175
§ 8.
КОДЫ
БЧХ,
ИСПРАВЛЯЮЩИЕ
ЗАДАННОЕ
ЧИСЛО
ОШИБОК
Рассмотрим матрицу:
С
=
a
11
cc
J2
а
(а
2
)«
(a
2
)
j
2
Jd'
(a
2
)
jd
'
B
d
.J
(4.8.4)
Ua
d
')«
(a
d
')
j
2
...
(a
d
')W'J
В силу равенств (4.8.3) получаем, что столбцы A^,...,A
d
» линейно зависи-
мы,
то есть:
А|
+
...
+ А^. (4-8-5)
Из соотношения линейной зависимости (4.8.5) следует, что строки
Bj,...,B
d
> также линейно зависимы, и найдутся постоянные P,,...,P
d
» е
{0,l},
что:
0
1
В
1
+... + р<Л
|Г
=б. (4.8.6)
Записывая соотношение (4.8.6) покомпонентно, получаем равенства
Pl(a)b+P
2
(a
2
)W... + p
d
V> =
= fta* + p
2
(a
j
*)
2
+... + p
d
<(a
j
* f =
0;
s =
l,...,d'.
(487)
Равенства (4.8.7) показывают, что многочлен
f (х) = p
lX
+ p
2
x
2
+... + p
d
,x
d
' = x(ft + p
2
x +... + ft,**"
1
)
(
4
-
8
-8)
имеет в составе корней элементы
а^,...,а^
. Заметим при этом, что эти
элементы различны, так как
jj,
j
2
,..., j
d
'
£ n = 2
m
-1.
Кроме того, эти
элементы как степени примитивного элемента а отличны от нуля и,
следовательно, являются корнями многочлена
h(x) = р, + Р
2
х +... + p
d
, X
е1
'-
1
,
(
4
-
8
-
9
)
<fegh(x)£d'-l.
При этом построенный многочлен h(x) имеет d' > degh(x) корней, что про-
тиворечит следствию из основной теоремы алгебры. А
Пример
8.1.
Построение двоичного БЧХ-кода.
Рассмотрим построение двоичного кода, исправляющего 3 ошиб-
ки с длиной кодового блока п = 2
4
-1 = 15. Построение будем
проводить в поле GF(2
4
), которое является алгебраическим рас-
ширением GF(2) корнем а неприводимого примитивного много-