79
Дж.Нэшем в 1950 г. было доказано, что для всякой конечной
бескоалиционной игры существует хотя бы одна равновесная ситуация
в смешанных стратегиях.
Равновесные решения игры индивидуально устойчивы, но не
всегда наилучшие с точки зрения выигрыша всех участников, посколь-
ку не все точки равновесия эффективны.
Заметим, что для антагонистических бескоалиционных игр ре-
шения игры в различных равновесных ситуациях в общем случае мо-
гут быть различны, тогда как для антагонистической игры все ситуа-
ции равновесия дают одинаковые значения выигрыша.
Теорема Нэша здесь приводится без доказательства, как и про-
чие теоремы и утверждения. Ее доказательство весьма громоздко и
опирается на теорему Какутани (Kakytani) или на теорему Брауэра
(Brouwer) о неподвижной точке.
Доказательство это совершенно неконструктивно, в связи с чем
важность теоремы ограничивается вопросом существования ситуаций
равновесия. Пр именя ть ее непосредственно для отыскания таких си-
туаций не удается. Однако все методы приближенного нахождения
неподвижных точек в непрерывных отображениях компактных мно-
жеств (особенно выпуклых) в себя могут быть использованы для при-
ближенного решения конечных бескоалиционных игр.
5.6. Особенности решения бескоалиционных игр
Проблема отыскания равновесных исходов в бескоалиционной
игре Г формата m
1
×m
2
×...×m
N
составит в решении системы из
∑
=
N
1i
i
m
неравенств типа (5.11) с
i
N
1i
m
=
∏
условиями неотрицательности и N
условиями нормировки. С вычислительной точки зрения это весьма
непростая проблема, которая усугубляется возможной множественно-
стью решения. Лишь для отдельных классов бескоалиционных игр
решение этой задачи поддается достаточно несложному описанию.
Действительно, пусть
*
N
*
2
*
1
*
X,...,X,X(X = ) – равновесная ситуа-
ция в смешанных стратегиях, а ситуация X
*
║х
i
есть ситуация X
*
, в ко-
торой компонента X
i
заменена на чистую стратегию х
i
участника игры
i. Если смешанная стратегия
),...,,(X
mi2
i
1
ii
ξξξ=
представляет собой
вектор вероятностей длины m
i
, то ситуация
k
i
x представляет собой век-
тор той же длины, у которого все компоненты нулевые, а k-я компо-
нента равна 1.
Так как чистая стратегия – частный случай смешанной, то
k
i
x=(0
1
, 0
2
, 1
k
,...,0
mi
) – вектор, подобный вектору Х
i
, у которого