Учебное пособие. М.: Российский университет дружбы народов (РУДН),
2008. - 135 с.
Учебное пособие посвящено методам устойчивого решения обратных
задач в моделях взаимодействия электромагнитного излучения видимого
диапазона с участками среды со сложной геометрией и сложным по
составу диэлектрическим наполнением. Приоритетной задачей является
применение этих методов для численного решения задач при
проектировании оптических устройств. Пособие нацелено на применение
теоретических знаний (регулярных методов решения некорректных
задач) для разработки оригинальных методов и алгоритмов решения
задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических
элементов и устройств.
Общее описание курса
Инновационность курса
Системы уравнений с неточно заданными коэффициентами и правой частью
Влияние неточности исходной информации
Почти вырожденные матрицы
Обусловленность систем уравнений
Псевдорешения и псевдообратные матрицы
Для чего нужны псевдообратные матрицы
Решение вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
Корректность и некорректность по Адамару
Классические методы решения интегральных уравнений Фредгольма I рода
Метод наименьших квадратов Гаусса
Метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Метод регуляризации нахождения нормального решения
Метод регуляризации Тихонова
Метод оптимальной фильтрации Калмана-Бьюси
Метод оптимальной линейной фильтрации Винера
Метод регуляризации нахождения нормального решения системы линейных алгебраических уравнений
Приближенное нахождение нормального решения по неточно известной правой части
Приближенное нахождение нормального решения по неточно заданным правой части и матрице
Метод регуляризации решения линейных интегральных уравнений первого рода
Существование регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода
Интегральное уравнение I рода – некорректная задача
Редукция задачи построения регуляризирующих операторов к классической вариационной задаче минимизации функционалов с ограничениями
Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функционалов
Алгоритм нахождения приближенных решений, легко реализуемый на ЭВМ
О дискретизации задачи нахождения приближенных решений интегральных уравнений первого рода
Представление решения в виде конечных рядов Фурье
Явление Гиббса
Метод Фейера
Сигма-множители Ланцоша
Сравнение методов сходимости
Техника дифференцирования по Ланцошу
Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике l2 коэффициентами
Задача устойчивого суммирования ряда Фурье
Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье
Приложение
1. Основные типы уравнений
Интегральные уравнения
Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейно-нелинейных уравнений
Операторные уравнения
Некоторые сведения из линейной алгебры
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Характеристическое уравнение и типы матриц
Нормы векторов и матриц
Число обусловленности
Умножение матриц и векторов
Элементы теории вероятностей
Приложение
2. Обобщенные функции, формула Эйлера и интегральные преобразования
Элементы теории обобщенных функций
Формула Эйлера
Интегральные преобразования
Литература
Инновационность курса
Системы уравнений с неточно заданными коэффициентами и правой частью
Влияние неточности исходной информации
Почти вырожденные матрицы
Обусловленность систем уравнений
Псевдорешения и псевдообратные матрицы
Для чего нужны псевдообратные матрицы
Решение вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
Корректность и некорректность по Адамару
Классические методы решения интегральных уравнений Фредгольма I рода
Метод наименьших квадратов Гаусса
Метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Метод регуляризации нахождения нормального решения
Метод регуляризации Тихонова
Метод оптимальной фильтрации Калмана-Бьюси
Метод оптимальной линейной фильтрации Винера
Метод регуляризации нахождения нормального решения системы линейных алгебраических уравнений
Приближенное нахождение нормального решения по неточно известной правой части
Приближенное нахождение нормального решения по неточно заданным правой части и матрице
Метод регуляризации решения линейных интегральных уравнений первого рода
Существование регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода
Интегральное уравнение I рода – некорректная задача
Редукция задачи построения регуляризирующих операторов к классической вариационной задаче минимизации функционалов с ограничениями
Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функционалов
Алгоритм нахождения приближенных решений, легко реализуемый на ЭВМ
О дискретизации задачи нахождения приближенных решений интегральных уравнений первого рода
Представление решения в виде конечных рядов Фурье
Явление Гиббса
Метод Фейера
Сигма-множители Ланцоша
Сравнение методов сходимости
Техника дифференцирования по Ланцошу
Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике l2 коэффициентами
Задача устойчивого суммирования ряда Фурье
Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье
Приложение
1. Основные типы уравнений
Интегральные уравнения
Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейно-нелинейных уравнений
Операторные уравнения
Некоторые сведения из линейной алгебры
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Характеристическое уравнение и типы матриц
Нормы векторов и матриц
Число обусловленности
Умножение матриц и векторов
Элементы теории вероятностей
Приложение
2. Обобщенные функции, формула Эйлера и интегральные преобразования
Элементы теории обобщенных функций
Формула Эйлера
Интегральные преобразования
Литература