К.: Вища школа, 1974. — 452 с.
В основу книги положен курс лекций по программе «Математические
основы кибернетики». Главная задача курса - ознакомить студентов с
теоретическими направлениями и математическими методами,
составляющими фундамент современной науки об управлении и связи. В
книге излагаются основные вопросы, являющиеся теоретической базой
кибернетики и обычно не входящие в традиционный курс математики
втузов, а именно: теория множеств и основы математической логики,
теории алгоритмов, вероятностей и случайных функций, корреляции,
спектров, а также элементы теории информации и игр. Предлагаемое
Учебное пособие предназначено для студентов
электроприборостроительных специальностей втузов. Изложение
основного материала и примеров подчинено специфике подготовки
специалистов широкого профиля. Однако книга несомненно будет
полезна и специалистам других направлений. Ею можно пользоваться
при подготовке специалистов по программам экономических вузов и
биологических факультетов с кибернетическим уклоном. Книга может
быть полезна также аспирантам и научным работникам в качестве
своеобразного справочного пособия по отдельным теоретическим
вопросам.
Введение
Элементы теории множеств
Основные определения Способы задания множеств
Линейные точечные множества
Соотношения между множествами
Эквивалентные множества Мощность множества
Основные теоремы
Функции Отношения Способы задания функций
Изоморфизм Элементы математической логики
Высказывания Их истинность и ложность
Связь высказываний Символы логических связей
Эквивалентность Заменяемость основных связей
Нормальная форма логических выражений
Всегда истинные и всегда ложные высказывания
Предикаты
Операции навешивания кванторов Алгоритмы
Численные и логические алгоритмы
Эмпирические свойства алгоритмов
Элементы теории алгоритмов Алфавитные операторы и алгоритмы
Слова в ассоциативном исчислении
Эквивалентные алгоритмы Нормальный алгоритм Маркова
Алгоритмически неразрешимые проблемы
Сведение любого алгоритма к численному Метод Гёделя Вероятности Случайные величины Случайные функции
Элементы теории вероятностей Основные понятия и определения
Основные теоремы
Случайные величины
Функция распределения
Функция плотности вероятности
Числовые характеристики
Некоторые законы распределения
Системы случайных ве личин
Функция распределения
Функция плотности вероятности
Зависимые и независимые случайные величины
Числовые характеристики системы случайных величин
Система произвольного числа случайных величин
Случайные функции Случайные процессы
Законы распределения
Характеристики случайных функций
Элементарные операции над случайными функциями
Определение характеристик случайных функций из опыта
Методы теории случайных функций в исследовании систем
Оператор системы
Линейные и нелинейные операторы и системы
Стационарные и нестационарные системы
Линейные преобразования случайных функций
Сложение случайных функций
Комплексные случайные функции
Канонические разложения случайных функций
Определение канонического представления случайных функций
Каноническое разложение комплексной случайной функции
Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническим разложением
Стационарные случайные функции
Определение стационарной случайной функции
Дифференцирование стационарной случайной функции
Спектральное разложение стационарной случайной функции
Свойство эргодичности стационарных случайных процессов
Нестационарные случайные функции
Конечные случайные процессы Вероятностные последовательности
Три типа конечных случайных последовательностей
Марковские цепи Статистический анализ
Основные задачи
Определение закона распределения по статистическим данным
Проверка правдоподобия гипотез
Определение неизвестных параметров распределения
Ряды распределения и их характеристики
Построение рядов распределения
Графическое изображение рядов распределения
Числовые характеристики рядов распределения
Некоторые свойства статистических параметров
Основные свойства средней арифметической
Выравнивание рядов распределения
Статистическое измерение связи
Корреляционная зависимость
Исследование формы связи Эмпирическая линия регрессии
Теоретическая линия регрессии
Выбор и обоснование типа кривой регрессии
Расчет параметров уравнения регрессии
Функциональная корреляция
Функциональные средние
Исследование тесноты связи
Эмпирическое корреляционное отношение
Теоретическое корреляционное отношение
Коэффициент корреляции
Модификации формулы коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции при нелинейной зависимости
Определение прямой регрессии по основным статистическим параметрам
Сопряженные показатели корреляции
Корреляция многих переменных Уравнение множественной регрессии
Уравнение чистой регрессии
Коэффициент множественной корреляции
Эмпирические меры тесноты связи
Элементы теории ошибок Теория спектров
Гармонический анализ
Метод Эйлера - Фурье для определения коэффициентов ряда Фурье
Ряд Фурье в комплексной форме
Ряд Фурье и наименьшая среднеквадратичная ошибка
Интеграл Фурье
Признаки сходимости интеграла Фурье
Комплексная форма интеграла Фурье
Преобразование Фурье
Спектр амплитуд и спектр фаз
Основные теоремы о спектрах
Текущий и мгновенный спектры
Модуляция Спектры модулированных колебаний
Перенос спектра
Детектирование Преобразование спектров при детектировании
Спектр суммы периодических функций Спектры суммы и разности двух сдвинутых во времени колебаний
Спектры некоторых сигналов Элементы теории информации
Общие положения
Модель системы связи Шеннона
Информация
Измерение взаимной информации
Измерение количества собственной информации
Свойства количества информации
Энтропия
Условная средняя взаимная информация
Дискретные источ ники сообщений Эргодические источники сообщений
Энтропия эргодического источника дискретных сообщений
Избыточность источника сообщений
Скорость создания сообщений
Пропускная способность информационного канала
Дискретные каналы без шумов Пропускная способность дискретных каналов без шумов
Эффективное кодирование
Основная теорема Шеннона для дискретного канала без шумов
Дискретные каналы с шумами
Пропускная способность дискретного канала с шумами
Основная теорема Шеннона для дискретного канала с шумами
Источники непрерывных сообщений
Количество информации, содержащееся в одном замере непрерывной случайной величины
Энтропия непрерывных случайных величин
Количество информации о непрерывной случайной величине при заданных требованиях к верности воспроизведения
Количество информации, содержащееся в воспроизведении непрерывного сообщения
Непрерывные каналы с шумами Пропускная способность непрерывных каналов
Основная теорема Шеннона для непрерывных каналов Элементы теории игр
Основные определения
Игры 2 х 2
Игры 2 х m и n х 2
Игры m х n
Приближённые методы решения игр
Методы решения некоторых бесконечных игр Графы
Граф Пути и контуры
Цепи и циклы
Квазиупорядоченность
Индуктивный граф и базы
Транспортные сети
Деревья и леса Тензорное исчисление
Линейное пространство
Прямоугольный базис в 3-мерном пространстве
Преобразование ортонормированного базиса Основная задача тензорного исчисления
Полилинейные формы и тензоры
Алгебраические операции над тензорами
Тензорный анализ Литература
Основные определения Способы задания множеств
Линейные точечные множества
Соотношения между множествами
Эквивалентные множества Мощность множества
Основные теоремы
Функции Отношения Способы задания функций
Изоморфизм Элементы математической логики
Высказывания Их истинность и ложность
Связь высказываний Символы логических связей
Эквивалентность Заменяемость основных связей
Нормальная форма логических выражений
Всегда истинные и всегда ложные высказывания
Предикаты
Операции навешивания кванторов Алгоритмы
Численные и логические алгоритмы
Эмпирические свойства алгоритмов
Элементы теории алгоритмов Алфавитные операторы и алгоритмы
Слова в ассоциативном исчислении
Эквивалентные алгоритмы Нормальный алгоритм Маркова
Алгоритмически неразрешимые проблемы
Сведение любого алгоритма к численному Метод Гёделя Вероятности Случайные величины Случайные функции
Элементы теории вероятностей Основные понятия и определения
Основные теоремы
Случайные величины
Функция распределения
Функция плотности вероятности
Числовые характеристики
Некоторые законы распределения
Системы случайных ве личин
Функция распределения
Функция плотности вероятности
Зависимые и независимые случайные величины
Числовые характеристики системы случайных величин
Система произвольного числа случайных величин
Случайные функции Случайные процессы
Законы распределения
Характеристики случайных функций
Элементарные операции над случайными функциями
Определение характеристик случайных функций из опыта
Методы теории случайных функций в исследовании систем
Оператор системы
Линейные и нелинейные операторы и системы
Стационарные и нестационарные системы
Линейные преобразования случайных функций
Сложение случайных функций
Комплексные случайные функции
Канонические разложения случайных функций
Определение канонического представления случайных функций
Каноническое разложение комплексной случайной функции
Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническим разложением
Стационарные случайные функции
Определение стационарной случайной функции
Дифференцирование стационарной случайной функции
Спектральное разложение стационарной случайной функции
Свойство эргодичности стационарных случайных процессов
Нестационарные случайные функции
Конечные случайные процессы Вероятностные последовательности
Три типа конечных случайных последовательностей
Марковские цепи Статистический анализ
Основные задачи
Определение закона распределения по статистическим данным
Проверка правдоподобия гипотез
Определение неизвестных параметров распределения
Ряды распределения и их характеристики
Построение рядов распределения
Графическое изображение рядов распределения
Числовые характеристики рядов распределения
Некоторые свойства статистических параметров
Основные свойства средней арифметической
Выравнивание рядов распределения
Статистическое измерение связи
Корреляционная зависимость
Исследование формы связи Эмпирическая линия регрессии
Теоретическая линия регрессии
Выбор и обоснование типа кривой регрессии
Расчет параметров уравнения регрессии
Функциональная корреляция
Функциональные средние
Исследование тесноты связи
Эмпирическое корреляционное отношение
Теоретическое корреляционное отношение
Коэффициент корреляции
Модификации формулы коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции при нелинейной зависимости
Определение прямой регрессии по основным статистическим параметрам
Сопряженные показатели корреляции
Корреляция многих переменных Уравнение множественной регрессии
Уравнение чистой регрессии
Коэффициент множественной корреляции
Эмпирические меры тесноты связи
Элементы теории ошибок Теория спектров
Гармонический анализ
Метод Эйлера - Фурье для определения коэффициентов ряда Фурье
Ряд Фурье в комплексной форме
Ряд Фурье и наименьшая среднеквадратичная ошибка
Интеграл Фурье
Признаки сходимости интеграла Фурье
Комплексная форма интеграла Фурье
Преобразование Фурье
Спектр амплитуд и спектр фаз
Основные теоремы о спектрах
Текущий и мгновенный спектры
Модуляция Спектры модулированных колебаний
Перенос спектра
Детектирование Преобразование спектров при детектировании
Спектр суммы периодических функций Спектры суммы и разности двух сдвинутых во времени колебаний
Спектры некоторых сигналов Элементы теории информации
Общие положения
Модель системы связи Шеннона
Информация
Измерение взаимной информации
Измерение количества собственной информации
Свойства количества информации
Энтропия
Условная средняя взаимная информация
Дискретные источ ники сообщений Эргодические источники сообщений
Энтропия эргодического источника дискретных сообщений
Избыточность источника сообщений
Скорость создания сообщений
Пропускная способность информационного канала
Дискретные каналы без шумов Пропускная способность дискретных каналов без шумов
Эффективное кодирование
Основная теорема Шеннона для дискретного канала без шумов
Дискретные каналы с шумами
Пропускная способность дискретного канала с шумами
Основная теорема Шеннона для дискретного канала с шумами
Источники непрерывных сообщений
Количество информации, содержащееся в одном замере непрерывной случайной величины
Энтропия непрерывных случайных величин
Количество информации о непрерывной случайной величине при заданных требованиях к верности воспроизведения
Количество информации, содержащееся в воспроизведении непрерывного сообщения
Непрерывные каналы с шумами Пропускная способность непрерывных каналов
Основная теорема Шеннона для непрерывных каналов Элементы теории игр
Основные определения
Игры 2 х 2
Игры 2 х m и n х 2
Игры m х n
Приближённые методы решения игр
Методы решения некоторых бесконечных игр Графы
Граф Пути и контуры
Цепи и циклы
Квазиупорядоченность
Индуктивный граф и базы
Транспортные сети
Деревья и леса Тензорное исчисление
Линейное пространство
Прямоугольный базис в 3-мерном пространстве
Преобразование ортонормированного базиса Основная задача тензорного исчисления
Полилинейные формы и тензоры
Алгебраические операции над тензорами
Тензорный анализ Литература