Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Селюн М.И. Задачи по программированию

Подождите немного. Документ загружается.

844. Построить графики функций :

а)

3xy = ; б) xxy 36

+−= ;

в) xxxy ++=

2; г)

xy = ;

д) xy sin= ; е) xxy +−= )1cos( .

845. Построить графики функций, указанных в задаче 337.

846. Исследовать область определения и построить графики

следующих функций:

а)

= ; б)

−

; в)

y ++= ;

г)

y −−= ; д)

123

y ;

е)

y ; ж)

y ;

з)

123

; и)

;

к)

+−

; л)

; м)

+−

847. Построить кривые по заданному параметрическому

представлению*).

а) Окружность радиуса r с центром в начале координат: х = r

соs t, y = r sin t,

).2,0[

∈t

б) Эллипс с большой и малой полуосями, равными со-

ответственно

r и

r и расположенными параллельно осям координат:

х=

r cos t, у =

r sin t, ).2,0[

∈t .

в) Улитка Паскаля (рис. 58):

)2,0[,0,0,sinsincos,coscos

∈>>+=+= tbatbttaytbtax .

Рассмотреть случаи, когда

baabaab ><<≥ ,2,2 .

г) Кардиоида (рис. 59):

x = a cos t (1 + cos t), y = a sin t (1 +

cos

t), a>0, ).2,0[

∈t

д) Эпициклоида (рис. 60): х = (а+b) соs t - а соs ((а+b) t/а), у =

(а + b) sin t - а sin ((a + b) t/a), а > 0, b > 0. Рассмотреть следующие

случаи:

1) если

b/a есть целое положительное число, )2,0[

∈t ;

Рис. 60

2) если

b/a = р/q, где р и q -положительные целые взаимно

простые числа,

).2,0[

qt ∈

е) Астроида (рис. 61): ).2,0[,sin,cos

∈== ttbytbx

ж) Циссоида (рис. 62):

.0),,(),1/(),1/(

2322

>∞−∞∈+=+= attatytatx

Рис. 61 Рис. 62 Рис. 63

3) Строфоида (рис. 63):

0),,(),1/()1(),1/()1(),1/()1(

222222

>∞−∞∈+−=+−=+−= atttatyttatyttax

. и) Конх оида Никомеда (рис. 64): х = a+ l соs t, y = а tg t+l sin t,

)2/,2/(

−∈t - правая ветвь, )2/3,2/(

∈t - левая ветвь, a > 0, l > 0.

Рассмотреть случаи, когда

l < a, l > a, l = a.

Рис. 64

*) Параметрическое представление кривой

l на плоскости с коор-

динатами

х, y -это две функции х = х(t), у = у(t), определенные на

одном и том же числовом множестве.

848. Построить кривые по их уравнениям в полярных

координатах *).

*) Полярные координаты

, точки М на плоскости - это расстояние

=ОМ от фиксированной точки O (полюса) до точки М и угол =

= РОМ между ОМ и полярной осью (полупрямой) ОР (рис. 68).

Рис. 68

а) Овалы Кассини (рис. 65):

)(2cos2cos

442422

cacc −+±=

ϕϕρ

Рассмотреть случаи, когда

cacacca <<<<<>> 0,20,02 .

б) Лемниската (рис. 66):

0,2cos2 >= aa

ϕρ

Рис.65

Рис. 66 Рис. 67

849. Рассмотрим треугольник со сторонами x, х+ 1, х+2, где x -

некоторое действительное число (рис. 67).

Угол

между сторонами х и x+ 1 является функцией от х.

Исследовать область определения и построить график этой функции.

850. Вычерчивание окружности, заданной параметрическими

уравнениями

x = r cos t , y = r sin t, )2,0[

∈t (см. предыдущую

задачу), выполняется довольно медленно в связи с необходимостью

вычисления тригонометрических функций. Процесс можно ускорить,

если воспользоваться параметрическими уравнениями

)1,0[,

∈

−

ryy

rxx

Указанное изменение параметра соответствует дуге окружности

от 0 до

. Полная окружность может быть построена

симметричным отображением каждой полученной точки относительно

оси

ОХ, оси ОY и начала координат в предположении, что начало

координат совмещено с центром окружности (рис. 69).

Даны натуральные

ryx

,,. Построить окружность с центром в

точке (

yx ,) и радиусом r, воспользовавшись алгоритмом,

описанным выше.

851. Построить спираль вокруг начала координат с п витками и

Рис. 69 Рис.70

внешним радиусом r ; начальное направление спирали образует с осью

ОХ угол

(рис. 70). Параметрическое представление спирали: х = r

соs t, y = r sin t, r = t /2,

nt 2≤≤ .

852. Используя решение предыдущей задачи, начертить фигуру,

показанную на рис. 71. Фигура состоит из четырех спиралей, за-

ключенных в окружность радиуса

r с центром в точке (

yx ,).

Начальный угол одной из спиралей задан и равен

, начальный угол

каждой следующей спирали превышает начальный угол каждой

предыдущей спирали на 45°.

Рис. 71

853. Спирограф - это зубчатый диск радиуса B, расположенный

внутри колеса радиуса

А. Диск вращается против часовой стрелки и

всегда находится в зацеплении с внешним колесом. В диске имеется

небольшое отверстие на расстоянии

D от центра диска, в которое

помещается карандаш. Грифель карандаша в процессе вращения вы-

черчивает рисунок ; вычерчивание заканчивается, когда карандаш

возвращается в исходное положение. С помощью спирографа могут

быть построены рисунки, подобные приведенному на рис. 72 .

Уравнение кривой, вычерчиваемой грифелем, в пара-

метрической форме имеет вид

x = (A-B) cos t + D cos

y = (A-B) sin t - D sin

, где

= ( A /B) t, D < B < A.

Угол

t меняется от 0 до n

2 , п равно B, деленному на

наибольший общий делитель (НОД)

В и А (см. задачу 89).