39
Для этого сформулируем условия нахождения системы на гра-
нице устойчивости по критерию Гурвица:
- на апериодической границе a
n
= 0, откуда a
n
= k = 0; k
кр1
= 0;
- на периодической границе
n-1
= (T
1
+ T
2
)
1 – T
1
T
2
k = 0, откуда
получаем k
кр2
= (T
1
+ T
2
)/(T
1
T
2
). Учитывая опущенные знаки нера-
венств, система устойчива при значениях 0 < k < (T
1
+T
2
)/T
1
T
2
.
Множество значений коэффициента (параметра), обеспечиваю-
щих устойчивость системы, может лежать между критическими зна-
чениями, слева или справа на числовой оси от всех них, либо не суще-
ствовать вообще. Если исследуемый параметр попадает не только в
свободный член, но и в другие коэффициенты характеристического
уравнения, для определения критических значений следует использо-
вать необходимое условие устойчивости a
i
> 0.
Методы, позволяющие найти отрезок (область) значений пара-
метра, удовлетворяющих условиям устойчивости системы, обычно
применяют при проектировании (синтезе) систем.
1.4.3 Частотные критерии устойчивости
Частотный критерий Михайлова (1938 г.) основан на исследова-
нии характеристической функции D(jω) = U(ω) + jV(ω), полученной из
характеристического многочлена системы подстановкой s = jω.
Критерий имеет две формы – кривая на комплексной плоскости
и графики четной-нечетной функций. К первой форме относятся две
формулировки. Формулировка, использующая принцип аргумента:
система n-го порядка устойчива, если при изменении частоты от ну-
ля до плюс бесконечности характеристический вектор системы D(j
)
повернется против часовой стрелки на угол n
/2, не обращаясь нигде
в ноль.
Конец вектора D(j
) при изменении частоты чертит годограф
Михайлова или характеристическую кривую. На этом основана другая
формулировка критерия, чаще используемая в инженерной практике.
Система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начи-
наясь при =0 на действительной положительной полуоси, проходит
при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности последова-
тельно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости.
На рисунке 1.12, а показана кривая Михайлова неустойчивой
системы, у которой нарушена последовательность обхода квадрантов
комплексной плоскости.
Система находится на апериодической границе устойчивости
(рисунок 1.12, б), если кривая при
= 0 начинается в начале коорди-
нат, и на периодической границе устойчивости, если кривая при
0