Типовой расчёт по высшей математике



29.12.2010 в 18:47 593.5 Кб doc 15 раз

№11  

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 . Найти: 1) длину ребра А1А2;

2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4 ; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ; 4) площадь грани А1А2А3 ; 5) объём пирамиды ; 6) уравнение прямой А1А2 ; 7)уравнение плоскости А1А2А3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Сделать схематический чертёж.

А1 (4;2;5); А2 (0;7;2); А3 (0;2;7); А4 (1;5;0)

Решение

1)Определим длину ребра А1А2.

Длина ребра А1А2 равна длине вектора , координаты и длину которого определили по формулам

  (1)

(2)

Подставим в формулы (1), (2) координаты точек А1 и А2, получим:

 ;    

Ответ:  (лин. ед.)

2)Определим угол между рёбрами А1А2 и А1А4

Угол между рёбрами равен углу между векторами

Угол  между векторами определили по формуле

  (3)

Координаты и длину вектора вычислим по формулам (1), (2)

 откуда

  (лин. ед.)

Так скалярное произведение равно

   (4)

Подставим полученные значения для ,

в формулу (3) , получим

, откуда

Ответ: Угол между рёбрами А1А2  и А1А4 

3) Определим угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдём по формуле

        (5)

где  направляющий вектор прямой        А1А4;

      - нормальный вектор плоскости А1А2А3.

В качестве направляющего вектора  прямой А1А4 выберем вектор,

А нормального вектора плоскости А1А2А3 - вектор =.

Координаты вектора  определим по формуле (1)

 , откуда

Так как векторное произведение

        ; то         , откуда

Длину вектора

Определим по формулам (2)

, откуда  (лин. ед.)

Скалярное произведение  вычислим по формуле (4)

, откуда =139

Подставим полученные значения для в формулу (5)

         

Ответ: угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3   

4) Определим площадь грани А1А2А3.

Площадь грани А1А2А3. найдём с помощью формулы

 (7)

Так как  (см. предыдущую задачу), то из формулы (7)

следует    (кв. ед.)

Ответ: Площадь грани А1А2А3     (кв. ед.)

5)Определим объём пирамиды А1А2А3А4.

Объём пирамиды, построенной на векторах , как на рёбрах, определим по формуле

         (8)

Подставим координаты векторов  в формулу (8), получим

 Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно

 (куб. ед.)

Ответ: Объём пирамидыА1А2А3А4   V=14.1 (куб. ед.)

6) Составим уравнение прямой А1А2

Используем уравнение прямой, проходящей через точки А1(x1;y1;z1) и А2(x2;y2;z2):         (9)

Подставим в формулу (9) координаты точек А1 и А2, получим

, откуда

Ответ: Уравнение прямой А1А2  

7)Составим уравнение плоскости А1А2А3.

Используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А1(x1;y1;z1), А2(x2;y2;z2),А3(x3;y3;z3)

 (10)

Уравнение плоскости, проходящей через точки А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7)

 В соответствии с формулой (10) запишем так

 или

Разлагая последний определитель по элементам первой строки, получим

 или 10x+20y-20z+180=0

Ответ: Уравнение плоскости А1А2А3    10x+20y-20z+180=0

8) Составим  уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Для составления уравнения высоты А4А5, проходящей через точку А4(x4;y4;z4) перпендикулярно плоскости А1А2А3, используем каноническое уравнение прямой   (11)

где m, n, p – координаты направляющего вектора этой прямой. В качестве направляющего вектора высоты А4А5 выберем нормальный вектор

плоскости А1А2А3.

 , который перпендикулярен плоскости А1А2А3,

а значит коллинеарен прямой А4А3. Подставим в уравнение (11) координаты точки А4 (1;5;0) и вместо m; n; p – координаты вектора  ,

получим  

Ответ: Уравнение высоты А4А5:  

№21

Уравнение одной из сторон квадрата x+3y-5=0.

Составить уравнение трёх остальных сторон квадрата, если Р(-1; 0)- точка пересечений его диагоналей. Сделать чертёж.

1)Приведём уравнение прямой x+3y-5=0 к виду y=kx+b  

Следовательно прямой перпендикулярна ей будет иметь вид y=3x+b2

Найдём b2, при условии, что данная прямая будет проходить через точку Р(-1;0)

0=-3+ b2

                                                              b2=3

y=3x+3

Найдём точку пересечения данной прямой с прямой

Найдём точку N1, образующуюся при пересечении прямой y=3x+3 и стороны квадрата.

N (xN ; yN)

   

xN=2xp-xk              yN=2yp-yk

xN= -1.6                   yN= -1.8           N(-1.6; -1.8)

Проведём через точку N прямую, параллельную x+3y-5=0

Проведём прямую, параллельную x+3y-5=0, проходящую через P(-1; 0)

k1=k2

Проведём прямую, перпендикулярную прямой  через точку, отстоящую от точки Р на расстоянии KP.

Для этого составим уравнение окружности, вписанной в данный квадрат

(x-a)2+(y-b)2=R2

Для этого найдём расстояние KP.

Подставим в формулу, где a и b –координаты точки Р, являющейся центром вписанной окружности

(x+1)2+y2=3.6

Найдём точку пересечения окружности с прямой


        

M (-2; 8; 0.6)      L (0,8; -0,6)

Через полученные точки проводим прямые параллельные прямой y=3x+3

1)       2)

Найдём вершины квадрата:

Точка пересечений прямых y=3x+9 и  является точкой А.

 А (-2,2; 2,4)

Точка пересечений прямых y = 3x + 9 и  является  точкой D                    D (-3,4; -1,2)

Точка пересечений прямых     и y = 3x - 3  является точка С

                      С (0,2; -2,4)

Точка пересечений прямых y = 3x – 3 и  является точкой B

    B (1,4; 1,2)

Ответ: y = 3x – 3,  y = 3x + 9,   ,  А (-2,2; 2,4), B (1,4; 1,2),

С (0,2; -2,4), D (-3,4; -1,2).

№31

Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат до точки А(5;0) относится как 2:1.

Решение

Пусть точка N(x;y) – точка, принадлежащая линии.

Обозначим начало координат точкой О, тогда ;  ;

        

        Центр круга находится в точке . Радиус =

        Y

        1

                   |                   | 1  |    |    |    |    |    |        X

                                                          -1      -1        

№51

Дана система лінійних рівнянь:

Доказати її сумісність й рішити двома засобами :

Методом Гауса.

Методом оберненої матриці.

Розв’язок

1. Знаходимо визначник     системи, для того щоб дізнатись про кількість розв’язків системи, а також доказати її сумісність:

Так як , то система має єдиний розв’язок, а тому вона сумісна і може бути приведена до трикутного вигляду.

Виписуємо з системи розширену матрицю (В) та за допомогою елементарних перетворень приводимо її до трикутного вигляду.

Елементарні перетворення, що можливі до матриці:

Заміна місцями двох рядків (стовбців) матриці.

Множення усіх елементів матриці на довільну константу не равну нулю.

Додавання якого-небудь рядка (стовбця) відповідно елементів другого рядка (стовбця) помножено на довільне число.

Відкидання усіх нульових рядків (стовбців) матриці.

Докажемо, що система сумісна: для того щоб система лінійних рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці системи.

Ранг – кількість ненульових рядків матриці після приведення її до трикутного вигляду .

r(A)-ранг матриці; r(B)- ранг  розширеної матриці; n – число невідомих.

r(A)=3, r(B)=3, n=3;   r(A)= r(B)=n

Ми бачимо, що ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці та числу невідомих і це значить, що система лін. Рівнянь сумісна і має єдиний розв.

Перейдемо до системи рівнянь :

Розв’яжемо систему засобом оберненої матриці:

     - матриця системи;

     - матриця вільних членів        

     - матриця невідомих

За формулою Ах=В знаходимо х:      А-1Ах=А-1В

Так як А-1А=Е – єдинична матриця

      х=А-1В        

А-1- обернена матриця (існує тільки при умові, що матриця А невиражена)

Матриця наз. Невираженою, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Так як  матриці А то А-1 – існує

А-1=

Знайдемо алгебраїчні додатки матриці А:

               

                                                           

               

Составимо обернену матрицю А-1:


та за формулую :                      

Для того, щоб помножити матриці, треба перший рядок множити на перший стовбець, так ми отримаємо а11 і потім послідовно множити другий і т.п.

Для того, щоб помножити матрицю, треба, щоб число стовбців множительної матриці дорівнювало числу рядків множимої матриці. Іначе множення не буде.

Властивості множення:  

Відповідь: x1 = 2;    x2 = -2;        x3=3 .                

№111

Обчислити границі, не використовуючи правило Лопеаля

а)

Отже, ми отримали невизначеність . Вона розкривається діленням чисельника і знаменника найвищу ступінь многочлена. Поділемо чисельник і знаменник на х

б)

Ми отримали невизначеність .

Тепер позбавимось ірраціональності.

в)

Невизначенність .

. Будемо зводити до І знаменної границі

г)

Будемо зводити границю до другої знаменної

                

№141

Найти производные  данных функций:

а)   б)

в)   г)   д)

Решение

Производная функция равна отношению её дифференциала к диф-лу независимой переменной

а)

   

Чтобы получить производную от квадратного корня из функции, надо единицу разделить на два корня квадратных из той же функции и полученную дробь умножить на производную от функции, стоящей под корнем. Можно также заменить  как

б) =

   

   

  Здесь мы имеем дело со сложной функцией. Для того, чтобы найти её производную, воспользуемся формулой

  для дифференцирования сложной функции.

в)

Для нахождения производной данной функции необходимо сначала взять производную , а так как функция сложная, то необходимо найти и

г)

Прологарифмируем данную функцию, получим:

     

Найдём производную хх отдельно, воспользуемся снова логарифмированием

Таким образом, чтобы найти производную такого типа, нужно учитывать что x>0, так как в противном случае функцию нельзя будет логарифмировать.

д)

Так как функция неявная, то при дифференцировании  получается  по формуле

Решение этой неявной функции состоит в том, что обе части уравнения дифференцируются по x с учётом, что y есть функция x, и из полученного уравнения определяется .

         

№151

Найти  для заданных функций: а)y=f(x)

                                                                           б)

а)б)        

а)Найдём для функции

Мы нашли , теперь найдём  для этой функции:

б)Найдём  для функции ; т.е.

Найдём , т.е. найдём производную первого порядка ;

Узнаем

Найдём , т.е. найдём производную второго порядка, которая находится по формуле:    

Ответ: функции:  а)   б) 

            функции :  а)       б) 

№181

Требуется изготовить из жести цилиндрический бак без крышки данного объёма V. Каковы должны быть радиус и высота бака, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество металла?

Решение

        Объём цилиндра найдём по формуле: ,

        Где R- радиус основания, h – высота цилиндра.

        Площадь боковой поверхности:

        Так как бак без крышки, то полная поверхность равна

        h        .

        Изобразим полную поверхность через радиус основания и объём

        

        

Найдём производную первого порядка:

        

        Здесь мы используем формулы:

Необходимое условие существования экстремума

Найдём вторую производную

То есть , при  уйдёт наименьшее количество материала.

№191

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x), используя результаты исследования, построить её график

1. точки разрыва нет.

2.Функция непрерывна в D(y)

3.Исследования на асимптоты:  y=kx+b

y=0 – горизонтальная асимптота

4.Исследование на чётность-нечётность

 - функция нечётная, т.е. симметричная относительно начала координат:

5.Найдём пересечения с осями координат:

Оy:        О(0;0)

Ox:  

        

        –         +        х

                                                               0

6.Найдём экстремумы функции и её промежутков монотонности:

6.1  

6.2    (корня из отриц. числа не сущ.)

         –        +         –         

                        х

                  -2                 2

Значение функции в этих точках:

y min(-2) = -1

y max(2 = 1

7. Исследуем функцию на вогнутость и выпуклость:

   

7.1

7.2

        

         –        +                      –        +

        х

                        0                           

Значение функции в этих точках:

        y

                                                                                     

        x

        |                     |

        

№201

1)D(y)=

Определили тип разрыва.

2)x=0   - вертикальная асимптота

   

3) Проверим на чётность

      - функция нечётная

График симметричен относительно начала координат

4) Ищем наклонные асимптоты .

   

b1=0

Асимптот наклонных нет

5) Ох:   y=0:   lnx=0;   x=1  (1;0)

    Oy:  

6) Находим производную функции

   

   

        max

        +                 –

        0                        e2

Найдём координаты точки max по у

7)Найдём вторую производную и промежутки выпуклости и вогнутости

        

        

         –         –

        0                                х

        1

                max                

                

        1        1           e2                        

        

        

       R

     R

Комментарии


Смотрите также


Кириченко Б.И., Суетина Н.Л. Дифференцирование и интегрирование

Кириченко Б.И., Суетина Н.Л. Дифференцирование и интегрирование

разное
Методические указания к выполнению контрольных заданий по высшей математике
Ульяновск: УлГТУ, 1998, - 32 с.

Методические указания написаны в соответствии с программой по высшей математике для студентов ускоренной формы обучения. Изложена методика выполнения контрольных заданий по дифференцированию и интегрированию ...
18.11.2009 в 20:59 145.74 Кб 9 раз
Нет изображения

Кобяк Г.Ф. Высшая математика

разное
Составитель - разработчик: ст. преподаватель Кобяк Г.Ф. Учебно-методическое пособие по дисциплине Высшей математике для студентов-заочников 1 курса в МЭСИ.
Основные формулы по дисциплине «Высшей математике», а также примеры решения задач на темы: прямая в пространстве, прямая и плоскость в пространстве, матрицы и определител...
23.11.2011 в 23:54 1.76 Мб 6 раз
Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики

Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики

разное
Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учеб. для студентов втузов. — М. Высш. шк. , 1986. — 480 с.
Учебник представляет собой первый том курса высшей математике и предназначен для студентов-заочников инженерно-техн...
19.01.2011 в 21:26 13.54 Мб 34 раза
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс

разное
М.: Айрис-пресс, 2007. - 592 с. 6-е издание

Книга является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего несколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во II-IV семестрах технических вузов.

По ...
19.10.2011 в 00:12 32.83 Мб 28 раз
Игнатьева Н.У., Ратникова Т.А. Справочные материалы по высшей математике

Игнатьева Н.У., Ратникова Т.А. Справочные материалы по высшей математике

разное
Справочная литература. - М.: МЭИ, 2004. -60 с.
Справочные материалы по высшей математике. Пригодятся как студентам, так и уже окончившим специалистам. Включает в себя разделы:
Основные мат. понятия.
Формулы.
Графики.
Последовательности.
Теория Рядов.
Интегрирование.
Дифференциальные уравнения.
23.12.2010 в 00:04 594.93 Кб 8 раз
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс

Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс

разное
М.: Айрис-пресс, 2007. — 592 с: ил. — (Высшее образование). ISBN 978-5-8112-2948-2
Книга (6-е изд. ) является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего несколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во II-IV се...
27.03.2010 в 07:57 4.1 Мб 147 раз
Нет изображения

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике

разное
Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов. Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим разделам: теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, высшая алгебра, ряды и дифференциальные ...
22.02.2009 в 09:17 74.78 Мб 928 раз
Казакова Т.В. Высшая математика. Сборник упражнений

Казакова Т.В. Высшая математика. Сборник упражнений

разное
Книга содержит упражнения по курсу "Высшая математика" для студентов I и II курсов естественных факультетов государственных университетов, где на преподавание математики отводится до 200 учебных часов. Некоторые задачи, включенные в сборник заимствованы из различных распространенных сборников задач по высшей математике, в частно...
06.07.2010 в 00:25 2.27 Мб 47 раз
Черняк Ж.А. (сост.) Методические указания и контрольные работы по высшей математике

Черняк Ж.А. (сост.) Методические указания и контрольные работы по высшей математике

разное
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, 2004, 55с.
Для студентов специальности «Экономика и управление предприятием» заочной формы обучения
Материал содержит методические указания и условия восьми контрольных работ по высшей математике для студентов экономических специальностей БГУИР заочн...
12.07.2011 в 18:45 775.57 Кб 12 раз
Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике (том 3)

Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике (том 3)

разное
В томе 3 рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа.

Справочное пособие по высшей математике.
Интегралы, зависящие от параметра.
Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равно...
21.04.2009 в 15:44 2.6 Мб 20 раз