаях:

1).СТО в каждой точке диапазона измерений не превышает

установленной доли предела допускаемой погрешности σ[

]

≤

max

/100;

2). СИ предназначено для совместного применения с другими

СИ, и его погрешность в рабочих условиях применения

практически полностью может быть определена

нормированными границами (верхней и нижней:

соответствующими нормальным условиям. Например, для

штриховых мер длины, обладающих незначительной случайной

погрешностью, нормируют предел допускаемой основной

погрешности

. Силоизмерительные машины, напротив,

характеризуются существенной случайной погрешностью,

поэтому для них определяется предел допускаемой

систематической погрешности

=0,12% и предел допускаемых

значений СТО случайной погрешности

[

] = 0,1% в диапазоне

до 20% от верхнего предела измерений и 0,05% в диапазоне

свыше 20%.

Допускается нормирование функций или плотностей

распределения систематической или случайной составляющей

погрешностей СИ. Знание распределений позволило бы

определить M[

[

] и

(

) и доверительные интервалы

для погрешности СИ, что повысило бы качество решения многих

задач. Однако такое нормирование требует проведения большого

объёма испытаний и на практике применяется редко.

Характеристики чувствительности СИ к влияющим величинам.

К ним относятся функции влияния f(

) либо изменения

(

)

значений МХ, вызванные изменениями влияющих величин в

установленных пределах. При нормировании задают

номинальную функцию влияния f

(

) и пределы допускаемых

отклонений от неё или верхнюю f

(

) и нижнюю f

(

)

граничные функции влияния. Номинальные функции влияния

служат для определения поправок к результатам измерений,

обусловленных отличием значений влияющих величин от

номинальных. Пределы допускаемых отклонений f(

) от

номинальной функции f

(

) используют для контроля качества

СИ. Если у СИ одного типа велик разброс функций влияния

(>20% от номинального значения), то определение поправок с

учётом номинальной функции может привести к существенной

погрешности в результатах измерений. Поэтому для отдельных

СИ целесообразно указывать индивидуальные функции влияния,

а граничные функции влияния нормировать для типа СИ

Изменения

(

) значений метрологических характеристик,

вызванные изменениями влияющих величин, нормируют путём

установления пределов

(

) (положительных и отрицательных)

допускаемых изменений характеристики при изменении

влияющих величин в заданных пределах (т.е. пределов

допускаемой дополнительной погрешности СИ). f(

) и

(

)

нормируют отдельно для каждой величины или для нескольких

величин, если это необходимо для повышения точности

измерений. Так, для измерительных потенциометров постоянного

тока нормируют пределы дополнительных погрешностей от

действия температуры окружающей среды, напряжения,

коэффициента искажения вспомогательного источника питания

(если он есть) и внешнего магнитного поля.

Динамические характеристики СИ. Различают полную

динамическую характеристику, адекватно описывающую

динамические свойства СИ, и частную, являющуюся

функционалом или параметром полной. Полная динамическая

характеристика устанавливается для линейных аналоговых СИ.

Нормирование частной динамической характеристики

допускается, когда она достаточна для учёта динамических

свойств СИ при его применении. К частным характеристикам

относятся: время реакции (время установления показаний или

выходного сигнала) t

; коэффициент демпфирования

dam

дифференциальном уравнении:

dam

xxx

ϖϖ

′

+=,

описывающем линейное СИ второго порядка; значение

резонансной собственной частоты

; постоянная времени Т;

максимальная частота (скорость) измерений f

max

;

Динамические характеристики нормируют путём

установления номинальной характеристики и пределов

(положительных и отрицательных) допускаемых отклонений от

неё. Для СИ с большим разбросом динамических характеристик

по типу СИ (>20% от номинальной характеристики) нормируют

граничные динамические характеристики, используемые при

контроле качества СИ, а для отдельных СИ устанавливают

индивидуальную динамическую характеристику. К полным

характеристикам относятся характеристики изменения выходного

сигнала в зависимости от времени и входного сигнала

(передаточная функция, импульсная весовая функция,

переходная характеристика и т.д.)

Неинформативные параметры выходного сигнала СИ

нормируют путём определения номинальных параметров и

пределов допускаемых отклонений от них либо наибольших или

наименьших допускаемых значений параметров.

Комплекс нормируемых метрологических характеристик

устанавливается для конкретного типа СИ на основании

принятой модели погрешности в реальных условиях применения.

Используется два вида моделей погрешности. Первая модель

имеет вид:

10 0 0

*** *

sstH

din

Δ=Δ Δ Δ Δ Δ

∑

, (1.2.3)

где ∆

-систематическая составляющая основной погрешности

СИ; ∆

ost

–случайная составляющая основной погрешности; ∆

оH

–

случайная составляющая основной погрешности, обусловленная

гистерезисом; ∑∆

сi

– объединение дополнительных

погрешностей, обусловленных действием влияющих величин и

неинформативных параметров входного сигнала СИ; ∆

dyn

динамическая погрешность СИ; k - число дополнительных

погрешностей.

Вторая модель записывается в виде:

dyn

=ΔΔΔΔ

∑

, (1.2.4)

где ∆

– основная погрешность СИ (без разделения на

составляющие). Символ * означает объединение погрешностей.

Если принята первая модель, то * означает статистическое

суммирование математических ожиданий и дисперсий для

определения точечных и интервальных характеристик, в

частности, интервала, в котором с заданной вероятностью

находится погрешность измерений. Во второй модели * означает

арифметическое суммирование модулей наибольших значений

погрешностей, то есть соответствующих пределов допускаемых

значений погрешностей (это грубая оценка). Какую модель

принять, зависит от свойств СИ данного типа.

Вторую модель применяют для СИ, у которых случайную

составляющую погрешности можно считать несущественной.

Основная погрешность выражается в виде: ∆

=∆

/2, где Н

–

вариация в нормальных условиях. Вторую модель применяют и

при существенной случайной составляющей погрешности, если

составляющие ∑∆

и ∆

dyn

пренебрежимо малы, т.е.

инструментальную погрешность измерений можно принять

равной основной погрешности СИ. Если риск (потери),

связанный с превышением допустимой погрешности велик, то

применяется 1-ая модель. Например, для пирометров излучения

регламентируют пределы допускаемых дополнительных

погрешностей вследствие отклонения от номинальных значений

напряжения питания, температуры и яркости, равные (0,3-0,5)∆

каждый, и в результате влияния внешнего магнитного поля –