Агульник В.И. Высшая математика. Методическое пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Методические указания
к выполнению контрольной работы по курсу высшей математики
для студентов ускоренного заочного обучения.
Задача 1.
Даны координаты вершины пирамиды
4321
AAAA
. Сделать чертеж и найти:
1) длину ребра
21
AA
.
2) угол между ребрами
21
AA
и
21
AA
3) площадь грани
321
AAA
4) уравнение прямой
21
AA
5) уравнение плоскости
321
AAA
6) объем пирамиды
4321
AAAA
)4,2,2(
1
A
,
)0,4,2(
2
A
,
)1,0,3(
3
A
,
)2,1,1(
4
A
Решение:
z
1
A
4
A
y
2
A
x
3
A
1) Длина ребра
21
AA
равна расстоянию между точками
1
A
и
2
A
или
модулю вектора
21
AA
. Расстояние между точками
),,(
1111
zyxM
и
),,(
2222
zyxM
вычисляется по формуле
2
21
2
21
2
2121
)()()( zzyyxxMM
. Подставляя в эту формулу
исходные данные, получим
521636)04()42()22(
222
21
AA
2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:
ba
ba
*
*
cos
zzyyxx
babababa *
222
zyx
aaaa
В нашем случае
21
AAa
,
41
AAb
. Чтобы найти координаты вектора, из
координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким
образом,
).4:6;0()40);2(4;22(
21
AA
).2:3;3()42);2(1;21(
41
AA
......
22*52
26
)2(3)3(*)4(60
)2:3;3(*)4:6;0(
cos
222222
....arccos
3) Площадь треугольника
321
AAA
можно найти, используя свойства
скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на
векторах
a
и
b
численно равна модулю их векторного произведения.
В нашем случае,
);5;2;1();4;6;0(
3121
AAAA
521
460
3121
kji
AAAA
=
kjikji 6422
21
60
51
40
52
46
=
=
)64;22(
Имеем,
58.11536
2
1
)6()4()22(
2
1
2
1
222
3121
321
AAAAS
AAA
Итак, площадь грани
321
AAA
равна 11.58 (кв.ед.)
4) Уравнение прямой
21
AA
найдем как канонические уравнения прямой в
пространстве:
l
zz
n
yy
m
xx
000
,
где
),,( lnmq
- координаты направляющего вектора прямой, а
),,(
0000
zyxM
-
координаты точки прямой. В нашем случае
21
AAq
, а в качестве точки
0
M
можно взять точку
1
A
.
Итак, уравнение прямой
21
AA
имеет вид:
4
4
6
2
0
2
zyx
.
В общем виде:
4
4
6
2
02
zy
x
или
0832
2
zy
x
5) Уравнение плоскости
321
AAA
будем искать как уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки
1
A
,
2
A
и
3
A
:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
,
0
521
460
422
zyx
,
0)4(6)2(4)2(2 zyxz
.
Упрощая, получим:
0303211 zyx
.
6) Объем пирамиды
4321
AAAA
найдем, используя свойство смешанного
произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно
равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно
едапараллепиппирамиды
VV
6
1
.
Найдем смешанное произведение векторов
21
AA
,
31
AA
и
41
AA
:
66121266)2;3;3(*)6;4;22(*)(
413121
AAAAAA
.).(1166*
6
1
4321
едкубV
AAAA
Ответы:
1) длина ребра
21
AA
равна
52
(ед.)
2) угол между ребрами
21
AA
и
21
AA
равен
....
3) площадь грани
321
AAA
равна 11.58 (кв. ед.)
4) уравнение прямой
21
AA
(в каноническом виде ):
4
4
6
2
0
2
zyx
5) уравнение плоскости
321
AAA
(в общем виде):
0303211 zyx
6) объем пирамиды
4321
AAAA
равен 11 (куб. ед.).
Задача 2.
Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера.
2x + 3y + z = 1
x + 4y + 2z = 1
x 2z 3z = 3
Решение.
Запишем формулы Крамера:
x
x
;
y
y
;
z
z
.
Здесь: - определитель системы;
x
– определитель, полученный из определителя системы заменой
первого столбца на столбец свободных членов;
y
- определитель, полученный из определителя системы заменой
второго столбца на столбец свободных членов;
z
– определитель, полученный из определителя системы заменой
третьего столбца на столбец свободных членов.
В нашем случае имеем:
219842624
321
241
132
.
21941221812
323
241
131
x
.
211231326
331
211
112
y
.
422942324
321
141
132
z
.
Теперь найдем значения неизвестных:
1
21
21
x
x
;
1
21
21
y
y
;
2
21
42
z
z
.
Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему
и убедимся в правильности решения.
Задача 3.
Теоретическое введение
Функцией переменной величины
x
, называется величина
y
такая, что
каждому значению
y
, принадлежащей некоторой области
X
, соответствует
единственное значение величины
y
.
Обозначение:
xfy
.
X
– область определения функции,
x
– аргумент.
XfY
– область изменения функции,
y
– значение;
Функия может быть задана аналитически, таблично, графически.
Основными элементарными функциями являются:
a) степенные (
a
xy
, где
a
– произвольное число)
b) показательные (
x
ay
,
0a
,
1a
)
c) логарифмические (
xy
a
log
,
0a
,
1a
)
d) тригонометрические (
xy sin
,
xy cos
,
xtgy
,
xctgy
)
e) обратные тригонометрические (
xy arcsin
,
xy arccos
,
xarctgy
,
xarcctgy
)
Композиция (суперпозиция) двух функций
xfy
и
xgy
есть функция,
в которой аргументом одной из данных функции, является значение другой
функции. Обозначение:
xgofxgfy
и
xfogxfgy
.
Сложная функция есть композиция двух и более функций.
Элементарная функция есть функция, полученная из основных элементарных
функций с помощью арифметических действии и композиции.
Целью математического анализа является изучение различных функций, их
свойств, и операций связанных с функциями.
Функция называется четной, если
xfxf
для всех своих аргументов.
Функция называется нечетной, если
xfxf
для всех своих
аргументов.
Число
A
называется пределом функции
xf
при
x
, стремящемся к
a
и
обознается
xfA
ax
lim
, если при неограниченном приближении
x
к
a
,
xf
неограниченно приближается
A
.
Свойства пределов:
1. Передел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они
существуют:
xgxfxgxf
axaxax
limlimlim
2. Предел произведения функции равен произведению пределов, если они
существуют:
xgxfxgxf
axaxax
limlimlim
3. Предел частного двух функций равен частному пределов, если они
существуют, и предел знаменателя не равен нулю:
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
lim
lim
, при
0xg
.
Обычно
afA
, например:
21
2
00
1
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
lim
lim
sinsinlim
Однако, иногда значение
ax
не входит в область определения функции
xf
. В этом случае имеются различные методы вычисления пределов:
Выделение общего множителя
b)
13
2
32
2
65
22
2
2
x
x
xx
x
xx
xxx
limlimlim
c)
6
1
31
1
1031
10
3110
91
3110
3131
10
31
1010
101010
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
limlim
limlimlim
Выделение главной части
d)
2
2
4
2
4
32
154
2
2
2
2
x
x
x
xx
xx
limlim
e)
1
5
13
xx
xx
xxx
xx
xx
limlim
Использование замечательных пределов
Первый замечательный предел:
1
0
x
x
x
sin
lim
f)
2
4
1
2
44
4
22
4
4
8
8
4
8
0000
xxx
x
x
xtg
x
x
xtg
x
xxxx
cos
lim
cos
sin
lim
sin
lim
sin
lim
g)
1616
4
4
2
42
2
81
2
0
2
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
xxx
sin
lim
sin
lim
cos
lim
Второй замечательный предел:
7812
1
1 ,lim
e
x
x
x
h)
ee
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
2
21
2111
limlim
limlimlim
i)
3
3
3
1
0
2
0
1
0
1
2
0
12
0
131
31313131
ex
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim
limlimlimlim
Задача 4.
Теоретическое введение
Производная
y
или
xf
от данной функции
xfy
есть предел
отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю:
x
y
y
x
0
lim
или
x
xfxxf
xf
x
0
lim
Механический смысл производной – скорость изменения функции.
Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к
графику функции:
xfy
x
ytg
Правила дифференцирования:
1. Производная постоянной величины равна 0.
0
const
2. Производная суммы равна сумме производных.
xgxfxgxf
3. Производная произведения:
uuu
4. Производная частного:
2
uuu
Производная сложной функции:
Производная от сложной функции
y
по независимому аргументу
x
равна
производной от
y
по промежуточному аргументу
z
, умноженной на его
производною по независимой переменной
x
.
xzx
zyy
Примеры:
1)
xxy
23
cos
;
xxxxxxxxy 2sincos3sincos2cos3
32232
2)
xtgxy
x
25lnarcsin
;
2
2cos
1
525ln5
1
ln1
1
2
2
x
xtg
x
x
y
xx
3)
2
2
1
1
x
x
;
2
2
2
2
2
2
22
2
2
1
2
1
1
1
1212
1
1
2
1
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
y
Задача 5.
Найти неопределенные интегралы:
Задача 6.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Задача 7.
Найти частное решение дифференциального уравнения
1
xyy
,
удовлетворяющего начальному условию
2)0( y
.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка,
линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену
)()()( xvxuxy
, где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем
искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
vuvuy
.
Подставляя выражения для
y
и
y
в исходное уравнение, получим:
1
xuvvuvu
(*)
Отсюда
1)(
xuvvuvu
;
1)(
xvvuvu
.
Выражение в скобках зависит только от v(x). Будем искать v(x), исходя из
условия:
0
xvv
.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное
решение для v(x) методом разделения переменных:
xv
dx
dv
;
xdx
v
dv
;
Переходим к интегралу:
xdx
v
dv
;
2
)ln(
2
x
v
;
2
2
x
ev
.
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
xeu
x
2
2
;
2
2
x
xeu
.
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x):
ce
x
dedxxexu
xxx
2
2
22
222
2
)(
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального
уравнения:
1)()()(
222
222
xxx
ceceexvxuxy
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение
уравнения:
.211)0(
0
cecy
Отсюда
1c
,
1
2
2
x
ey
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
1
2
2
x
ey
.
Задача 8
Найти область сходимости степенного ряда
1
)5(
!2
n
n
n
n
x
n
n
.
Решение.
Общий вид степенного ряда
1
0
)(
n
n
n
xxa
. В нашем случае
!2
;5
0
n
n
ax
n
n
n
.
Известно, что область сходимости степенного ряда определяется величиной
радиуса сходимости R:
Rxx
0
или
RxxRx
00
Сходимость ряда на границах (при
Rxx
0
) необходимо исследовать
дополнительно.
Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:
n
n
n
a
a
R
1
lim
1
.
Имеем
!22
)1(
)1(!22
11
)!1(2
1
1
)1(
1
n
n
nn
nn
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
;
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
nn
a
a
1
1
2
1)1(
2
1
!22
!2)1(
1
;
36,1
2
1
1lim
2
11
1
2
1
limlim
1
e
nna
a
n
n
n
n
n
n
n
.
74,0
2
e
R
.
Проверим сходимость ряда при
e
x
2
5
. Подставляя это значение в исходный
ряд, получим числовой ряд
11
!
2
!2
n
n
n
n
n
n
n
ne
n
e
n
n
.
Для исследования сходимости этого ряда используем формулу Стирлинга
n
e
n
nn
2!
, верную для факториалов больших чисел.
Получим ряд сравнения
11
1
2
1
2
1
nn
nn
nn
e
n
n
e
.
Этот ряд расходится.
Проверим сходимость ряда при
e
x
2
5
. Подставляя это значение в исходный
ряд, получим числовой ряд
11
!
1
2
!2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ne
n
e
n
n
.
Применяя к нему те же соотношения, получим ряд сравнения
1
1
2
1
n
n
n
.
Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).
Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:
ee
x
2
5,
2
5
.
Задача 9
Разложить функцию
)(xfy
в ряд Фурье.
,0
0,
)(
xпри
xприx
xf
.
Решение.
Функция задана на отрезке от до . Следовательно, период её будет равен 2.
Разложение функции с периодом 2 в ряд Фурье имеет вид:
1
0
sincos
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
Найдём коэффициенты разложения функции в ряд Фурье – коэффициенты
Фурье – по формулам:
dxxfa )(
1
0
;
dxnxxfa
n
cos)(
1
;
dxnxxfb
n
sin)(
1
.
Поскольку функция задана кусочно, на двух промежутках, то все интегралы
будем вычислять суммируя их на этих промежутках.
Итак,
.
2
3
2
)(1
)(
1
)()(
1
0
0
2
0
0
0
0
0
x
x
dxdxxdxxfdxxfa
.
)1(1
0
cos
0
1
sinsinsin
)(
1
sin
cos
coscos)(
1
2
0
2
0
0
0
0
0
nn
nx
n
nx
dx
n
nx
n
nx
x
n
nx
vnxdxdv
dxduxu
dxnxdxnxxa
n
n
Здесь мы
воспользовались равенствами:
0sin n
;
n
n )1(cos
для любых
натуральных чисел n.
Аналогично вычисляем далее:
.
)1()1(1sin1
coscoscos
)(
1
cos
sin
sinsin)(
1
0
2
0
0
0
0
0
nn
n
nx
n
n
nx
dx
n
nx
n
nx
x
n
nx
vnxdxdv
dxduxu
dxnxdxnxxb
nn
n
Итак,
1
2
sin
)1(
cos
)1(1
4
3
)(
n
nn
nx
n
nx
n
xf
.
Развернём этот ряд, получив первые три члена разложения:
xxxxxxf 3sin
3
1
3cos
9
2
2sin
2
1
sincos
2
4
3
)(
.
График функции приведен ниже:
-
3