57
Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Задачі на екстремум
Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції
на
відрізку
b,a
треба із значень функції на краях відрізку і в критичних точках
першого роду на інтервалі
відібрати найбільше й найменше.
Приклад. Знайти найбільше й найменше значення функції
432)(
23
+−= xxxf на відрізку
2;1
.
Розв’язання. Знайдемо похідну ),1(666)('
2
−=−= xxxxxf
.
Звідси
і
.
Функція має дві стаціонарні точки на інтервалі
. Знайдемо
значення функції в них.
.
Тепер знайдемо значення функції на границях
.
Із цих чотирьох точок оберемо найбільше
і найменше
.
Бачимо, що найбільше значення
функція досягає на правій границі у
точці
:
, а найменшого
– у точці
, на лівій
границі інтервалу
.
Існує багато задач, стосовно геометричних і фізичних об’єктів, що
розв’язуються за допомогою теорії екстремумів.
Наприклад. Існує дві функціонально залежних величини і треба
з’ясувати при якому, або яких значеннях однієї з них, друга приймає
найбільше або найменше значення. Для розв’язання треба встановити цю
функціональну залежність і дослідити функцію на найбільше і найменше
значення.
Приклад. З’ясувати розміри циліндра, який при заданому об’ємі
мав
би мінімальну повну поверхню
.
Розв’язання. Позначимо за
радіус основи циліндра, а за
його
висоту.