- 28 -
1.8. Оценить время возврата для цикла Пуанкаре макроскопической системы на
примере газа, находящегося в обычных условиях (N ≈ 10
19
см
-3
, М
ат
≈ 10
-22
г, v ≈ 2.10
4
см/сек [Mv
2
∼ kT]). Считать, что размеры ячейки фазового пространства, в пределы
которой возвращается система при движении вдоль фазовой траектории, составляют
примерно 10
-7
см по пространственным координатам и 10
-16
г.см/сек по импульсам (ср.
Ландсберг, 1974, зад. 27.10,11).
1.9. (Решеточный газ.) В каждом из N
0
узлов решетки может находиться либо 0, либо 1
атом. Пусть N атомов случайно распределены по этим узлам. Найти число
расположений g(N
0
,N) атомов по узлам, вероятность p(R,n) того, что в R узлах решетки
адсорбировано n атомов, среднее значение <n> и среднее значение <(Δn)
2
>, где Δn = n -
<n> .Убедиться, что при n малых p(R,n) переходит в распределение Пуассона.
1.10. Пусть решетка разбита на части, содержащие R
i
узлов, так что ∑R
i
= N
0
. Найти
вероятность того, что в каждой из этих частей находится, соответственно, n
i
атомов
(∑n
i
= N) (обобщенное гипергеометрическое распределение). Рассмотреть предельный
случай R
i
>> n
i
.
1.11. Рассмотрим решетку, узлы которой могут вместить любое число «атомов». Найти
в этом случае число возможных размещений N атомов по N
0
узлам и вероятность того,
что в R узлах решетки размещено n атомов.
1.12. Идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в сосуде объемом V
0
.
Определить вероятность того, что в заданном объеме V (<<V
0
) будет содержаться в
данный момент n молекул. Найти средние значения <n> и <(Δn)
2
>. Рассмотреть
предельные случаи а) n<<N; б) n>>1, ⏐Δn⏐ << <n>.
1.13. При термоэлектронной эмиссии происходит вылет электронов с поверхности
металла или полупроводника. Предполагая, что вылеты электронов статистически
независимые события и вероятность вылета одного электрона за бесконечно малый
промежуток времени dt равна n
0
dt (n
0
- постоянная), определить вероятность вылета n
электронов за время t. Найти средние значения <n> и <(Δn)
2
>.
1.14. (Проблема случайных блужданий.) Частица, находящаяся в исходный момент в
начале координат, делает в следующий момент скачок на единицу либо вправо, либо
влево с одинаковой вероятностью. Определить вероятность p
n
(l) того, что через n шагов
частица окажется в точке l одномерной решетки. Рассмотреть предельный случай
больших n. Полагая средний интервал времени между скачками равным t
0
, переписать