Третье издание (существенно переработанное и дополненное), —
Москва: Эдиториал УРСС, 1999.
Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории
вероятностей и заканчивая основными элементами теории случайных
процессов. Настоящая книга написана на основе книги «Теория
вероятностей», вышедшей в 1986 году в издательстве «Наука» (г.
Москва). Многие разделы подверглись значительной переработке,
появились новые главы.
Книга включает в себя следующие темы:
Дискретное пространство элементарных событий:
Вероятностное пространство; Классическая схема; Схема Бернулли;
Вероятность объединения событий. Примеры
Произвольное пространство элементарных событий: Аксиомы теории вероятностей, Вероятностное пространство; Свойства вероятности; Условная вероятность, Независимость событий и испытаний; Формула полной вероятности и формула Байеса
Случайные величины и функции распределения: Определения и примеры; Свойства функций распределения и примеры; Многомерные случайные величин; Независимость случайных величин и классов событий ; О бесконечных последовательностях случайных величин; Интегралы
Числовые характеристики случайных величин: Математическое ожидание;
Условные функции распределения и условные математические ожидания; Математические ожидания функций независимых случайных величин; Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего; Дисперсия; Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики; Неравенства; Обобщение понятия условного математического ожидания;
Условные распределения
Последовательность независимых испытаний с двумя исходами: Законы больших чисел; Локальная предельная теорема; Теорема Муавра—Лапласа и ее уточнения; Теорема Пуассона и ее уточнения; Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли
О сходимости случайных величин и распределений: Сходимость случайных величин; Сходимость распределений; Условия слабой сходимости
Характеристические функции: Определение и свойства характеристических функций; Формула обращения; Теорема непрерывности (сходимости); Другой подход к доказательству теорем сходимости к известному распределению; Применение характеристических функций в теореме Пуассона; Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение; Другие применения х. ф., Свойства гамма-распределения; Производящие функции, Применение к изучению ветвящегося процесса, Задача о вырождении
Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы: Закон больших чисел; Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин; Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин; Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин; Другой подход к доказательству предельных теорем, Оценки погрешности; Локальная предельная теорема; Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае; Вероятности больших уклонений; Сходимость к другим устойчивым законам
Элементы теории восстановления: Процессы восстановления, функции восстановления; Основная теорема восстановления в решетчатом случае; Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распределение в решетчатом случае; Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в нерешетчатом случае; Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления
Последовательности независимых случайных величин. Свойства траектории (0,S_1,S_2,…) в целом: Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции; Сходимость рядов независимых случайных величин; Усиленный закон больших чисел; Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых
Факторизационные тождества: Факторизационные тождества и их первые следствия; Факторизационные тождества. Свойства траектории (0,S_1,S_2,…); Распределение S = max(0,zeta); Системы обслуживания; Факторизационные тождества для распределений, связанных с показательной функцией; Симметричные непрерывно распределенные случайные величины; Тождество Поллачека—Спитцера; Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху
Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова: Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация состояний; Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае; Теоремы о случайных блужданиях по решетке; Эргодические теоремы; Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей; Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичность цепей, имеющих положительный атом; Эргодичность харрисовых цепей Маркова
Информация и энтропия: Определения, свойства информации и энтропии; Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения
Мартингалы: Определения, простейшие свойства, примеры; О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда; Неравенства; Теоремы сходимости; Ограниченность моментов стохастических последовательностей
Стационарные (в узком смысле) последовательности: Основные понятия; Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости; Эргодическая теорема
Стохастически рекурсивные последовательности: Основные понятия; Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности; Условия эргодичности, связанные с монотонностью f; Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица
Случайные процессы с непрерывным временем: Общие определения; Условия регулярности процессов
Процессы с независимыми приращениями: Общие свойства; Винеровские процессы, свойства траекторий; Законы повторного логарифма; Пуассоновские процессы; Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями
Функциональные предельные теоремы: Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности); Закон повторного логарифма; Сходимость к пуассоновскому процессу
Марковские процессы: Определения и общие свойства; Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры; Ветвящиеся процессы; Полумарковские и регенерирующие процессы; Диффузионные процессы
Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы: Процессы с конечными моментами второго порядка; Гауссовские процессы; Задача о прогнозе
Приложения: Теорема о продолжении вероятностной меры; Теорема Колмогорова о согласованных распределениях; Интегрирование (Пространство с мерой; Интеграл по вероятностной мере; Дальнейшие свойства интегралов; Интеграл по произвольной мере; Теорема Лебега о разложении и теорема Радона—Никодима; Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах); Теоремы Хелли и Арцела—Асколи; Доказательство теоремы Берри—Эссена; Теоремы восстановления; Таблицы
Произвольное пространство элементарных событий: Аксиомы теории вероятностей, Вероятностное пространство; Свойства вероятности; Условная вероятность, Независимость событий и испытаний; Формула полной вероятности и формула Байеса
Случайные величины и функции распределения: Определения и примеры; Свойства функций распределения и примеры; Многомерные случайные величин; Независимость случайных величин и классов событий ; О бесконечных последовательностях случайных величин; Интегралы
Числовые характеристики случайных величин: Математическое ожидание;
Условные функции распределения и условные математические ожидания; Математические ожидания функций независимых случайных величин; Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего; Дисперсия; Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики; Неравенства; Обобщение понятия условного математического ожидания;
Условные распределения
Последовательность независимых испытаний с двумя исходами: Законы больших чисел; Локальная предельная теорема; Теорема Муавра—Лапласа и ее уточнения; Теорема Пуассона и ее уточнения; Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли
О сходимости случайных величин и распределений: Сходимость случайных величин; Сходимость распределений; Условия слабой сходимости
Характеристические функции: Определение и свойства характеристических функций; Формула обращения; Теорема непрерывности (сходимости); Другой подход к доказательству теорем сходимости к известному распределению; Применение характеристических функций в теореме Пуассона; Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение; Другие применения х. ф., Свойства гамма-распределения; Производящие функции, Применение к изучению ветвящегося процесса, Задача о вырождении
Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы: Закон больших чисел; Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин; Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин; Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин; Другой подход к доказательству предельных теорем, Оценки погрешности; Локальная предельная теорема; Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае; Вероятности больших уклонений; Сходимость к другим устойчивым законам
Элементы теории восстановления: Процессы восстановления, функции восстановления; Основная теорема восстановления в решетчатом случае; Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распределение в решетчатом случае; Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в нерешетчатом случае; Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления
Последовательности независимых случайных величин. Свойства траектории (0,S_1,S_2,…) в целом: Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции; Сходимость рядов независимых случайных величин; Усиленный закон больших чисел; Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых
Факторизационные тождества: Факторизационные тождества и их первые следствия; Факторизационные тождества. Свойства траектории (0,S_1,S_2,…); Распределение S = max(0,zeta); Системы обслуживания; Факторизационные тождества для распределений, связанных с показательной функцией; Симметричные непрерывно распределенные случайные величины; Тождество Поллачека—Спитцера; Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху
Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова: Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация состояний; Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае; Теоремы о случайных блужданиях по решетке; Эргодические теоремы; Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей; Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичность цепей, имеющих положительный атом; Эргодичность харрисовых цепей Маркова
Информация и энтропия: Определения, свойства информации и энтропии; Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения
Мартингалы: Определения, простейшие свойства, примеры; О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда; Неравенства; Теоремы сходимости; Ограниченность моментов стохастических последовательностей
Стационарные (в узком смысле) последовательности: Основные понятия; Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости; Эргодическая теорема
Стохастически рекурсивные последовательности: Основные понятия; Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности; Условия эргодичности, связанные с монотонностью f; Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица
Случайные процессы с непрерывным временем: Общие определения; Условия регулярности процессов
Процессы с независимыми приращениями: Общие свойства; Винеровские процессы, свойства траекторий; Законы повторного логарифма; Пуассоновские процессы; Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями
Функциональные предельные теоремы: Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности); Закон повторного логарифма; Сходимость к пуассоновскому процессу
Марковские процессы: Определения и общие свойства; Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры; Ветвящиеся процессы; Полумарковские и регенерирующие процессы; Диффузионные процессы
Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы: Процессы с конечными моментами второго порядка; Гауссовские процессы; Задача о прогнозе
Приложения: Теорема о продолжении вероятностной меры; Теорема Колмогорова о согласованных распределениях; Интегрирование (Пространство с мерой; Интеграл по вероятностной мере; Дальнейшие свойства интегралов; Интеграл по произвольной мере; Теорема Лебега о разложении и теорема Радона—Никодима; Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах); Теоремы Хелли и Арцела—Асколи; Доказательство теоремы Берри—Эссена; Теоремы восстановления; Таблицы