Курсова робота. — Ужгород: УжНУ, 2014. — 34 с.
Державний вищий навчальний заклад"Ужгородський національний університет", Математичний факультет. Зміст.
Вступ.
Основні поняття. Властивості перетворення Лапласа.
Згортка функцій. Властивості згортки.
Обернене перетворення Лапласа.
Інтегральні рівняння типу згортки та інтегро-диференціальні рівняння.
Практична частина.
Висновки.
Використана література. В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого простору. Відповідність між цими двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень та їх властивостей, а також розробка операційних методів, що дозволяють мінімізувати та спростити обчислення.
Застосування операційного методу можна порівняти з логарифмуванням, коли: 1) від чисел переходять до логарифмів; 2) над логарифмами виконують дії, що відповідають діям над числами; 3) від знайдених логарифмів знову повертаються до чисел. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.
Застосовується перетворення Лапласа в розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки. Воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. .
Першими операційне числення почали досліджувати в своїх роботах Лейбніц (1646-1916 рр.), Ейлер (1707-1783 рр.), Лагранж (1736-1813 рр.), Лаплас (1749-1827 рр.), Фур’є (1768-1830 рр.), Коші (1789-1857 рр.). Англійський інженер-електрик Олівер Хевісайд (1850-1925 рр.) ввів в символічне числення правила дій з оператором d/dt=p і функціями цього оператора, він також досягнув значних успіхів з проблемами теорії електромагнітних коливань в провідниках. В Росії вперше операційним численням почав займатися М.Е.Ващенко-Захарченко (1825-1912 рр.). Він вивів формулу розкладу для випадку простих і кратних коренів, яка ввійшла в літературу як формула розкладу О. Хевісайда. Також в книзі російського математика А.В. Лєтнікова (1837-1888 рр.) Теория дифференцирования с произвольным указателем розглядаються питання близькі до операційного числення.
На основі інтегральних перетворень в дослідженнях Д. Карсона, Бромвича, Леви, Ван-дер-Поля було строго математично обґрунтовано про операційне числення. .
Широко використовуються інтегральні перетворення Бесселя, Мелліна, синус- Перетворення вперше ввів Ейлер (1737р.). Лапласом були визначені (1782р.) властивості цього перетворення, а також введені нескінчені границі інтегрування.
Американський інженер Д. Карсон показав (1926р.) зв’язок між операційним численням та інтегральним перетворенням Лапласа, встановив відношення між оригіналом f(t) і його зображенням F(p) у вигляді інтегрального рівняння. Обернену залежність між оригіналом f(t) і його зображенням F(p) показав англійський математик Бромвич (1875-1930 рр.).
Теорія і додатки операційного числення отримали математичне обґрунтування і подальший розвиток в працях радянських вчених: Н.М. Крилова, Н.Н. Боголюбова, М.А. Лаврентєва, Б.В. Шабата, І.З. Штокало, А.В. Ликова, Б.В. Булгакова і А.М. Лур’є.
Державний вищий навчальний заклад"Ужгородський національний університет", Математичний факультет. Зміст.
Вступ.
Основні поняття. Властивості перетворення Лапласа.
Згортка функцій. Властивості згортки.
Обернене перетворення Лапласа.
Інтегральні рівняння типу згортки та інтегро-диференціальні рівняння.
Практична частина.
Висновки.
Використана література. В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого простору. Відповідність між цими двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень та їх властивостей, а також розробка операційних методів, що дозволяють мінімізувати та спростити обчислення.
Застосування операційного методу можна порівняти з логарифмуванням, коли: 1) від чисел переходять до логарифмів; 2) над логарифмами виконують дії, що відповідають діям над числами; 3) від знайдених логарифмів знову повертаються до чисел. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.
Застосовується перетворення Лапласа в розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки. Воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. .
Першими операційне числення почали досліджувати в своїх роботах Лейбніц (1646-1916 рр.), Ейлер (1707-1783 рр.), Лагранж (1736-1813 рр.), Лаплас (1749-1827 рр.), Фур’є (1768-1830 рр.), Коші (1789-1857 рр.). Англійський інженер-електрик Олівер Хевісайд (1850-1925 рр.) ввів в символічне числення правила дій з оператором d/dt=p і функціями цього оператора, він також досягнув значних успіхів з проблемами теорії електромагнітних коливань в провідниках. В Росії вперше операційним численням почав займатися М.Е.Ващенко-Захарченко (1825-1912 рр.). Він вивів формулу розкладу для випадку простих і кратних коренів, яка ввійшла в літературу як формула розкладу О. Хевісайда. Також в книзі російського математика А.В. Лєтнікова (1837-1888 рр.) Теория дифференцирования с произвольным указателем розглядаються питання близькі до операційного числення.
На основі інтегральних перетворень в дослідженнях Д. Карсона, Бромвича, Леви, Ван-дер-Поля було строго математично обґрунтовано про операційне числення. .
Широко використовуються інтегральні перетворення Бесселя, Мелліна, синус- Перетворення вперше ввів Ейлер (1737р.). Лапласом були визначені (1782р.) властивості цього перетворення, а також введені нескінчені границі інтегрування.
Американський інженер Д. Карсон показав (1926р.) зв’язок між операційним численням та інтегральним перетворенням Лапласа, встановив відношення між оригіналом f(t) і його зображенням F(p) у вигляді інтегрального рівняння. Обернену залежність між оригіналом f(t) і його зображенням F(p) показав англійський математик Бромвич (1875-1930 рр.).
Теорія і додатки операційного числення отримали математичне обґрунтування і подальший розвиток в працях радянських вчених: Н.М. Крилова, Н.Н. Боголюбова, М.А. Лаврентєва, Б.В. Шабата, І.З. Штокало, А.В. Ликова, Б.В. Булгакова і А.М. Лур’є.