78
1
()Rx
+
= {Ø — пустое множество};
21 31
( ) {}; ( ) {};Rx x Rx x
++
==
123 2
(){, }, ( )Rx xx Rx
−−
==
{Ø};
3
()Rx
−
{Ø}.
В приведенном примере отношения R заданы не на всем
множестве Х. Если не все элементы сравнимы по отношению R,
то оно называется неполным (несовершенным, нелинейным,
частичным). На всем множестве объектов Х могут быть уста-
новлены
отношения эквивалентности, строгого порядка и
нестрогого порядка
. В [3, 4, 6] даны определения данных от-
ношений. Напомним, что отношение эквивалентности содержа-
тельно интерпретируется как взаимозаменяемость, одинако-
вость объектов. Часто отождествляют понятия эквивалентности,
равноценности и несравнимости. Отношение эквивалентности
порождает разбиение множества объектов на классы, объеди-
няющие неразличимые объекты по одному либо группе крите-
риев. В приведенном примере
2
x
и
3
x
находятся в отношении
эквивалентности
2
x
~
3
x
.
Отношение строгого порядка может интерпретироваться
как предпочтительность одного объекта по сравнению с другим,
например «лучше», «важнее», «старше» и т.д. В приведенном
примере
1
x учится лучше
2
x и
3
x ,
1
x
f
2
x и
1
x
f
3
x . Отноше-
ние строгого порядка порождает строгое упорядочение по пред-
почтительности. Если бы добавили, например, отношение
3
x f
2
x , то получили бы строгий порядок
1
x f
3
x f
2
x .
В случае строгого упорядочения объектов по предпочти-
тельности П. Фишберном [22] доказана теорема, что можно по-
строить функцию полезности ()Ux, такую, что для
() ( ).
ij i j
xx Ux Ux⇒>f
Определение функции ()Ux позволяет
перейти от языка бинарных отношений к критериальному язы-
ку, взяв ()Ux в качестве критериальной функции.
Отношение нестрогого порядка есть объединение отноше-
ний строгого порядка и эквивалентности, оно интерпретируется
как предпочтительность либо эквивалентность
ij
xx≥
объектов