Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. — М.:
Академия, 2009. — 320 c. — (Университетский учебник. Высшая
математика и ее приложения к биологии). — ISBN 978-5-7695-4704-1.
В учебном пособии изложены преимущественно вопросы анализа
биологических данных и в качестве основы использованы методы теории
вероятностей и математической статистики; представлено
моделирование динамики биологических процессов, основанное на
применении математического аппарата дифференциальных уравнений.
Для студентов биологических специальностей высших учебных заведений.
Пособие основано на материале курса "Математические методы в биологии", преподаваемого с середины 80-х годов 20 века на биологическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. В книге подробно рассматриваются разделы математики, находящие наибольшее применение в биологии, с акцентом на их практическое использование в биологических исследованиях. Предисловие
Введение .
Статистический анализ биологических данных
Основы теории вероятностей
Случайные события и их вероятности
Пространство элементарных событий
Операции над событиями
Вероятности событий
Модель равновероятных элементарных событий
Геометрическая модель
Условная вероятность и независимость
Формула полной вероятности и формула Байеса
Формула Бернулли
Случайные величины и их распределения
Функция распределения случайной величины
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Нормальное и связанные с ним распределения
Характеристики распределений
Многомерные случайные величины
Дискретные многомерные случайные величины
Непрерывные многомерные случайные величины
Основы математической статистики
Случайная выборка и ее описание
Статистическое оценивание
Точечное статистическое оценивание
Интервальное статистическое оценивание
Статистическая проверка гипотез
Логика проверки статистических гипотез
Проверка гипотез о математических ожиданиях
Проверка гипотез о дисперсиях
Сравнение параметров двух биномиальных распределений
Сравнение параметров двух пуассоновских распределений
Проверка гипотезы о равенстве заданному числу коэффициента корреляции
Критерии согласия
Непараметрические критерии
Анализ многомерных данных
Классификация методов анализа многомерных данных
Матричная алгебра
Регрессионный анализ
Множественная линейная регрессия
Множественный и частный коэффициенты корреляции
Пошаговая регрессия
Нелинейная регрессия
Логистическая регрессия
Дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ
Двухфакторный дисперсионный анализ
Смешанные модели дисперсионного анализа
Непараметрические методы анализа связи между количественной и качественными переменными
Кластерный анализ
Факторный анализ
Дискриминантный анализ Моделирование динамики биологических процессов
Модели, описываемые одним уравнением
Основные понятия
Исследование уравнения в окрестности стационарного состояния
Исследование устойчивости стационарного состояния методом линеаризации
Модель роста колонии микроорганизмов
Модель перехода вещества в раствор
Непрерывные модели популяций
Уравнение экспоненциального роста
Ограниченный рост
Модель популяции с наименьшей критической численностью
Дискретные модели популяций
Модели популяций с неперекрывающимися поколениями
Диаграмма Ламерея
Понятия равновесия и его устойчивости для разностных уравнений
Циклы и динамический хаос
Вероятностные модели популяций Модели, описываемые системой дифференциальных уравнений
Основные понятия
Фазовая плоскость и фазовый портрет
Метод изоклин
Устойчивость стационарного состояния
Исследование систем двух линейных уравнений
Характеристическое уравнение
Корни действительны и одного знака
Корни действительны и разных знаков
Корни комплексные сопряженные
Бифуркационная диаграмма
Системы двух нелинейных дифференциальных уравнений
Метод Ляпунова линеаризации системы в окрестности стационарного состояния
Кинетические уравнения Лотки
Модель Вольтерра
Проблема быстрых и медленных переменных
Иерархия времен. Метод квазистационарных концентраций
Теорема Тихонова
Фермент-субстратная реакция Михаэлиса - Ментен
Мультистационарность
Фазовый портрет мультистационарной системы
Типы переключения триггера
Отбор одного из равноправных видов
Колебания в биологических системах
Автоколебания и предельные циклы
Устойчивость предельных циклов
Брюсселятор
Колебания в гликолизе
Динамический хаос
Система Лоренца. Детерминированный хаос
Линейный анализ устойчивости траекторий
Диссипативные системы
Динамический хаос в сообществе из трех видов Распределенные дифференциальные модели
[b]Уравнение реакция-диффузия
Активные кинетические среды в живых системах
Уравнение диффузии
Начальные и граничные (краевые) условия
Решение уравнения диффузии
Общий ход решения
Решение однородного уравнения
Зависимость решений от начальных условий
Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями
Общая краевая задача
Устойчивость гомогенных стационарных состояний нелинейных систем
Распределенная модель популяции с наименьшей критической численностью
Система двух уравнений реакция-диффузия
Устойчивость однородных стационарных решений
Распределенный брюсселятор
Локализованные диссипативные структуры
Распространение фронтов, импульсов и волн
Распространение волны в системах с диффузией
Задача распространения нервного импульса Список литературы
Для студентов биологических специальностей высших учебных заведений.
Пособие основано на материале курса "Математические методы в биологии", преподаваемого с середины 80-х годов 20 века на биологическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. В книге подробно рассматриваются разделы математики, находящие наибольшее применение в биологии, с акцентом на их практическое использование в биологических исследованиях. Предисловие
Введение .
Статистический анализ биологических данных
Основы теории вероятностей
Случайные события и их вероятности
Пространство элементарных событий
Операции над событиями
Вероятности событий
Модель равновероятных элементарных событий
Геометрическая модель
Условная вероятность и независимость
Формула полной вероятности и формула Байеса
Формула Бернулли
Случайные величины и их распределения
Функция распределения случайной величины
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Нормальное и связанные с ним распределения
Характеристики распределений
Многомерные случайные величины
Дискретные многомерные случайные величины
Непрерывные многомерные случайные величины
Основы математической статистики
Случайная выборка и ее описание
Статистическое оценивание
Точечное статистическое оценивание
Интервальное статистическое оценивание
Статистическая проверка гипотез
Логика проверки статистических гипотез
Проверка гипотез о математических ожиданиях
Проверка гипотез о дисперсиях
Сравнение параметров двух биномиальных распределений
Сравнение параметров двух пуассоновских распределений
Проверка гипотезы о равенстве заданному числу коэффициента корреляции
Критерии согласия
Непараметрические критерии
Анализ многомерных данных
Классификация методов анализа многомерных данных
Матричная алгебра
Регрессионный анализ
Множественная линейная регрессия
Множественный и частный коэффициенты корреляции
Пошаговая регрессия
Нелинейная регрессия
Логистическая регрессия
Дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ
Двухфакторный дисперсионный анализ
Смешанные модели дисперсионного анализа
Непараметрические методы анализа связи между количественной и качественными переменными
Кластерный анализ
Факторный анализ
Дискриминантный анализ Моделирование динамики биологических процессов
Модели, описываемые одним уравнением
Основные понятия
Исследование уравнения в окрестности стационарного состояния
Исследование устойчивости стационарного состояния методом линеаризации
Модель роста колонии микроорганизмов
Модель перехода вещества в раствор
Непрерывные модели популяций
Уравнение экспоненциального роста
Ограниченный рост
Модель популяции с наименьшей критической численностью
Дискретные модели популяций
Модели популяций с неперекрывающимися поколениями
Диаграмма Ламерея
Понятия равновесия и его устойчивости для разностных уравнений
Циклы и динамический хаос
Вероятностные модели популяций Модели, описываемые системой дифференциальных уравнений
Основные понятия
Фазовая плоскость и фазовый портрет
Метод изоклин
Устойчивость стационарного состояния
Исследование систем двух линейных уравнений
Характеристическое уравнение
Корни действительны и одного знака
Корни действительны и разных знаков
Корни комплексные сопряженные
Бифуркационная диаграмма
Системы двух нелинейных дифференциальных уравнений
Метод Ляпунова линеаризации системы в окрестности стационарного состояния
Кинетические уравнения Лотки
Модель Вольтерра
Проблема быстрых и медленных переменных
Иерархия времен. Метод квазистационарных концентраций
Теорема Тихонова
Фермент-субстратная реакция Михаэлиса - Ментен
Мультистационарность
Фазовый портрет мультистационарной системы
Типы переключения триггера
Отбор одного из равноправных видов
Колебания в биологических системах
Автоколебания и предельные циклы
Устойчивость предельных циклов
Брюсселятор
Колебания в гликолизе
Динамический хаос
Система Лоренца. Детерминированный хаос
Линейный анализ устойчивости траекторий
Диссипативные системы
Динамический хаос в сообществе из трех видов Распределенные дифференциальные модели
[b]Уравнение реакция-диффузия
Активные кинетические среды в живых системах
Уравнение диффузии
Начальные и граничные (краевые) условия
Решение уравнения диффузии
Общий ход решения
Решение однородного уравнения
Зависимость решений от начальных условий
Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями
Общая краевая задача
Устойчивость гомогенных стационарных состояний нелинейных систем
Распределенная модель популяции с наименьшей критической численностью
Система двух уравнений реакция-диффузия
Устойчивость однородных стационарных решений
Распределенный брюсселятор
Локализованные диссипативные структуры
Распространение фронтов, импульсов и волн
Распространение волны в системах с диффузией
Задача распространения нервного импульса Список литературы