Учебное пособие. — Минск, 2002. — 218 c. Настоящая книга посвящена
обсуждению прямых (бескоординатных) методов и связанных с ними
математических и физических концепций в теории распространения
объемных электромагнитных волн в сложных средах: слоистых,
бианизотропных, бигиротропных, поглощающих, магнитных,
диспергирующих (локально и нелокально). В центре внимания находятся
современные функциональные, операторные методы, позволяющие
описывать поля ковариантно, т. е. без использования явного вида
матриц−базисов пространств представления динамических уравнений
Максвелла с операторными уравнениями связи, и обходиться без
расчленения этих полей на собственные волны. В книгу в основном
вошли результаты исследований, полученные группой сотрудников
кафедры теоретической физики Белорусского государственного
университета, на протяжении ряда лет работавшей под руководством
академика Ф. И. Федорова -- создателя научной школы теоретической
физики в Беларуси.
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .3
Глава 1. Элементы линейной алгебры и прямого тензорного исчисления 5
§ 1. Скаляры, векторы и тензоры в трехмерном пространстве . . . . . .5
§ 2. Тензор как линейная векторная функция вектора. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 3. Алгебра операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 4. Тензоры в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
§ 5. Псевдообращение планальных и линейных тензоров . . . . . . . . .23
§ 6. Решения операторного квадратного уравнения α^2= β . . . . . . . .26
§ 7. Инволюционные операторы на плоскости . . . . . . . . . . . . . . .27
§ 8. Абстрактная задача Коши и ее операторные решения . . . . . . . .32
Глава 2. Уравнения электродинамики анизотропных сред . . . . . . .36
§ 9. Основные понятия теории волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
§ 10. Классификация сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
§ 11. Ковариантное описание поляризации волн . . . . . . . . . . . . . .55
§ 12. Тензор когерентности электромагнитного поля и его свойства . . . .60
§ 13. Уравнение нормалей. Собственные волны. Проекционные операторы собственных волн. . . . . . . . . . . . . . . .70
§ 14. Лучи и лучевые скорости. Принцип дуализма . . . . . . . . . . . . .77
Глава 3. Операторные эволюционные решения волновых уравнений .80
§ 15. Истоки операторного подхода в оптике . . . . . . . . . . . . . . . .80
§ 16. Эволюционный оператор поля и тензор показателей преломления .86
§ 17. Тригонометрическая форма экспоненциального оператора . . . . .93
§ 18. Световые инволюции в изотропных средах. Ветви максвелловского
операторного квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
§ 19. Бельтрами-поля в тензорных решениях уравнений Максвелла . . . 101
§ 20. Геометрия обобщенных винтовых линий при встречном распространении фотонов в изотропных средах . . . . . 106
§ 21. Комплексные максвелловские группы в описании эванесцентных фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 22. Эволюционные решения операторного уравнения Гельмгольца для бианизотропных сред . . . . . . . . . . . . . 123
§ 23. Ветви тензора показателей преломления в биизотропных и фараеевских средах . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 130
§ 24. Тензорныескоростисветовыхволнвнедиспергирующиханизотропных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 25. Факторизация волновых уравнений и тензорные скорости световых
импульсов в диспергирующих анизотропных средах . . . . . . . . . 138
Глава 4. Волны в анизотропных стратифицированных средах . . . . . 147
§ 26. Тензоры импедансов волн и границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 27. Характеристические матрицы. Тензоры нормальной рефракции. . 151
§ 28. Тензорные соотношения Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 29. Метод пересчета тензорных импедансов для слоистых сред . . . . . 172
§ 30. Отражение электромагнитных волн от слоистых непрерывно-неоднород-
ных анизотропных сред. Метод многократных отражений . . . 176
§ 31. Операторные решения волнового уравнения для закрученных кристаллов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 32. Другие применения операторного подхода в оптике сложных сред . 187
Глава 5. Тензорная геометрическая оптика поляризованных волн в стратифицированных анизотропных средах . . . .190
§ 33. Истоки максвелловской геометрической оптики . . . . . . . . . . . 190
§ 34. Эволюционныеоператорывгеометрооптическомприближении.Тензорный эйконал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 35. Распутывание эволюционных операторов . . . . . . . . . . . . . . . 197
§ 36. Пример расчета эволюционного оператора для изотропной среды с профилем ε(z) = a + b/z2. . .. . . . . . . . . 202
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Глава 1. Элементы линейной алгебры и прямого тензорного исчисления 5
§ 1. Скаляры, векторы и тензоры в трехмерном пространстве . . . . . .5
§ 2. Тензор как линейная векторная функция вектора. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 3. Алгебра операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 4. Тензоры в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
§ 5. Псевдообращение планальных и линейных тензоров . . . . . . . . .23
§ 6. Решения операторного квадратного уравнения α^2= β . . . . . . . .26
§ 7. Инволюционные операторы на плоскости . . . . . . . . . . . . . . .27
§ 8. Абстрактная задача Коши и ее операторные решения . . . . . . . .32
Глава 2. Уравнения электродинамики анизотропных сред . . . . . . .36
§ 9. Основные понятия теории волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
§ 10. Классификация сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
§ 11. Ковариантное описание поляризации волн . . . . . . . . . . . . . .55
§ 12. Тензор когерентности электромагнитного поля и его свойства . . . .60
§ 13. Уравнение нормалей. Собственные волны. Проекционные операторы собственных волн. . . . . . . . . . . . . . . .70
§ 14. Лучи и лучевые скорости. Принцип дуализма . . . . . . . . . . . . .77
Глава 3. Операторные эволюционные решения волновых уравнений .80
§ 15. Истоки операторного подхода в оптике . . . . . . . . . . . . . . . .80
§ 16. Эволюционный оператор поля и тензор показателей преломления .86
§ 17. Тригонометрическая форма экспоненциального оператора . . . . .93
§ 18. Световые инволюции в изотропных средах. Ветви максвелловского
операторного квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
§ 19. Бельтрами-поля в тензорных решениях уравнений Максвелла . . . 101
§ 20. Геометрия обобщенных винтовых линий при встречном распространении фотонов в изотропных средах . . . . . 106
§ 21. Комплексные максвелловские группы в описании эванесцентных фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 22. Эволюционные решения операторного уравнения Гельмгольца для бианизотропных сред . . . . . . . . . . . . . 123
§ 23. Ветви тензора показателей преломления в биизотропных и фараеевских средах . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 130
§ 24. Тензорныескоростисветовыхволнвнедиспергирующиханизотропных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 25. Факторизация волновых уравнений и тензорные скорости световых
импульсов в диспергирующих анизотропных средах . . . . . . . . . 138
Глава 4. Волны в анизотропных стратифицированных средах . . . . . 147
§ 26. Тензоры импедансов волн и границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 27. Характеристические матрицы. Тензоры нормальной рефракции. . 151
§ 28. Тензорные соотношения Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 29. Метод пересчета тензорных импедансов для слоистых сред . . . . . 172
§ 30. Отражение электромагнитных волн от слоистых непрерывно-неоднород-
ных анизотропных сред. Метод многократных отражений . . . 176
§ 31. Операторные решения волнового уравнения для закрученных кристаллов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 32. Другие применения операторного подхода в оптике сложных сред . 187
Глава 5. Тензорная геометрическая оптика поляризованных волн в стратифицированных анизотропных средах . . . .190
§ 33. Истоки максвелловской геометрической оптики . . . . . . . . . . . 190
§ 34. Эволюционныеоператорывгеометрооптическомприближении.Тензорный эйконал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 35. Распутывание эволюционных операторов . . . . . . . . . . . . . . . 197
§ 36. Пример расчета эволюционного оператора для изотропной среды с профилем ε(z) = a + b/z2. . .. . . . . . . . . 202
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207