Покажем, что
. Действительно, если бы выполнялось нера-
венство
, то, ввиду очевидного неравенства
1=c
1>c bc
, числа b, с и 1
были бы попарно различными делителями числа
b, и потому должно
было бы иметь место неравенство
1)(
≥σ cbb , противоречащее
равенству
. cbb +=σ )(
Итак, мы показали, что
и . Отсюда следует,
что число
b является простым. Действительно, в противном случае
должно существовать такое натуральное число
d, что числа b, d и 1
являются попарно различными делителями числа
b, откуда
, что невозможно.
12 −=
k
b
k
b 2)( =σ
)(221)( bddbb
kk
σ=>+=++≥σ
Таким образом,
, где и )12(2
1
−⋅=
− kk
a 2≥k 12
k
– простое
число
Евклид в своих «Началах» доказал, что любое число указанного в
формулировке теоремы 11 вида является совершенным, а Эйлер, спустя
2000 лет показал, что других четных совершенных чисел нет. Следует
отметить, что до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совер-
шенные числа. Неизвестно также, является ли множество всех четных
совершенных чисел конечным или бесконечным. Ответ на этот вопрос
явился бы, разумеется, и ответом на вопрос, является ли конечным или
бесконечным множество простых чисел вида
12
k
, и наоборот.
Нетрудно видеть, что если число
является простым, то про-
стым должно быть и число
k. Действительно, если число k составное и
, где и – некоторые целые числа, то равенство
12 −
k
mnk = 1>m 1>n
)12...22()12(1)2(12
)2()1(
++++⋅−=−=−
−⋅−⋅ mnmnmmnmk
показывает, что и число
12
k
будет составным. Тем не менее обрат-
ное не имеет места. Хотя при
число 7,5,3,2=k 12
k
является
простым (и дает четные совершенные числа, перечисленные выше), уже
при
число является составным. 11=k 12 −
k
Простые числа вида
12
k
называются простыми числами Мер-
сенна(1588-1648) по имени французского математика Мерсенна, жив-
62