Казань: Казан.ун-т, 2016. — 255 с.
В пособии представлены методы анализа вероятностных распределений
систем случайных величин (случайных векторов). В стандартных курсах
теории вероятностей эти вопросы рассматриваются вскользь, при этом
основной метод обработки многомерных величин может быть
охарактеризован словами «по аналогии» (имеется в виду аналогия с
одномерным случаем). Более тщательный взгляд на эти проблемы
показал, что такой метод часто не работает. Например, в одномерном
случае непрерывная функция распределения, у которой условие
дифференцируемости нарушается в «узкой» области, чаще всего
обладает плотностью. Поэтому «физическая» концепция плотности как
производной функции распределения здесь редко расходится с истиной.
В многомерном случае такая концепция в очень неожиданных ситуациях
приводит к ложным выводам.
Кроме того, в литературе по теории вероятностей слабо описаны методы исследования преобразований случайных векторов, хотя это и есть основная задача теории вероятностей (как её анонсируют авторы многих учебников). Вторая глава данного пособия в некоторой степени восполняет этот пробел. В процессе написания пособия оказалось, что для построения более или менее замкнутого курса никак не обойтись без обращения к первоистокам — к математическим основаниям теории вероятностей, т.е. к измеримым пространствам, измеримым отображениям, мерам и интегралу Лебега. Этим вопросам посвящена глава III. Этот раздел пособия содержит подробное описание всех этапов построения меры, а затем и интеграла Лебега в произвольном абстрактном пространстве. Здесь приведены (с доказательствами) все основные факты, потребность в которых возникает при изучении методов теории вероятностей. В частности, теорема Каратеодори о продолжении меры, теорема Фубини о порядке интегрирования, теорема Радона–Никодима об абсолютно-непрерывных мерах и многое другое. В связи с этим главу III можно рекомендовать в качестве самостоятельного дополнительного пособия к курсу теории меры.
Структура пособия не соответствует классическому линейному построению учебников, когда каждый новый факт подкреплён фактами, приведёнными на предыдущих страницах учебника. Ввиду того, что основания теории вероятностей, описанные в главе III, занимают очень большое пространство как по объёму, так и по времени, в первых главах приводятся факты, относящиеся к многомерному анализу, опирающиеся на теоремы из последней главы. Тем самым как-бы подчёркивается, что без теории меры и без интеграла Лебега теорию вероятностей не построить, но, с другой стороны, если читатель уже знаком, хотя бы вкратце, с основами этих теорий, то он вполне способен освоить материал первых двух глав, используя последнюю главу как дополнительный источник информации. Обозначения и сокращения.
Введение.
Многомерные случайные величины.
Преобразования случайных величин.
Математические основания.
Предметный указатель.
Список литературы.
Кроме того, в литературе по теории вероятностей слабо описаны методы исследования преобразований случайных векторов, хотя это и есть основная задача теории вероятностей (как её анонсируют авторы многих учебников). Вторая глава данного пособия в некоторой степени восполняет этот пробел. В процессе написания пособия оказалось, что для построения более или менее замкнутого курса никак не обойтись без обращения к первоистокам — к математическим основаниям теории вероятностей, т.е. к измеримым пространствам, измеримым отображениям, мерам и интегралу Лебега. Этим вопросам посвящена глава III. Этот раздел пособия содержит подробное описание всех этапов построения меры, а затем и интеграла Лебега в произвольном абстрактном пространстве. Здесь приведены (с доказательствами) все основные факты, потребность в которых возникает при изучении методов теории вероятностей. В частности, теорема Каратеодори о продолжении меры, теорема Фубини о порядке интегрирования, теорема Радона–Никодима об абсолютно-непрерывных мерах и многое другое. В связи с этим главу III можно рекомендовать в качестве самостоятельного дополнительного пособия к курсу теории меры.
Структура пособия не соответствует классическому линейному построению учебников, когда каждый новый факт подкреплён фактами, приведёнными на предыдущих страницах учебника. Ввиду того, что основания теории вероятностей, описанные в главе III, занимают очень большое пространство как по объёму, так и по времени, в первых главах приводятся факты, относящиеся к многомерному анализу, опирающиеся на теоремы из последней главы. Тем самым как-бы подчёркивается, что без теории меры и без интеграла Лебега теорию вероятностей не построить, но, с другой стороны, если читатель уже знаком, хотя бы вкратце, с основами этих теорий, то он вполне способен освоить материал первых двух глав, используя последнюю главу как дополнительный источник информации. Обозначения и сокращения.
Введение.
Многомерные случайные величины.
Преобразования случайных величин.
Математические основания.
Предметный указатель.
Список литературы.