Горлач В.В. и др. Лабораторный практикум по колебательным и волновым процессам

Подождите немного. Документ загружается.

справедливы для цепей постоянного и квазистационарного

токов.

Согласно второму правилу Кирхгофа для RLC-контура можно

записать

+ u

= ε

, (20э.1)

где u

= i∙R

– напряжение, обусловленное наличием сопротивления R;

– напряжение на конденсаторе; ε

= –

– ЭДС

самоиндукции в катушке.

Подставив эти выражения в (20э.1), получим

iR +

= –

, или

iR

= 0

. (20э.2)

Так как

i =

, то

R



= 0

. (20э.3)

Принимая во внимание пропорциональность заряда конденса-

тора приложенному напряжению (q = C∙u), получим дифференциаль-

ное уравнение, описывающее затухающие колебания напряжения,



⋅



u = 0

. (20э.4)

Обозначим

2 L

= 

– коэффициент затухания,

= ω

– квад-

рат собственной угловой частоты и перепишем уравнение (20э.4)

в виде

2⋅

ω

u = 0

. (20э.5)

Решение линейного дифференциального уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами (20э.5) при условии β < ω

имеет вид

u = U

−t

⋅cosωt φ



или

u = U⋅cosω tφ



19 В данном случае в цепи протекает переменный ток, но учитывая, что размеры контура l не

слишком велики (т. е. l < c/

, где с – скорость света, с которой распространяются

электромагнитные колебания; l – длина контура;

– частота колебаний), можно считать

мгновенные значения тока во всех точках контура практически одинаковыми.

Удовлетворяющие такому условию токи называются квазистационарными.

(20э.6)

где U

– начальная амплитуда (амплитуда в момент времени t = 0);

U = U

− t

– амплитуда свободных колебаний – переменная

величина, зависящая от времени (U = U(t)); φ

– начальная фаза;

ω – угловая частота.

ω =



−



−

4 L

. (20э.7)

Амплитуда свободных колебаний

уменьшается с течением времени тем

быстрее, чем больше коэффициент затуха-

ния β. График зависимости u(t) изображен

на рис. 20э.2 сплошной линией, а U(t) –

пунктирной.

Промежуток времени τ, в течение

которого амплитуда затухающих колеба-

ний уменьшается в e раз (е = 2,718...),

называется временем релаксации. Понятие времени релаксации

позволяет выяснить физический смысл коэффициента затухания.

По определению времени релаксации

−

= e

, отсюда



. (20э.8)

Коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации.

На практике для количественной характеристики скорости

затухания используется логарифмический декремент колебаний –

безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения

амплитуд, измеренных через период,

 = ln

t T

. (20э.9)

Если амплитуды в (22э.9) заменить их выражениями

U = U

− t

и учесть



= N



, то становится ясным

простой физический смысл величины Λ: логарифмический декремент

– величина, обратная числу колебаний за время релаксации,





. (20э.10)

U = U

∙e

-βt

←T→

Рис. 22э.2. Диаграмма

свободных колебаний

Учитывая

 =

2 L

и T = 2π/ω, получим из (20э.9) взаимосвязь

логарифмического декремента с коэффициентом затухания

 = ⋅T

(20э.11)

и зависимость логарифмического декремента от параметров контура:

 =

R π

Lω

. (20э.12)

Колебательный контур характеризуется также добротностью Q

– безразмерной величиной, пропорциональной отношению энергии

колебаний контура в некоторый начальный момент времени к убыли

этой энергии за интервал времени, равный периоду,

Q = 2π

−W

. (20э.13)

Если учесть пропорциональность энергии квадрату амплитуды

колебаний (W ~ A

), то

Q = 2π

−A

2π

1−e

−2 T

2π

1−e

−2 

При слабом затухании (β << ω

ω ≈ ω

;

2βT = 2Λ << 1) имеем

приближённые равенства:

Q ≈ π/Λ ≈ πN

и Q ≈



. (20э.14)

Из (20э.14) можно видеть: 1) добротность пропорциональна

числу колебаний, совершаемых за время релаксации; 2) добротность

контура определяется параметрами колебательного контура.

С ростом коэффициента затухания условный период затухаю-

щих колебаний (T = 2π/ω, где

ω =



−

) увеличивается и обра-

щается в бесконечность, когда β = ω

. При β ≥ ω

в контуре

свободных

колебаний не происходит, а колеблющаяся величина асимптотически

стремится к нулю при t → ∞. Такой процесс называется

апериодическим. Сопротивление контура, при котором имеет место

этот процесс, называется критическим: R

кр



L/C

и определяется

из условия ω

= β. Очевидно, что при всех значениях омического

сопротивления контура R

< R

кр

– процесс колебательный, R

> R

кр

–

процесс апериодический (колебания не возникают).

3. Описание экспериментальной установки

Исследуемый колебательный контур включает катушку индуктив-

ности L, конденсатор С и переменный резистор R

. Установка смонти-

рована в настольном стенде по схеме, представленной на рис. 20э.3.

Стенд подключается к компьютеру, выполняющему функции

измерительного прибора и генератора

импульсов.

В контур включён переменный резистор

, сопротивление которого можно изменять

от нуля до 680 Ом. Кроме того, в контуре

действует активное сопротивление соедини-

тельных проводов и катушки индуктивности.

(Это сопротивление R

рассчитывается по

результатам измерений.)

Колебания в контуре периодически возбуж-

даются с помощью одиночных импульсов,

формируемых компьютером. Колебания наб-

людаются на мониторе, выполняющем роль

осциллографа. Каждый импульс, подаваемый

на колебательный контур, возбуждает один цуг

затухающих колебаний.

Цель работы: убедиться, что результаты наблюдений свободных

колебаний в RLC-контуре не противоречат экспоненциальному закону

U = U

− t

; (20э.15)

исследовать влияние активного сопротивления контура на

характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания,

логарифмический декремент колебаний, добротность контура, период

колебаний; по результатам измерений рассчитать параметры

колебательной системы: собственную частоту ω

(сравнить с частотой

свободных колебаний ω); сопротивление соединительных проводов и

катушки R

; критическое сопротивление R

кр

4. Выполнение работы

1. *Собрать установку по схеме (рис. 20э.3).

Соединения произ-

водятся проводниками со штыревыми наконечниками.

20 Используется один из модулей реально-виртуальной лаборатории «Электричество и

магнетизм». Изготовитель модуля и программного обеспечения – ТГУСУР, г. Томск.

21 Здесь и далее помеченные звёздочкой действия выполняются, если установка заранее не

подготовлена к выполнению измерений.

L C

     

Рис. 20э.3.

Cхема установки

N1 N2 G

Ø Ø

2. *Запустить компьютерную программу, задавая выполнение

операций: Пуск /Программы /Лаборатория ФИЗИКА ЭиЭ/Работа 4.

3. Подвести курсор к виртуальной кнопке Выключено/Включено

в рабочем окне программы (рис. 20э.4) и нажатием левой кнопки

мыши активировать питание стенда. Бегунками прогрессбаров

установить электронный луч в центр экрана. Кнопкой Питание Imp

запустить импульсный генератор. При этом на экране должна

появиться картина затухающих колебаний. Обнулить сопротивление

поворотом ручки в крайнее положение против часовой стрелки.

4. Измерить период колебаний. Для этого, взяв мышью верти-

кальные измерительные метки,

находящиеся в углу экрана

осциллографа, подвести их к

первым двум соседним максиму-

мам и, нажав кнопку Данные,

считать результат измерения и

записать в отчёт. Измерения про-

вести для первых пяти колебаний

и записать в таблицу.

5. Измерить амплитуды пяти

первых колебаний. Для этого

мышью подводить горизон-

тальные измерительные метки к

оси симметрии осциллограммы и

к выбранному максимуму и, нажимая кнопку Данные, считывать с

экрана результаты.

6. Увеличить сопротивление R

до максимально возможного,

следя за тем, чтобы в наблюдаемой картине оставалось не менее пяти

доступных измерению колебаний. Записать в таблицу новое значение

R= R

+ R

и выполнить измерения амплитуд (см. п. 5).

7. По результатам измерений вычислить для обоих случаев по

четыре значения логарифмического декремента

 = lnU

n1



где n – номер измеряемой амплитуды. Вычислить средние

арифметические значения <Λ

> и <Λ

> . Рассчитать добротности

контура Q

и Q

по формуле (20э.14).

8. Проверить справедливость экспоненциального закона убыва-

22 Прогрессбар – (англ. progress – движение; bar – стержень, полоса) – виртуальный регулятор.

Рис. 20э.4. Рабочее окно программы

Метки

Питание Imp

Данные

Выключено

Включено

ния амплитуды со временем

U = U

⋅e

− t

, для чего привести это

выражение к виду

= t

. Тогда, если закон (20э.15) справедлив,

то на диаграмме в координатах

n1

− t

– экспериментальные

точки укладываются на прямую, а величина β определяет угловой

коэффициент этой прямой (тангенс угла наклона к оси абсцисс).

9. Выразив для удобства время в периодах t = nT, построить на

одной диаграмме два графика зависимости

n1

от nT для двух

разных сопротивлений контура и по графикам найти коэффициенты

затухания β

и β

10. *Вычислить индуктивность контура, зная β

и β

. Рассчитать

активное сопротивление R

проводников контура, а также собствен-

ную угловую частоту ω

, используя значения угловой частоты

свободных колебаний ω = 2π/Т и ёмкости контура С = 0,05 мкФ.

11. *Вычислить периоды колебаний Т

и Т

при сопротивлениях R

и R

и сравнить со значениями величин <Т

> и <Т

>, полученными из

эксперимента. Рассчитать критическое сопротивление R

кр

Результаты измерений

n T

, с U

, В β , с

-1

ln(U

n+1

) Λ

<Т

= ... с

<β

> = ... с

-1

<Λ

> = …

= ... с

= ...

= R

= … Ом

= R

+ R

= … Ом

1 <Т

= ... с

<β

> = ... с

-1

<Λ

> = …

= ... с

= ...

= … Ом; R

кр

= ... Ом; ω

= ... c

-1

12. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

Контрольные вопросы

Допуск

1. Какова цель работы?

2. Перечислить элементы исследуемой колебательной системы, в

которой можно наблюдать свободные электромагнитные колебания?

3. Какие характеристики колебаний изменяются в данной работе при

увеличении активного сопротивления контура?

4. Что называют временем релаксации?

5. Что нужно сделать в данной работе, чтобы подтвердить

экспоненциальный характер изменения амплитуды со временем?

6. Как вы будете определять (что непосредственно измерять и по какой

формуле вычислять): а) коэффициент затухания; б) логарифмический

декремент колебаний?

Защита

7. От каких параметров контура зависит его собственная частота?

8. Как соотносятся между собой собственная частота и частота

затухающих колебаний?

9. Как изменятся: а) период; б) частота; в) коэффициент затухания;

логарифмический декремент колебаний в контуре, если увеличить его

индуктивность в два раза?

10. *Пусть заряд конденсатора изменяется по закону косинуса. Какие

величины, характеризующие колебания в контуре, изменяются: а) по

такому же закону; б) по закону синуса?

11. Чем обусловлено затухание колебаний в контуре?

12. Раскрыть физический смысл: а) коэффициента затухания; б) логариф-

мического декремента; в) добротности колебательного контура.

13. По данным таблицы для одного из двух значений сопротивления

контура (по указанию преподавателя) определить характеристики

колебательного процесса: а) время релаксации, τ; б) коэффициент

затухания β

= 1/τ; в) логарифмический декремент Λ

= 1/N

14. *Вывести дифференциальное уравнение для затухающих электромаг-

нитных колебаний в контуре.

15. Каким должно быть соотношение параметров контура (R, L, C), чтобы

в контуре были возможны электромагнитные колебания?

16. *Что такое критическое сопротивление контура?

Лабораторная работа 21

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Рекомендуемая литература

[6]. §27.2. С. 358. Механические гармонические колебания; §28.2.

С. 373. Вынужденные механические колебания.

Основы теории

Вынужденными называют колебания, происходящие в системе

под внешним воздействием механической силы или электродвижущей

силы, изменяющихся по гармоническому закону.

Рассмотрим колебания груза массы m на пружине жесткости k

под действием синусоидальной силы F в вязкой среде, характе-

ризуемой коэффициентом сопротивления r. Вынуждающая сила

изменяется по закону F = F

∙ sinΩt, где F

– амплитуда;

Ω – угловая

частота. Кроме того, на груз действуют сила упругости F

упр

со стороны

пружины жёсткостью k и сила сопротивления F

(рис. 21.1).

Второй закон Ньютона в применении к движению данного тела

записывается в виде



упр









вын

= m a

. (21.1)

Учитывая F

х упр

= – k∙x и F

= – r∙υ

запишем (21.1) в проекции на ось Х :

– k∙x – r∙υ

+ F

∙ sinΩt = m∙a,

или в дифференциальной форме

2 ⋅



x =

∙sin Ωt

где

β=

2 m

– коэффициент затухания;





– собственная угло-

вая частота данной системы (частота при отсутствии сопротивления и

периодического внешнего воздействия).

Частное решение этого уравнения найдено в виде функции

x = A⋅sintφ



где φ

– отставание по фазе колебаний груза от вынуждающей силы.



упр

Y k



вын



а

Рис. 21.1.

Силы при движении груза

на пружине в вязкой среде

Груз колеблется с навязанной извне частотой вынуждающей силы

Ω и с амплитудой, зависящей от амплитуды этой силы. Кроме того,

амплитуда в значительной степени зависит от соотношения частот Ω и

(частоты вынуждающей силы и частоты собственных колебаний):

A =





−



4 

⋅

. (21.2)

Согласно (21.2) амплитуда возрастает при

Ω → ω

, пока Ω < ω

, но когда Ω > ω

и величина

Ω продолжает увеличиваться, тогда амплитуда

начинает убывать. Таким образом, теория пред-

сказывает немонотонное изменение амплитуды

от частоты вынуждающей силы. График

зависимости А(Ω), согласно теории, имеет вид

кривой с максимумом (рис. 21.2).

Частоту, при которой амплитуда достигает максимума (точку

экстремума), найдём, приравняв нулю производную подкоренного

выражения в (21.2).



−2

Цель работы: исследовать зависимость амплитуды колебаний от

частоты вынуждающей силы и убедиться в том, что результаты

опытов не противоречат закону (21.2); определить резонансную

частоту для данной колебательной системы.

Приборы: электродвигатель, реостат, груз на

пружине, погружённый в сосуд с вязкой средой

(минеральное масло), счётчик оборотов, секундомер,

миллиметровая стальная линейка.

Описание установки

Груз на пружине погружён в сосуд с вязкой

жидкостью. Пружина связана с эксцентриком Э (рис.

21.3), приводимым в движение электродвигателем

(на рисунке не показан). Вращательное движение

эксцентрика вызывает колебательное (вверх-вниз)

движение груза, закреплённого на пружине. Верхнее

и нижнее положение груза определяются с помощью

указателя У, связанного с грузом, и линейки Л, закреплённой

неподвижно. Вал эксцентрика соединён со счётчиком оборотов.

Рис. 21.2.

Резонансная кривая

Рис. 21.3.

Схема установки



Частота вращения эксцентрика равна частоте вынужденных

колебаний груза. Скорость вращения электродвигателя регулируется с

помощью реостата.

Выполнение работы

1. Включить электродвигатель и, медленно повышая частоту,

довести амплитуду колебаний до максимальной,

т. е. добиться

резонанса.

2. Измерить размах колебаний 2А как разность координат

указателя У в верхнем и нижнем положениях: 2А = у

– у

3. Включить секундомер и одновременно отметить начальное

положение счётчика N

. По прошествии N оборотов эксцентрика по

счётчику (N > 15) и времени t (t > 15 с) выключить секундомер и

отметить конечное показание счётчика N

. Результаты записать в

таблицу.

Результаты измерений

, мм у

, мм 2А, мм А, мм N

t, c ν

4. Уменьшая частоту, а затем её увеличивая, повторить измере-

ния по пп. 1 – 3 для получения не менее трёх значений амплитуды и

частоты при резонансе.

5. Выполнить измерения амплитуды, числа оборотов и соответ-

ствующего времени при двух частотах, меньших резонансной,

ν< ν

, и на двух бóльших частотах, ν > ν

6. Вычислить количество оборотов N = N

– N

и частоту

колебаний

 =

, или

 =

– N

7. Вычислить относительные и абсолютные погрешности

частоты и амплитуды при резонансе.

23 Для того, чтобы колебательная система получила достаточную энергию и установилась

определённая амплитуда, должно пройти несколько колебаний на выбранной частоте.

Резервировать не менее 5 строк таблицы