Американский математик Дж. Л. Уолш известен как специалист по
теории аппроксимации и интерполяции функций комплексного
переменного. Предлагаемая книга представляет собой перевод со
второго, дополненного издания его широко известного труда,
посвященного основным проблемам этой теории.
Книга будет полезна каждому математику, интересующемуся вопросами теории аппроксимации и интерполяции функций.
Из предисловия к первому изданию.
Предисловие ко второму изданию.
Возможность аппроксимации. Аналитические функции.
Точечные множества; предварительные определения.
Функционально-теоретические соображения.
Открытое множество как сумма областей.
Разложение аналитической функции.
Теорема об аналитическом продолжении.
Аппроксимация; выбор полюсов.
Компоненты аналитической функции.
Методы Аппеля и Вольфа.
О свойстве единственности аналитических функций.
Необходимые условия для аппроксимации.
Возможность аппроксимации; продолжение.
Первая теорема Линделёфа.
Вторая теорема Линделёфа.
Конформное отображение переменных областей.
Аппроксимация в замкнутой жордановой области.
Применения; жордановы конфигурации.
Общие формы интегральной формулы Коши.
Интеграл по площади области как мера аппроксимации.
Равномерная аппроксимация; дальнейшие результаты.
Интерполяция н лемнискаты.
Интерполяционные полиномы.
Интерполяционные последовательности и ряды.
Лемнискаты и ряды Якоби.
Аналогичные интерполяционные ряды.
Более общие интерполяционные ряды.
Порядок сходимости полиномов. Сверхсходимость.
Эквипотенциальные кривые (линии уровня) при конформных отображениях.
Аппроксимация кривых Жордана лемнискатами.
Аппроксимация модуля отображающей функции.
Аппроксимация модуля отображающей функции; продолжение.
Порядок сходимости; достаточные условия.
Порядок сходимости; необходимые условия. Сверхсходимость.
Максимальная сходимость.
Точные области равномерной сходимости.
Аппроксимация на более общих точечных множествах (иррегулярный случай).
Наилучшее приближение полиномами.
Чебышевская аппроксимация.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом.
Приближение, измеряемое интегралом по площади области.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом после конформного отображения дополнения.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом после конформного отображения внутренней области.
Точечные множества с бесконечным числом компонент.
Ограничения, которым должны удовлетворять весовые функции.
Приближение функций, не являющихся аналитическими на рассматриваемом замкнутом множестве.
Ортогональность и наименьшие квадраты.
Ортогональные функции и наименьшие квадраты.
Ортогонализация.
Теория Рисса—Фишера.
Замкнутость.
Аппроксимация аналитических функций полиномами.
Асимптотические свойства коэффициентов.
Области сходимости.
Полиномы, ортогональные на нескольких кривых.
Функции второго рода.
Функции класса Н2.
Полиномы от z и 1/z.
Экстремальная проблема; криволинейные интегралы.
Экстремальная проблема; интегралы по площади области.
Интерполяция полиномами.
Интерполяция в корнях из единицы.
Достаточные условия максимальной сходимости.
Необходимое условие равномерной сходимости.
Дальнейшие условия максимальной сходимости.
Равномерное распределение точек.
Интерполяция в равномерно распределенных точках.
Точки интерполяции с экстремальными свойствами.
Существование максимально сходящихся полиномов (Шень).
Синтез интерполяции и чебышевской аппроксимации.
Наименьшие квадраты и интерполяция в корнях из единицы.
Интерполяция рациональными функциями.
Интерполяционные формулы.
Интерполяционные последовательности и ряды.
Двойственность; обшие теоремы.
Двойственность; иллюстрации.
Двойственность и интерполяционные ряды.
Иллюстрации.
Гармонические функции как производящие функции.
Гармонические функции как производящие функции (продолжение).
Геометрические условия на заданные точки.
Геометрические условия (продолжение).
Аппроксимация рациональными функциями.
Приближение в смысле средних квадратичных на единичной окружности и интерполяция.
Единичная окружность; теоремы сходимости.
Единичная окружность; приближение в других метриках.
Единичная окружность; асимптотические условия на полюсы.
Применения.
Полюсы с предельными точками на окружности.
Общие точечные множества; порядок сходимости.
Общие точечные множества; наилучшее приближение.
Обобщения.
Общие точечные множества; асимптотические условия на полюсы.
Преобразования асимптотических условий.
Асимптотические условия после конформного преобразования.
Дальнейшие проблемы.
Интерполяция и аналитические функции в единичном круге.
Произведение Бляшке.
Функции, модуль которых не больше числа М.
Функции с наименьшим максимумом модуля.
Сходимость минимизирующих последовательностей.
Общий вид интерполирующих функций.
Условия единственности.
Функции класса Н2.
Аппроксимация с дополнительными условиями и аппроксимация неаналитических функций.
Приближение с интерполяцией данной функции.
Интерполяция данной функции; порядок сходимости.
Экстремальные проблемы с дополнительными условиями.
Разложение отображающей функции.
Аппроксимация на спрямляемой жордановой кривой.
Интерполяция в корнях из единицы.
Чебышевская мера приближения; экстремальные проблемы.
Чебышевское приближение полиномами и рациональными функциями.
Приближение функциями, не обращающимися в нуль.
Существование и единственность рациональных функций наилучшего приближения.
Последовательности рациональных функций данной степени.
Применение к чебышевской аппроксимации.
Ограничение на расположение полюсов.
Рациональная функция наилучшего приближения не обязана быть единственной.
Интегральные меры аппроксимации.
Аппроксимация с дополнительными условиями.
Единственность аппроксимирующих функций с фиксированными полюсами.
Дополнение.
Возможность аппроксимации полиномами.
Аппроксимация полиномами; условия непрерывности.
Д. З. Интерполяция и аппроксимация ограниченными аналитическими функциями.
Литература.
Приложение. С. Н. Мергелян. О некоторых результатах в теории равно» мерных н наилучших риближений полиномами и рациональными функциями.
Наилучшее приближение полиномами.
Равномерные приближения рациональными функциями.
Наилучшие приближения рациональными функциями.
Литература к приложению и к примечаниям переводчиков.
Именной указатель.
Предметный указатель.
Книга будет полезна каждому математику, интересующемуся вопросами теории аппроксимации и интерполяции функций.
Из предисловия к первому изданию.
Предисловие ко второму изданию.
Возможность аппроксимации. Аналитические функции.
Точечные множества; предварительные определения.
Функционально-теоретические соображения.
Открытое множество как сумма областей.
Разложение аналитической функции.
Теорема об аналитическом продолжении.
Аппроксимация; выбор полюсов.
Компоненты аналитической функции.
Методы Аппеля и Вольфа.
О свойстве единственности аналитических функций.
Необходимые условия для аппроксимации.
Возможность аппроксимации; продолжение.
Первая теорема Линделёфа.
Вторая теорема Линделёфа.
Конформное отображение переменных областей.
Аппроксимация в замкнутой жордановой области.
Применения; жордановы конфигурации.
Общие формы интегральной формулы Коши.
Интеграл по площади области как мера аппроксимации.
Равномерная аппроксимация; дальнейшие результаты.
Интерполяция н лемнискаты.
Интерполяционные полиномы.
Интерполяционные последовательности и ряды.
Лемнискаты и ряды Якоби.
Аналогичные интерполяционные ряды.
Более общие интерполяционные ряды.
Порядок сходимости полиномов. Сверхсходимость.
Эквипотенциальные кривые (линии уровня) при конформных отображениях.
Аппроксимация кривых Жордана лемнискатами.
Аппроксимация модуля отображающей функции.
Аппроксимация модуля отображающей функции; продолжение.
Порядок сходимости; достаточные условия.
Порядок сходимости; необходимые условия. Сверхсходимость.
Максимальная сходимость.
Точные области равномерной сходимости.
Аппроксимация на более общих точечных множествах (иррегулярный случай).
Наилучшее приближение полиномами.
Чебышевская аппроксимация.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом.
Приближение, измеряемое интегралом по площади области.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом после конформного отображения дополнения.
Приближение, измеряемое криволинейным интегралом после конформного отображения внутренней области.
Точечные множества с бесконечным числом компонент.
Ограничения, которым должны удовлетворять весовые функции.
Приближение функций, не являющихся аналитическими на рассматриваемом замкнутом множестве.
Ортогональность и наименьшие квадраты.
Ортогональные функции и наименьшие квадраты.
Ортогонализация.
Теория Рисса—Фишера.
Замкнутость.
Аппроксимация аналитических функций полиномами.
Асимптотические свойства коэффициентов.
Области сходимости.
Полиномы, ортогональные на нескольких кривых.
Функции второго рода.
Функции класса Н2.
Полиномы от z и 1/z.
Экстремальная проблема; криволинейные интегралы.
Экстремальная проблема; интегралы по площади области.
Интерполяция полиномами.
Интерполяция в корнях из единицы.
Достаточные условия максимальной сходимости.
Необходимое условие равномерной сходимости.
Дальнейшие условия максимальной сходимости.
Равномерное распределение точек.
Интерполяция в равномерно распределенных точках.
Точки интерполяции с экстремальными свойствами.
Существование максимально сходящихся полиномов (Шень).
Синтез интерполяции и чебышевской аппроксимации.
Наименьшие квадраты и интерполяция в корнях из единицы.
Интерполяция рациональными функциями.
Интерполяционные формулы.
Интерполяционные последовательности и ряды.
Двойственность; обшие теоремы.
Двойственность; иллюстрации.
Двойственность и интерполяционные ряды.
Иллюстрации.
Гармонические функции как производящие функции.
Гармонические функции как производящие функции (продолжение).
Геометрические условия на заданные точки.
Геометрические условия (продолжение).
Аппроксимация рациональными функциями.
Приближение в смысле средних квадратичных на единичной окружности и интерполяция.
Единичная окружность; теоремы сходимости.
Единичная окружность; приближение в других метриках.
Единичная окружность; асимптотические условия на полюсы.
Применения.
Полюсы с предельными точками на окружности.
Общие точечные множества; порядок сходимости.
Общие точечные множества; наилучшее приближение.
Обобщения.
Общие точечные множества; асимптотические условия на полюсы.
Преобразования асимптотических условий.
Асимптотические условия после конформного преобразования.
Дальнейшие проблемы.
Интерполяция и аналитические функции в единичном круге.
Произведение Бляшке.
Функции, модуль которых не больше числа М.
Функции с наименьшим максимумом модуля.
Сходимость минимизирующих последовательностей.
Общий вид интерполирующих функций.
Условия единственности.
Функции класса Н2.
Аппроксимация с дополнительными условиями и аппроксимация неаналитических функций.
Приближение с интерполяцией данной функции.
Интерполяция данной функции; порядок сходимости.
Экстремальные проблемы с дополнительными условиями.
Разложение отображающей функции.
Аппроксимация на спрямляемой жордановой кривой.
Интерполяция в корнях из единицы.
Чебышевская мера приближения; экстремальные проблемы.
Чебышевское приближение полиномами и рациональными функциями.
Приближение функциями, не обращающимися в нуль.
Существование и единственность рациональных функций наилучшего приближения.
Последовательности рациональных функций данной степени.
Применение к чебышевской аппроксимации.
Ограничение на расположение полюсов.
Рациональная функция наилучшего приближения не обязана быть единственной.
Интегральные меры аппроксимации.
Аппроксимация с дополнительными условиями.
Единственность аппроксимирующих функций с фиксированными полюсами.
Дополнение.
Возможность аппроксимации полиномами.
Аппроксимация полиномами; условия непрерывности.
Д. З. Интерполяция и аппроксимация ограниченными аналитическими функциями.
Литература.
Приложение. С. Н. Мергелян. О некоторых результатах в теории равно» мерных н наилучших риближений полиномами и рациональными функциями.
Наилучшее приближение полиномами.
Равномерные приближения рациональными функциями.
Наилучшие приближения рациональными функциями.
Литература к приложению и к примечаниям переводчиков.
Именной указатель.
Предметный указатель.