втором — в связи с исчезновением значащих цифр в ведущем элементе (в
результате вычитания двух величин, близких по значению) погрешность
дальнейших вычислений может быть чрезмерно велика.
Для устранения чрезмерной погрешности результатов вследствие
округления (причиной которой является близость к нулю ведущего элемента) и
возможности получения решения при точных вычислениях (когда ведущий
элемент равен нулю) предлагается использовать более сложную
вычислительную схему, в которой на каждом k-м шаге в качестве ведущего
элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент a
ij
(k-1)
(i, j =
k, ..., n).
Такая вычислительная схема называется схемой главного элемента.
На каждом k-м шаге необходимо выбрать наибольший по абсолютной
величине элемент а
макс
среди a
ij
(k-1)
(i, j = k, ...., n) и переставить строки и столбцы
матрицы А
(k-1)
, а также элементы столбца b
(k-1)
таким образом, чтобы а
макс
занял
место ведущего элемента a
kk
(k-1)
и только после этого выполнять дальнейшие
вычисления.
В связи со сложностью программной реализации схемы главного
элемента на практике применяются ее модификации, которые лишь немного
уступают по точности получаемых результатов, но характеризуются как более
простым программированием, так и меньшим суммарным временем расчета.
В этих модификациях на k-м шаге в качестве ведущего элемента
выбирается наибольший по абсолютной величине элемент a
ij
(k-1)
либо k-ro
столбца
(i = k, ..., n; j = k), либо k-й строки (i = k; j = k, ..., n), либо главной диагонали
(i = j = k, …, n). Выбор той или иной модификации определяется особенностями
матрицы А для конкретной технической задачи.
Неточность исходных данных. При решении инженерных задач
исходные данные всегда известны с некоторой погрешностью, определяемой
конечной точностью измерения или вычисления параметров системы и ее