96
y
P
K
M N
dx
ϕ
0 x x+dx x
dy
Приклад. Знайти диференціал функції
=
Розв’язання.
cos sin
2
dx dx
dy
= =
⋅ ⋅ ⋅
5.2.1.
Геометричний зміст диференціала функції
З формули (5.2.2) випливає, що диференціал функції y=f(x) дорівнює
′
=
. З огляду на те, що
′
=
(рис.5.2.), одержуємо dy=tgφ·dx.
Звідси: геометричний зміст
диференціала полягає в тому, що він
дорівнює приросту ординати дотичної,
проведеної до кривої y=f(x) в точці
з абсцисою x при переході від
точки дотику в точку з абсцисою x+dx (dy=|KN|).
5.2.2. Інваріантість форми диференціала 1-го порядку
Нехай задана функція y=f(x), де x=
ϕ
, тобто y=f(
ϕ
) є складною
функцією. Припустимо, що f і
– диференційовні функції. Обчислимо dy
dxxfdxfdxdtxdtxfdtydy
xttxt
.
Таким чином, диференціал функції виражається однієї й тією ж
формулою як у випадку функції від незалежної змінної, так і у випадку
функції від функції. Цю властивість диференціала називають інваріантістю
формули (або форми) диференціала. Варто звернути увагу на те, що
інваріантна (незмінна) саме форма диференціала, оскільки в змісті формули
диференціала функції від функції є істотна відмінність від змісту формули
диференціала функції від незалежної змінної. Саме, у формулі
′
=
dx
є не тільки диференціал, але й приріст
аргументу x, якщо x – незалежна
змінна, і dx є диференціал x, але не приріст
, якщо аргумент x є у свою
чергу функція деякої змінної t.
5.2.3. Застосування диференціала до наближених обчислень
При достатньо малому
можна замінити приріст функції її
диференціалом, тобто
0 0 0
′