75
Далі, враховуючи
0
)1(
≠a головним елементом, виключимо невідоме
x
з усіх рівнянь системи, крім першого і другого. І так продовжуємо цей
процес, доки це можливо.
Якщо у процесі зведення системи до ступінчастого вигляду,
з’являються нульові рівняння, тобто (
) їх відкинемо, а якщо рівняння
виду
b
0 , де 0
b – це буде означати несумісність системи.
Зворотній хід. Розв’язання ступінчастої системи. З останнього рівняння
виразимо невідоме
x через невідомі
+
x , … ,
x .
Потім з передостаннього рівняння, знаючи
x , виразимо
−
x через
+
x , … ,
x і так далі знайдемо
−
x , … ,
x . Надаючи вільним невідомим
+
x , … ,
x довільні значення, отримаємо нескінченну множину розв’язків
системи.
Якщо ж ступінчаста система буде трикутною, тобто
, то ісходна
система матиме єдиний розв’язок. Тоді з останнього рівняння знайдемо
x , з
передостаннього
−
x і так далі, – з першого
x .
На практиці зручніше працювати не з системою, а з її розширеною
матрицею, виконуючи елементарні перетворення з її рядками. Зручніше
зробити коефіцієнт при першому невідомому у першому рівнянні рівним
одиниці, для чого можна переставити рядки, а може й стовпці розширеної
матриці, або ж поділити його на 1
a .
Приклад.
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом
Гауса.
=−−−
=−−−
=−−
=−+−
.810957
,35223
,25
,1532
4321
4321
321
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
.