СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2012. - 160
с.
В книге дан анализ ошибок и неточностей, недавно обнаруженных в
традиционных методах расчета и популярных пакетах прикладных
программ (MATLAB, Mathcad и др.), и их связь с открытыми в
Санкт-Петербургском государственном университете (СПбГУ) новыми
свойствами эквивалентных (равносильных) преобразований. Эти ошибки
и неточности расчетов являются причиной многих аварий и
катастроф.
В книге изложены пути совершенствования методов расчета и вычислительных алгоритмов для обеспечения достоверности результатов расчета, приведены многочисленные примеры.
Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в СПбГУ на факультете прикладной математики - процессов управления.
Для студентов, аспирантов и пользователей компьютеров, выполняющих расчеты. Содержание Предисловие
Простые примеры и первые выводы
Первый пример
Пример системы дифференциальных уравнений, не имеющей непрерывной зависимости решений от параметров
Пример решения технической задачи проверки устойчивости
Выводы Корректность решений и традиционные методы ее проверки Вариации коэффициентов и параметров
Вариации решений. Корректные и некорректные решения
Традиционные методы проверки корректности. Ошибки и заблуждения
Пример № 1
Пример № 2
Пример № 3 Эквивалентные (равносильные) преобразования и их недавно обнаруженные новые свойства Преобразования, эквивалентные в классическом смысле
Преобразования, связанные с дифференцированием
Неожиданно обнаруженные изменения корректности решений при эквивалентных преобразованиях
Изменения обусловленности решений систем линейных алгебраических уравнений при эквивалентных преобразованиях
Оценка погрешностей вычисления определителей и решений систем алгебраических уравнений
Выявленные недостатки в традиционных методах вычислений и пути их исправления
Недостатки традиционных методов расчета параметрической устойчивости линейных систем
Причины потери параметрической устойчивости и связанных с нею аварий
Методы обеспечения надежности расчетов устойчивости линейных систем управления Недостатки традиционных методов расчета устойчивости нелинейных систем. Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости
Неточности в расчетах устойчивости по части переменных
Неточности в теории дифференциальных уравнений
Другие вычислительные алгоритмы
Синтез оптимальных систем управления
Интегральные уравнения
Алгоритмы, использующие цепочки эквивалентных преобразований
Ошибки, обнаружившиеся в популярных пакетах прикладных программ, и методы предотвращения ошибок при расчетах
Ошибки в программах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Ошибки в программах расчета устойчивости Более сложные примеры обеспечения надежности вычислений
Связь между вариациями параметров объекта и вариациями коэффициентов его математической модели
Возможность проверки корректности по коэффициентам математической модели
Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов компьютерных вычислений. Их особенности
Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем
Необходимость исследования "триад"
Примеры различных "триад" и "диад"
Первая триада: проверка устойчивости
Вторая триада: проверка устойчивости другим методом
Третья триада: использование функций Ляпунова
Четвертая триада: вычисление собственных значений
Пятая триада: численное решение систем дифференциальных
уравнений
Шестая триада: решение с дополнительными проверками
Седьмая триада: дифференциальные уравнения, частные случаи
Восьмая триада: интегральные уравнения
Первая диада: вещественные корни полиномов
Вторая диада: комплексные корни полиномов
Третья диада: задача на максимум и минимум Примеры и задачи Примеры проверки надежности результатов вычисления решений систем уравнений
Пример
1 Математическая модель особого объекта
Пример
2 Проверка устойчивости
Пример
3 Проверка устойчивости невырожденной системы
Пример
4 Вычисление решений системы дифференциальных уравнений
Пример
5 Дополнительные проверки, восстанавливающие надежность и достоверность компьютерных вычислений
Пример
6 Возможное изменение знака коэффициентов при младших членах характеристического полинома
Пример
7 Система из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными Примеры обеспечения надежности расчета технических объектов
Пример
8 Оптимальное управление судами
Пример
9 Расчет строительных конструкций
Пример
10 Вычисление частот малых колебаний
Пример
11 Строительная механика Задачи Заключение Приложение. Анализ катастроф, причины которых связаны с неточностями методов проектирования и расчета
Примечания
Примечание 1 (к стр. 44)
Примечание 2 (к стр. 146)
Литература
Предметный указатель
В книге изложены пути совершенствования методов расчета и вычислительных алгоритмов для обеспечения достоверности результатов расчета, приведены многочисленные примеры.
Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в СПбГУ на факультете прикладной математики - процессов управления.
Для студентов, аспирантов и пользователей компьютеров, выполняющих расчеты. Содержание Предисловие
Простые примеры и первые выводы
Первый пример
Пример системы дифференциальных уравнений, не имеющей непрерывной зависимости решений от параметров
Пример решения технической задачи проверки устойчивости
Выводы Корректность решений и традиционные методы ее проверки Вариации коэффициентов и параметров
Вариации решений. Корректные и некорректные решения
Традиционные методы проверки корректности. Ошибки и заблуждения
Пример № 1
Пример № 2
Пример № 3 Эквивалентные (равносильные) преобразования и их недавно обнаруженные новые свойства Преобразования, эквивалентные в классическом смысле
Преобразования, связанные с дифференцированием
Неожиданно обнаруженные изменения корректности решений при эквивалентных преобразованиях
Изменения обусловленности решений систем линейных алгебраических уравнений при эквивалентных преобразованиях
Оценка погрешностей вычисления определителей и решений систем алгебраических уравнений
Выявленные недостатки в традиционных методах вычислений и пути их исправления
Недостатки традиционных методов расчета параметрической устойчивости линейных систем
Причины потери параметрической устойчивости и связанных с нею аварий
Методы обеспечения надежности расчетов устойчивости линейных систем управления Недостатки традиционных методов расчета устойчивости нелинейных систем. Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости
Неточности в расчетах устойчивости по части переменных
Неточности в теории дифференциальных уравнений
Другие вычислительные алгоритмы
Синтез оптимальных систем управления
Интегральные уравнения
Алгоритмы, использующие цепочки эквивалентных преобразований
Ошибки, обнаружившиеся в популярных пакетах прикладных программ, и методы предотвращения ошибок при расчетах
Ошибки в программах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Ошибки в программах расчета устойчивости Более сложные примеры обеспечения надежности вычислений
Связь между вариациями параметров объекта и вариациями коэффициентов его математической модели
Возможность проверки корректности по коэффициентам математической модели
Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов компьютерных вычислений. Их особенности
Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем
Необходимость исследования "триад"
Примеры различных "триад" и "диад"
Первая триада: проверка устойчивости
Вторая триада: проверка устойчивости другим методом
Третья триада: использование функций Ляпунова
Четвертая триада: вычисление собственных значений
Пятая триада: численное решение систем дифференциальных
уравнений
Шестая триада: решение с дополнительными проверками
Седьмая триада: дифференциальные уравнения, частные случаи
Восьмая триада: интегральные уравнения
Первая диада: вещественные корни полиномов
Вторая диада: комплексные корни полиномов
Третья диада: задача на максимум и минимум Примеры и задачи Примеры проверки надежности результатов вычисления решений систем уравнений
Пример
1 Математическая модель особого объекта
Пример
2 Проверка устойчивости
Пример
3 Проверка устойчивости невырожденной системы
Пример
4 Вычисление решений системы дифференциальных уравнений
Пример
5 Дополнительные проверки, восстанавливающие надежность и достоверность компьютерных вычислений
Пример
6 Возможное изменение знака коэффициентов при младших членах характеристического полинома
Пример
7 Система из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными Примеры обеспечения надежности расчета технических объектов
Пример
8 Оптимальное управление судами
Пример
9 Расчет строительных конструкций
Пример
10 Вычисление частот малых колебаний
Пример
11 Строительная механика Задачи Заключение Приложение. Анализ катастроф, причины которых связаны с неточностями методов проектирования и расчета
Примечания
Примечание 1 (к стр. 44)
Примечание 2 (к стр. 146)
Литература
Предметный указатель