Минск: Наука и техника, 1984. — 263 с.
Рассматриваются уравнения видов Фредгольма и Вольтерра для функций
одного аргумента и излагаются основные методы их численного
решения. Для некорректных задач приводятся наиболее употребительные
методы решения, при этом основное внимание обращено на вариационные
методы. В проблеме улучшения сходимости главное внимание уделяется
методам интерполирования при помощи алгебраических многочленов и
показательных функций. Даются также метод выделения медленно
сходящейся части и основы общей теории методов улучшения
сходимости.
Книга предназначена как для лиц, занимающихся вычислительной математикой, так и для желающих самостоятельно изучать ее основы. Она будет полезной студентам университетов и технических учебных заведений, изучающим вычислительную математику. Интегральные уравнения.
Уравнения второго рода вида Вольтерра. Вычислительное правило. Сходимость вычислительного процесса. Правила вычислений, основанные на формуле Эйлера—Маклорена. Замечание о решении нелинейных уравнений вида Вольтерра. Линейные уравнения второго рода вида Фредгольма. Приведение к системе уравнений для значений решения в узлах сетки. Общие сведения о методе и оценке погрешности. Оценка погрешности в частных случаях. Замечание об интерполяционном методе. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Оценка близости решений в зависимости от близости уравнений. Уравнения с вырожденным ядром. О замене произвольного ядра вырожденным. Оценка изменения решения в зависимости от изменения уравнения. Метод моментов и связь его с заменой заданного ядра на вырожденное. О методе моментов. Связь с задачей замены ядра на вырожденное. Выполнение уравнения на сетке точек. Об идее метода. Связь с задачей интерполирования. Связь с вопросом замены ядра на вырожденное. Некорректные задачи.
Дополнительные сведения по функциональному анализу. Вариационные методы решения. Метод квазирешений. Метод регуляризации. Метод невязки. Связь между вариационными методами и обобщения. Другие методы решения. Обобщенное суммирование рядов. Метод итераций. Конечноразностный (сеточный) метод. Улучшение сходимости рядов и последовательностей.
О задаче улучшения сходимости. Об определении пределов расходящихся последовательностей и сумм расходящихся рядов. Интерполяционные способы улучшения сходимости. Описание интерполяционного способа. Некоторые вопросы, связанные с ним. Интерполирование при помощи многочлена от 1/п. Случай фиксированного числа значений sn. О некоторых типах сходимости. Об улучшении сходимости. Случай увеличивающегося числа значений последовательности. О некоторых других применениях интерполирования к улучшению сходимости. Кратные числовые ряды. Вычисление предельного значения функции. Преобразование Эйткена, или дельта2-преобразование, и улучшение сходимости рядов, близких к геометрической прогрессии. Определение и некоторые замечания о сходимости. Теоремы о сохранении предела. Некоторые теоремы о сходимости преобразования и об увеличении ее скорости. дельта2-преобразование и степенной ряд. Улучшение сходимости рядов, близких к линейной комбинации нескольких прогрессий. Определение преобразования и связь преобразования с задачей интерполирования последовательности при помощи комбинации показательных функций. Замечание об ускорении сходимости. Sк-преобразование и степенной ряд мероморфной функции. Приближение аналитической функции рациональными функциями. Улучшение сходимости последовательности, близкой к линейной комбинации нескольких показательных функций с известными основаниями. Замечание об одном обобщении преобразования. Улучшение сходимости ряда путем выделения медленно сходящейся части. Случай убывания членов ряда по степенному закону. Ускорение сходимости тригонометрических рядов. Об одном общем методе построения правил улучшения сходимости. Преобразования, учитывающие только главную сумму в разложении погрешности. Случай, когда главная часть является одночленом. Некоторые конкретные правила улучшения сходимости. Одношаговые правила. Двухшаговые правила.
Книга предназначена как для лиц, занимающихся вычислительной математикой, так и для желающих самостоятельно изучать ее основы. Она будет полезной студентам университетов и технических учебных заведений, изучающим вычислительную математику. Интегральные уравнения.
Уравнения второго рода вида Вольтерра. Вычислительное правило. Сходимость вычислительного процесса. Правила вычислений, основанные на формуле Эйлера—Маклорена. Замечание о решении нелинейных уравнений вида Вольтерра. Линейные уравнения второго рода вида Фредгольма. Приведение к системе уравнений для значений решения в узлах сетки. Общие сведения о методе и оценке погрешности. Оценка погрешности в частных случаях. Замечание об интерполяционном методе. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Оценка близости решений в зависимости от близости уравнений. Уравнения с вырожденным ядром. О замене произвольного ядра вырожденным. Оценка изменения решения в зависимости от изменения уравнения. Метод моментов и связь его с заменой заданного ядра на вырожденное. О методе моментов. Связь с задачей замены ядра на вырожденное. Выполнение уравнения на сетке точек. Об идее метода. Связь с задачей интерполирования. Связь с вопросом замены ядра на вырожденное. Некорректные задачи.
Дополнительные сведения по функциональному анализу. Вариационные методы решения. Метод квазирешений. Метод регуляризации. Метод невязки. Связь между вариационными методами и обобщения. Другие методы решения. Обобщенное суммирование рядов. Метод итераций. Конечноразностный (сеточный) метод. Улучшение сходимости рядов и последовательностей.
О задаче улучшения сходимости. Об определении пределов расходящихся последовательностей и сумм расходящихся рядов. Интерполяционные способы улучшения сходимости. Описание интерполяционного способа. Некоторые вопросы, связанные с ним. Интерполирование при помощи многочлена от 1/п. Случай фиксированного числа значений sn. О некоторых типах сходимости. Об улучшении сходимости. Случай увеличивающегося числа значений последовательности. О некоторых других применениях интерполирования к улучшению сходимости. Кратные числовые ряды. Вычисление предельного значения функции. Преобразование Эйткена, или дельта2-преобразование, и улучшение сходимости рядов, близких к геометрической прогрессии. Определение и некоторые замечания о сходимости. Теоремы о сохранении предела. Некоторые теоремы о сходимости преобразования и об увеличении ее скорости. дельта2-преобразование и степенной ряд. Улучшение сходимости рядов, близких к линейной комбинации нескольких прогрессий. Определение преобразования и связь преобразования с задачей интерполирования последовательности при помощи комбинации показательных функций. Замечание об ускорении сходимости. Sк-преобразование и степенной ряд мероморфной функции. Приближение аналитической функции рациональными функциями. Улучшение сходимости последовательности, близкой к линейной комбинации нескольких показательных функций с известными основаниями. Замечание об одном обобщении преобразования. Улучшение сходимости ряда путем выделения медленно сходящейся части. Случай убывания членов ряда по степенному закону. Ускорение сходимости тригонометрических рядов. Об одном общем методе построения правил улучшения сходимости. Преобразования, учитывающие только главную сумму в разложении погрешности. Случай, когда главная часть является одночленом. Некоторые конкретные правила улучшения сходимости. Одношаговые правила. Двухшаговые правила.