∫
∆ε=∆
2
1
)(
x
x
cSdxxG
,
где )(xε – коэффициент пористости.
При выводе уравнения диффузии будем считать, что в трубке нет источников вещества, и
диффузия через стенки трубки отсутствует.
Составим уравнение баланса массы газа на участке ),(
21
xx за промежуток времени ),(
21
tt :
() ( ) ( )
[]
ξξ−ξξε=τ
τ
∂
∂
−τ
∂
∂
∫∫
dtutuSdx
x
u
xDx
x
u
xDS
x
x
t
t
122122
,,),()(),()(
2
1
1
1
.
Отсюда, подобно выводу уравнения теплопроводности, получим уравнение
t
c
x
c
D
x ∂
∂
ε=
∂
∂
∂
∂
,
являющееся уравнением диффузии. Оно вполне аналогично уравнению теплопроводности.
Если коэффициент диффузии постоянен const
D , то уравнение диффузии принимает вид
xxt
cac
2
=
, где
ε= Da
2
.
Если коэффициент пористости 1=ε , а коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диф-
фузии имеет вид
xxt
Dcc = .
Для получения единственного решения уравнения диффузии необходимо к уравнению при-
соединить начальные и граничные условия.
Как бы глубоки и разнообразны ни были методы качественного анализа математических мо-
делей, область их применимости всегда ограничена. Это – либо простые, главным образом, ли-
нейные, либо отдельные фрагменты сложных, в том числе нелинейных моделей. Единственным
универсальным способом исследования моделей является применение численных методов для
нахождения приближенного решения поставленной задачи. Для решения нелинейных задач теп-
лопроводности и диффузии широко применяется метод конечных разностей [12], который состоит
из двух этапов: на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей и изучаются их свой-
ства, на втором дискретные уравнения (как правило, нелинейные алгебраические уравнения вы-
сокой размерности) решаются численно.
О переходе к дискретным моделям теплопроводности и диффузии.
Метод конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумен-
тов (
и
) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой.
Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, оп-
ределенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в диф-
ференциальные уравнения, заменяются (аппроксимируются) при помощи соответствующих раз-
ностных соотношений. В результате такой замены дифференциальное уравнение заменяется сис-
темой алгебраических (разностных) уравнений. Начальные и краевые условия то же заменяются
разностными начальными и краевыми условиями. Естественно требовать, чтобы полученная та-
ким образом разностная краевая задача была разрешима, и ее решение при увеличении числа N уз-
лов сетки приближалось (сходилось) к решению исходной задачи.
Пусть область изменения аргументов ),( tx есть прямоугольник
()
Ttx ≤≤≤≤
0,10 . Построим
на отрезке 10 ≤≤ x сетку
}
1
,..1,0, Niihx
i
== с шагом
1
1 Nh
и сетку
}.,..,1,0,{
2
Njjt
j
=τ=
с шагом
2
NT=τ на отрезке Tt ≤≤0 .
Множество узлов
),(
ji
tx с координатами ihx
i
и
jt
j
назовем сеткой в прямоугольнике
и
обозначим через
τ
ω
h
сетку
)
21
,0;,0,, NjNijtihx
ji
==τ== . Эта сетка равномерна по каждой из пере-
менных
и
.