Banner A. The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus
Подождите немного. Документ загружается.
366 • The Fundamental Theorems of Calculus
Before we look at some more examples, I want to make one more comment
about the two Fundamental Theorems. The First Fundamental Theorem says
that
d
dx
Z
x
a
f(t) dt = f(x).
In some sense, the derivative of the integral is the original function. You just
have to be careful about what you mean by the “integral,” bearing in mind
that the variable has to be the right-hand limit of integration, not the dummy
variable. Now, the Second Fundamental Theorem says that
Z
b
a
f(x) dx = F (x)
b
a
where F is an antiderivative of f. This means that f(x) =
d
dx
F (x). We can
therefore rewrite the above equation as
Z
b
a
d
dx
F (x) dx = F (x)
b
a
which can be interpreted as saying that the integral of the derivative is the
original function. Again, it’s not really the original function: it’s the difference
between the evaluations of the original function at the endpoints a and b.
Even with all this vagueness, it should still be clear that differentiation and
integration are essentially opposite operations.
Now, let’s see how to use the Fundamental Theorems to solve problems.
17.5 How to Solve Problems: The First
Fundamental Theorem
Think about how you’d find the following derivative:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dx
Z
x
3
sin(t
2
) dt.
You could try to find the indefinite integral
R
sin(t
2
) dt, then plug in x and 3
and take the difference; this will give
Z
x
3
sin(t
2
) dt,
which you could finally differentiate. Why go to all that work when the
derivative and integral effectively cancel each other out? After all, if you
wanted to find (
√
54756)
2
, you wouldn’t waste time looking for
√
54756 when
you just have to square it again. You’d just write down the answer 54756 and
be done with it. Similarly, we can use the First Fundamental Theorem from
above to say that
d
dx
Z
x
3
sin(t
2
) dt = sin(x
2
).
All you have to do is take the integrand sin(t
2
) and change t to x. The number
3 doesn’t even come into it (see Section 17.1 above for a discussion of this).
Section 17.5.1: Variation 1: variable left-hand limit of integration • 367
By the way, it would be a mistake to put a “+C” at the end: you are finding
a derivative, after all, not an antiderivative!
Of course, you have to be versatile—the letters can change around. For
example, what is
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(
n−2)
n
2(
n−1)
n
2
n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−
2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dz
Z
z
−e
2
cos(w
2
ln(w+5))
dw?
Just replace w by z in the integrand and see that
d
dz
Z
z
−e
2
cos(w
2
ln(w+5))
dw = 2
cos(z
2
ln(z+5))
.
Note that −e is a constant, but once again this could have been replaced
by any other constant and the answer would be the same. (By the way, the
integral only makes sense if z > −5.)
That’s really all there is to the basic version, where the variable (that
you’re differentiating with respect to) is just sitting there on the right-hand
limit of integration. All you have to do is replace the dummy variable in the
integrand with the real variable. There are four variations that can arise,
however: let’s look at them one at a time.
17.5.1 Variation 1: variable left-hand limit of integration
Consider
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dx
Z
7
x
t
3
cos(t ln(t)) dt.
The problem is that the variable x is now the left-hand limit of integration,
not the right-hand one we’ve been used to. No problem—just switch the x and
7 around, introducing a minus sign to compensate for this (see Section 16.3
in the previous chapter to remind yourself why this works). You get
d
dx
Z
7
x
t
3
cos(t ln(t)) dt =
d
dx
−
Z
x
7
t
3
cos(t ln(t)) dt
.
Now pull out the minus sign and use the First Fundamental Theorem to see
that this is equal to
−x
3
cos(x ln(x)),
if x > 0. In effect, all we are doing is taking the integrand, replacing the
dummy variable t by x, and putting a minus sign out front. It’s important to
justify the minus sign and the use of the First Fundamental Theorem by first
switching the limits of integration, as we did in the above example.
17.5.2 Variation 2: one tricky limit of integration
Here’s another example:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=b
a
b
x
y
y = f(x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dx
Z
x
2
0
tan
−1
(t
7
+ 3t) dt.
Because the right-hand limit of integration is x
2
, not x, we can’t just use the
First Fundamental Theorem directly. We’re going to need the chain rule as
368 • The Fundamental Theorems of Calculus
well. Start off by letting y be the quantity we want to differentiate:
y =
Z
x
2
0
tan
−1
(t
7
+ 3t) dt.
We want to find dy/dx. Since y is really a function of x
2
, not x directly, we
should let u = x
2
. This means that
y =
Z
u
0
tan
−1
(t
7
+ 3t) dt.
The chain rule says that
dy
dx
=
dy
du
du
dx
,
while the First Fundamental Theorem says that
dy
du
=
d
du
Z
u
0
tan
−1
(t
7
+ 3t) dt = tan
−1
(u
7
+ 3u).
Also, since u = x
2
, we have du/dx = 2x. Altogether,
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
tan
−1
(u
7
+ 3u)
(2x).
Now all we have to do is replace u by x
2
to see that
dy
dx
= 2x tan
−1
((x
2
)
7
+ 3(x
2
)) = 2x tan
−1
(x
14
+ 3x
2
).
In summary,
d
dx
Z
x
2
0
tan
−1
(t
7
+ 3t) dt = 2x tan
−1
(x
14
+ 3x
2
).
Not so bad when you break it down into little pieces.
Let’s look at one more example of this sort of problem: what is
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dq
Z
sin(q)
4
tan(cos(a)) da?
Well, let y be the integral in question:
y =
Z
sin(q)
4
tan(cos(a)) da,
and remind yourself that you’re looking for dy/dq. Now set u = sin(q), so
y =
Z
u
4
tan(cos(a)) da.
By the chain rule, we have
dy
dq
=
dy
du
du
dq
.
Section 17.5.3: Variation 3: two tricky limits of integration • 369
By the First Fundamental Theorem,
dy
du
=
d
du
Z
u
4
tan(cos(a)) da = tan(cos(u)).
Since u = sin(q), we have du/dq = cos(q), so the chain rule equation above
becomes
dy
dq
=
dy
du
du
dq
= tan(cos(u)) cos(q).
Finally, replace u by sin(q) to see that
d
dq
Z
sin(q)
4
tan(cos(a)) da = tan(cos(sin(q))) cos(q).
You might also encounter both of the above variations in the same problem.
For example, to find
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dq
Z
4
sin(q)
tan(cos(a)) da,
start by switching the limits of integration, introducing a minus sign as you
do so:
d
dq
Z
4
sin(q)
tan(cos(a)) da = −
d
dq
Z
sin(q)
4
tan(cos(a)) da.
Now you can find the right-hand side as we did above; the final answer will
be the same, except for that minus sign out front:
d
dq
Z
4
sin(q)
tan(cos(a)) da = −
d
dq
Z
sin(q)
4
tan(cos(a)) da
= −tan(cos(sin(q))) cos(q).
17.5.3 Variation 3: two tricky limits of integration
Here’s an even harder example:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dx
Z
x
6
x
5
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt.
Now there are functions of x in both the left-hand and right-hand limits of
integration. The way to handle this is to split the integral into two pieces at
some number. It actually doesn’t matter where you split it, as long as it is at
a constant (where the function is defined). So, pick your favorite number—say
0—and split the integral there:
d
dx
Z
x
6
x
5
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt
=
d
dx
Z
0
x
5
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt +
Z
x
6
0
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt
!
.
370 • The Fundamental Theorems of Calculus
We’ve reduced the problem to two easier derivatives. The first one is a combi-
nation of the first two variations above. Just switch the limits of integration,
introducing the minus sign, to write
d
dx
Z
0
x
5
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt = −
d
dx
Z
x
5
0
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt.
Now use the chain rule by setting u = x
5
and following the method from the
previous section. You should check that the above derivative works out to be
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(
n−2)
n
2(
n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
−5x
4
ln((x
5
)
2
− sin(x
5
) + 7) = −5x
4
ln(x
10
− sin(x
5
) + 7).
As for the other derivative above,
d
dx
Z
x
6
0
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt,
there’s no need to switch the limits of integration—just set v = x
6
and apply
the chain rule once again. You should check that the above derivative is equal
to
6x
5
ln((x
6
)
2
− sin(x
6
) + 7) = 6x
5
ln(x
12
− sin(x
6
) + 7).
Putting it all together, we have shown that
d
dx
Z
x
6
x
5
ln(t
2
− sin(t) + 7) dt
= −5x
4
ln(x
10
− sin(x
5
) + 7) + 6x
5
ln(x
12
− sin(x
6
) + 7).
17.5.4 Variation 4: limit is a derivative in disguise
Here’s an example which looks a little different:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
lim
h→0
1
h
Z
x+h
x
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt.
This isn’t a derivative—it’s a limit. Actually, it is a derivative in disguise (see
Section 6.5 in Chapter 6 for a discussion of these types of limits). The trick
is to set
F (x) =
Z
x
a
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt
for some constant a. You can put in a specific constant if you like, or you can
just leave it as a. It doesn’t matter, because in any case we have
F (x + h) − F (x) =
Z
x+h
x
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt.
Check that you believe this, or look back at Section 17.2 above. In any case,
in terms of our function F , we have
lim
h→0
1
h
Z
x+h
x
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt = lim
h→0
F (x + h) − F (x)
h
= F
0
(x).
Section 17.6: How to Solve Problems: The Second Fundamental Theorem • 371
So actually, we have
lim
h→0
1
h
Z
x+h
x
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt =
d
dx
Z
x
a
log
3
(cos
6
(t) + 2) dt
for any a you like. See, I told you that the limit was a derivative in disguise!
To finish the problem, just apply the First Fundamental Theorem in its basic
form to see that the above limit is just log
3
(cos
6
(x) + 2).
17.6 How to Solve Problems: The Second
Fundamental Theorem
To find a definite integral using the Second Fundamental Theorem—and this
is how you want to find definite integrals, believe me—you need to find the
indefinite integral first, then substitute in the endpoints and take the differ-
ence. So let’s spend a little time discussing how to find indefinite integrals
(that is, antiderivatives), then look at some examples of how to find definite
integrals. This is only the beginning of the story; in the next two chapters,
we’ll look at many more ways of finding indefinite integrals.
17.6.1 Finding indefinite integrals
As we saw in Section 17.4 above, whenever you know a derivative, you get
an antiderivative for free. We gave some examples there, but here’s another:
since
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
d
dx
(x
4
) = 4x
3
,
we immediately know that
Z
4x
3
dx = x
4
+ C.
Since constants just pass through the integral sign, we can write this as
4
Z
x
3
dx = x
4
+ C.
Now divide by 4:
Z
x
3
dx =
x
4
4
+
C
4
.
This is fine, but the quantity C/4 is a bit silly. It’s some arbitrary constant
divided by 4, which is another arbitrary constant. So we can just replace the
constant C/4 by some other constant, which we’ll also call C, and get
Z
x
3
dx =
x
4
4
+ C.
Let’s repeat this for any power of x. Start off by noting that
d
dx
(x
a+1
) = (a + 1)x
a
;
372 • The Fundamental Theorems of Calculus
this means that
Z
(a + 1)x
a
dx = x
a+1
+ C.
If a 6= −1, then a + 1 6= 0; so we can divide through by (a + 1) and write
Z
x
a
dx =
x
a+1
a + 1
+ C.
(Once again, we replaced C/(a + 1) by simply C; this is OK since C is just an
arbitrary constant.) Now, what happens when a = −1? The above method
doesn’t work on
R
x
−1
dx, which is just
Z
1
x
dx.
On the other hand, we do know from Section 9.3 of Chapter 9 that
d
dx
(ln(x)) =
1
x
, so
Z
1
x
dx = ln(x) + C.
This is fine, but actually we can do better. You see, 1/x is defined everywhere
except at x = 0, while ln(x) is only defined when x > 0. We can rectify this
by writing
Z
1
x
dx = ln|x| + C.
Let’s check that this works. We need to show that
d
dx
ln|x| =
1
x
for all x 6= 0. When x > 0, the left-hand side is just ln(x) and there’s no
problem. If x < 0, then |x| is actually equal to −x, so the left-hand side
becomes
d
dx
ln(−x).
It looks a bit weird, but remember that −x is actually positive when x < 0.
In any case, by the chain rule, the above derivative is
d
dx
ln(−x) = −
1
−x
=
1
x
.
So we have proved the formula
Z
1
x
dx = ln|x| + C.
See Section 17.7 below for a technicality involving this formula. In the mean-
time, we can now summarize most of the basic derivatives and corresponding
antiderivatives that we’ve seen so far in one big table.
Section 17.6.1: Finding indefinite integrals • 373
Derivatives and integrals to learn:
d
dx
x
a
= ax
a−1
Z
x
a
dx =
x
a+1
a + 1
+ C (if a 6= −1)
d
dx
ln(x) =
1
x
Z
1
x
dx = ln|x| + C
d
dx
e
x
= e
x
Z
e
x
dx = e
x
+ C
d
dx
b
x
= b
x
ln(b)
Z
b
x
dx =
b
x
ln(b)
+ C
d
dx
sin(x) = cos(x)
Z
cos(x) dx = sin(x) + C
d
dx
cos(x) = −sin(x)
Z
sin(x) dx = −cos(x) + C
d
dx
tan(x) = sec
2
(x)
Z
sec
2
(x) dx = tan(x) + C
d
dx
sec(x) = sec(x) tan(x)
Z
sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C
d
dx
cot(x) = −csc
2
(x)
Z
csc
2
(x) dx = −cot(x) + C
d
dx
csc(x) = −csc(x) cot(x)
Z
csc(x) cot(x) dx = −csc(x) + C
d
dx
sin
−1
(x) =
1
√
1 − x
2
Z
1
√
1 − x
2
dx = sin
−1
(x) + C
d
dx
tan
−1
(x) =
1
1 + x
2
Z
1
1 + x
2
dx = tan
−1
(x) + C
d
dx
sec
−1
(x) =
1
|x|
√
x
2
− 1
Z
1
|x|
√
x
2
− 1
dx = sec
−1
(x) + C
d
dx
sinh(x) = cosh(x)
Z
cosh(x) dx = sinh(x) + C
d
dx
cosh(x) = sinh(x)
Z
sinh(x) dx = cosh(x) + C
As we’ve seen, if you replace x by the constant multiple ax in any of the above
differentiation formulas, you just have to multiply the corresponding formula
by a. For example,
d
dx
tan(7x) = 7 sec
2
(7x).
What if you integrate instead? Now the rule of thumb is that if you replace
x by ax, then you have to divide by a. For example,
PSfrag
replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shado
w
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror
(y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y =
(x − 1)
2
−
1
x
Same
height
−
x
Same
length,
opp
osite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y =
2
x
y =
10
x
y =
2
−x
y =
log
2
(x)
4
3
units
mirror
(x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
=
0 radians
θ
hypotenuse
opp
osite
adjacen
t
0
(≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
I
I
I
II
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference
angle
reference
angle =
π
6
sin
+
sin −
cos
+
cos −
tan
+
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this
angle is
5π
6
clo
ckwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y =
sin(x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y =
sin(x)
y =
cos(x)
−
π
2
π
2
y =
tan(x), −
π
2
<
x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y =
tan(x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y =
sec(x)
y =
csc(x)
y =
cot(x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y =
tan
−1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
,
x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 <
x < 0.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x +
2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangen
t at x = a
b
tangen
t at x = b
c
tangen
t at x = c
y = x
2
tangen
t
at x = −
1
u
v
uv
u +
∆u
v +
∆v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y =
sin(x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x =
0
a =
0
x
> 0
a
> 0
x
< 0
a
< 0
rest
position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y =
ln(x)
y =
cosh(x)
y =
sinh(x)
y =
tanh(x)
y =
sech(x)
y =
csch(x)
y =
coth(x)
1
−
1
y = f(
x)
original
function
in
verse function
slop
e = 0 at (x, y)
slop
e is infinite at (y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y =
sin(x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y =
sin(x)
y =
sin(x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y =
sin
−1
(x)
y =
cos(x)
π
π
2
y =
cos
−1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y =
tan(x)
y =
tan(x)
1
y =
tan
−1
(x)
y =
sec(x)
y =
sec
−1
(x)
y =
csc
−1
(x)
y =
cot
−1
(x)
1
y =
cosh
−1
(x)
y =
sinh
−1
(x)
y =
tanh
−1
(x)
y =
sech
−1
(x)
y =
csch
−1
(x)
y =
coth
−1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y =
1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y =
sin(x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Lo
cal maximum
Lo
cal minimum
Horizon
tal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2
+
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln
(x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2
+
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing
fence
new
fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallo
w
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a +
∆x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
d
f
∆
x
a
b
y = f(
x)
true
zero
starting
approximation
b
etter approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=b
a
b
x
y
y = f(x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
sec
2
(7x) =
1
7
tan(7x) + C.
You can see this directly from the previous equation by dividing by 7. Here’s
374 • The Fundamental Theorems of Calculus
another example:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(
n−2)
n
2(
n−1)
n
2
n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−
2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
e
−x/3
dx.
You can think of x as having been replaced by −1/3 times x; so divide by
−1/3, like this:
Z
e
−x/3
dx =
1
−1/3
e
−x/3
+ C = −3e
−x/3
+ C.
How about one more for good measure? Consider
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(
n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
1
1 + 2x
2
dx.
This can be written as
Z
1
1 + (
√
2x)
2
dx,
and now you can consider x as being replaced by
√
2x. So divide by
√
2 to
get
Z
1
1 + (
√
2x)
2
dx =
1
√
2
tan
−1
(
√
2x) + C.
There are many more complicated techniques for finding antiderivatives which
we’ll look at in the next two chapters, but it certainly doesn’t hurt to remem-
ber this simple one, since constant multiples do come up often in integrands.
17.6.2 Finding definite integrals
The Second Fundamental Theorem tells us that to find
Z
b
a
f(x) dx,
just find an antiderivative, plug in x = b and x = a, and take the difference.
We’ve already looked at some examples of this in Section 17.3 above; let’s
look at five more. First, consider
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
2
−1
x
4
dx.
By the formula
Z
x
a
dx =
x
a+1
a + 1
+ C,
we know that an antiderivative of x
4
is x
5
/5. No need for the constant—
you can choose any antiderivative, so just choose the one with C = 0 for
simplicity. So, we have
Z
2
−1
x
4
dx =
x
5
5
2
−1
=
2
5
5
−
(−1)
5
5
=
32
5
−
−1
5
=
33
5
.
It’s important to use parentheses to make sure you don’t screw up the minus
signs! Now, you might be wondering what happens if you did happen to use a
Section 17.6.2: Finding definite integrals • 375
different antiderivative. Well, the constant will just cancel out. For example,
if you chose the antiderivative x
5
/5 − 1001 instead, you’d get
Z
2
−1
x
4
dx =
x
5
5
− 1001
2
−1
=
2
5
5
− 1001
−
(−1)
5
5
− 1001
=
2
5
5
− 1001 −
(−1)
5
5
+ 1001.
Notice that the −1001 and +1001 terms cancel and we’re left with exactly
what we had before. The moral of the story is to omit the constant C when
calculating a definite integral.
Here’s our second integral:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−
π
0
−
1
−
2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
−1
−e
2
4
x
dx.
The factor 4 can just pass through the integral sign, so we need to use the
formula
Z
1
x
dx = ln|x| + C
from the above table to see that 4 ln|x| is an antiderivative for 4/x. So we
have
Z
−1
−e
2
4
x
dx = 4 ln|x|
−1
−e
2
= (4 ln|−1|) − (4 ln|−e
2
|) = 4 ln(1) − 4 ln(e
2
) = −8.
Here we have used the facts that ln(1) = 0 and ln(e
2
) = 2 ln(e) = 2.
The third example is
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=
b
t
16
=
b
t
10
=
b
a
b
x
y
y = f(
x)
1
2
y = x
5
0
−
2
y = 1
a
b
y = sin(
x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
π/3
0
sec
2
(x) − 5 sin
x
2
dx.
You should mentally split up the integrand into two components, sec
2
(x) and
sin(x/2), ignoring the constant 5 outside the second integral. By the above
table, an antiderivative of sec
2
(x) is tan(x). As for sin(x/2), an antiderivative
is −cos(x/2) divided by
1
2
, since x has been replaced by the constant multiple
1
2
x. This works out to be −2 cos(x/2) (since dividing by
1
2
is the same as
multiplying by 2). Altogether, we have
Z
π/3
0
sec
2
(x) − 5 sin
x
2
dx =
tan(x) − 5 ×
−2 cos
x
2
π/3
0
.
Simplifying and substituting, we get
tan(π/3) + 10 cos
π/3
2
−
tan(0) + 10 cos
0
2
;
you should check that this works out to be 6
√
3 − 10.
Here’s the fourth example:
PSfrag replacements
(
a, b)
[
a, b]
(
a, b]
[
a, b)
(
a, ∞)
[
a, ∞)
(
−∞, b)
(
−∞, b]
(
−∞, ∞)
{
x : a < x < b}
{
x : a ≤ x ≤ b}
{
x : a < x ≤ b}
{
x : a ≤ x < b}
{
x : x ≥ a}
{
x : x > a}
{
x : x ≤ b}
{
x : x < b}
R
a
b
shadow
0
1
4
−
2
3
−
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
g(
x) = x
2
f(
x) = x
3
mirror (
y = x)
f
−
1
(x) =
3
√
x
y = h
(x)
y = h
−
1
(x)
y = (
x − 1)
2
−
1
x
Same height
−
x
Same length,
opposite signs
y = −
2x
−
2
1
y =
1
2
x − 1
2
−
1
y = 2
x
y = 10
x
y = 2
−
x
y = log
2
(
x)
4
3 units
mirror (
x-axis)
y = |
x|
y = |
log
2
(x)|
θ radians
θ units
30
◦
=
π
6
45
◦
=
π
4
60
◦
=
π
3
120
◦
=
2
π
3
135
◦
=
3
π
4
150
◦
=
5
π
6
90
◦
=
π
2
180
◦
= π
210
◦
=
7
π
6
225
◦
=
5
π
4
240
◦
=
4
π
3
270
◦
=
3
π
2
300
◦
=
5
π
3
315
◦
=
7
π
4
330
◦
=
11
π
6
0
◦
= 0 radians
θ
hypotenuse
opposite
adjacent
0 (
≡ 2π)
π
2
π
3
π
2
I
II
III
IV
θ
(
x, y)
x
y
r
7
π
6
reference angle
reference angle =
π
6
sin +
sin −
cos +
cos −
tan +
tan −
A
S
T
C
7
π
4
9
π
13
5
π
6
(this angle is
5
π
6
clockwise)
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = cos(
x)
−
π
2
π
2
y = tan(
x), −
π
2
< x <
π
2
0
−
π
2
π
2
y = tan(
x)
−
2π
−
3π
−
5
π
2
−
3
π
2
−
π
−
π
2
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
y = sec(
x)
y = csc(
x)
y = cot(
x)
y = f(
x)
−
1
1
2
y = g(
x)
3
y = h
(x)
4
5
−
2
f(
x) =
1
x
g(
x) =
1
x
2
etc.
0
1
π
1
2
π
1
3
π
1
4
π
1
5
π
1
6
π
1
7
π
g(
x) = sin
1
x
1
0
−
1
L
10
100
200
y =
π
2
y = −
π
2
y = tan
−
1
(x)
π
2
π
y =
sin(
x)
x
, x > 3
0
1
−
1
a
L
f(
x) = x sin (1/x)
(0 < x < 0
.3)
h
(x) = x
g(
x) = −x
a
L
lim
x
→a
+
f(x) = L
lim
x
→a
+
f(x) = ∞
lim
x
→a
+
f(x) = −∞
lim
x
→a
+
f(x) DNE
lim
x
→a
−
f(x) = L
lim
x
→a
−
f(x) = ∞
lim
x
→a
−
f(x) = −∞
lim
x
→a
−
f(x) DNE
M
}
lim
x
→a
−
f(x) = M
lim
x
→a
f(x) = L
lim
x
→a
f(x) DNE
lim
x
→∞
f(x) = L
lim
x
→∞
f(x) = ∞
lim
x
→∞
f(x) = −∞
lim
x
→∞
f(x) DNE
lim
x
→−∞
f(x) = L
lim
x
→−∞
f(x) = ∞
lim
x
→−∞
f(x) = −∞
lim
x
→−∞
f(x) DNE
lim
x →a
+
f(
x) = ∞
lim
x →a
+
f(
x) = −∞
lim
x →a
−
f(
x) = ∞
lim
x →a
−
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) = ∞
lim
x →a
f(
x) = −∞
lim
x →a
f(
x) DNE
y = f (
x)
a
y =
|
x|
x
1
−
1
y =
|
x + 2|
x + 2
1
−
1
−
2
1
2
3
4
a
a
b
y = x sin
1
x
y = x
y = −
x
a
b
c
d
C
a
b
c
d
−
1
0
1
2
3
time
y
t
u
(
t, f(t))
(
u, f(u))
time
y
t
u
y
x
(
x, f(x))
y = |
x|
(
z, f(z))
z
y = f(
x)
a
tangent at x = a
b
tangent at x = b
c
tangent at x = c
y = x
2
tangent
at x = −
1
u
v
uv
u + ∆
u
v + ∆
v
(
u + ∆u)(v + ∆v)
∆
u
∆
v
u
∆v
v∆
u
∆
u∆v
y = f(
x)
1
2
−
2
y = |
x
2
− 4|
y = x
2
− 4
y = −
2x + 5
y = g(
x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
y = f (
x)
3
−
3
3
−
3
0
−
1
2
easy
hard
flat
y = f
0
(
x)
3
−
3
0
−
1
2
1
−
1
y = sin(
x)
y = x
x
A
B
O
1
C
D
sin(
x)
tan(
x)
y =
sin(
x)
x
π
2
π
1
−
1
x = 0
a = 0
x > 0
a > 0
x < 0
a < 0
rest position
+
−
y = x
2
sin
1
x
N
A
B
H
a
b
c
O
H
A
B
C
D
h
r
R
θ
1000
2000
α
β
p
h
y = g(
x) = log
b
(x)
y = f(
x) = b
x
y = e
x
5
10
1
2
3
4
0
−
1
−
2
−
3
−
4
y = ln(
x)
y = cosh(
x)
y = sinh(
x)
y = tanh(
x)
y = sech(
x)
y = csch(
x)
y = coth(
x)
1
−
1
y = f(
x)
original function
inverse function
slope = 0 at (
x, y)
slope is infinite at (
y, x)
−
108
2
5
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
y = sin(
x), −
π
2
≤ x ≤
π
2
−
2
−
1
0
2
π
2
−
π
2
y = sin
−
1
(x)
y = cos(
x)
π
π
2
y = cos
−
1
(x)
−
π
2
1
x
α
β
y = tan(
x)
y = tan(
x)
1
y = tan
−
1
(x)
y = sec(
x)
y = sec
−
1
(x)
y = csc
−
1
(x)
y = cot
−
1
(x)
1
y = cosh
−
1
(x)
y = sinh
−
1
(x)
y = tanh
−
1
(x)
y = sech
−
1
(x)
y = csch
−
1
(x)
y = coth
−
1
(x)
(0
, 3)
(2
, −1)
(5
, 2)
(7
, 0)
(
−1, 44)
(0
, 1)
(1
, −12)
(2
, 305)
y = 1
2
(2
, 3)
y = f(
x)
y = g(
x)
a
b
c
a
b
c
s
c
0
c
1
(
a, f(a))
(
b, f(b))
1
2
1
2
3
4
5
6
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
3
π
5
π
2
2
π
3
π
2
π
π
2
y = sin(
x)
1
0
−
1
−
3π
−
5
π
2
−
2π
−
3
π
2
−
π
−
π
2
3
π
5
π
2
2
π
2
π
3
π
2
π
π
2
c
OR
Local maximum
Local minimum
Horizontal point of inflection
1
e
y = f
0
(
x)
y = f (
x) = x ln(x)
−
1
e
?
y = f(
x) = x
3
y = g(
x) = x
4
x
f(
x)
−
3
−
2
−
1
0
1
2
1
2
3
4
+
−
?
1
5
6
3
f
0
(
x)
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
f
00
(
x)
7
8
g
00
(
x)
f
00
(
x)
0
y =
(
x − 3)(x − 1)
2
x
3
(
x + 2)
y = x ln(
x)
1
e
−
1
e
5
−
108
2
α
β
2 −
1
2
√
6
2 +
1
2
√
6
y = x
2
(
x − 5)
3
−
e
−
1/2
√
3
e
−
1/2
√
3
−
e
−3/2
e
−
3/2
−
1
√
3
1
√
3
−
1
1
y = xe
−
3x
2
/2
y =
x
3
− 6
x
2
+ 13x − 8
x
28
2
600
500
400
300
200
100
0
−
100
−
200
−
300
−
400
−
500
−
600
0
10
−
10
5
−
5
20
−
20
15
−
15
0
4
5
6
x
P
0
(
x)
+
−
−
existing fence
new fence
enclosure
A
h
b
H
99
100
101
h
dA/dh
r
h
1
2
7
shallow
deep
LAND
SEA
N
y
z
s
t
3
11
9
L
(11)
√
11
y = L
(x)
y = f (
x)
11
y = L
(x)
y = f(
x)
F
P
a
a + ∆
x
f(
a + ∆x)
L
(a + ∆x)
f(
a)
error
df
∆
x
a
b
y = f(
x)
true zero
starting approximation
better approximation
v
t
3
5
50
40
60
4
20
30
25
t
1
t
2
t
3
t
4
t
n
−2
t
n
−1
t
0
= a
t
n
= b
v
1
v
2
v
3
v
4
v
n
−1
v
n
−
30
6
30
|
v|
a
b
p
q
c
v(
c)
v(
c
1
)
v(
c
2
)
v(
c
3
)
v(
c
4
)
v(
c
5
)
v(
c
6
)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
t
0
=
a
t
6
=b
t
16
=b
t
10
=b
a
b
x
y
y = f(x)
1
2
y = x
5
0
−2
y = 1
a
b
y = sin(x)
π
−π
0
−1
−2
0
2
4
y = x
2
0
1
2
3
4
2
n
4
n
6
n
2(n−2)
n
2(n−1)
n
2n
n
= 2
width of each interval =
2
n
−2
1
3
0
I
II
III
IV
4
y
dx
y = −x
2
− 2x + 3
3
−5
y = |−x
2
− 2x + 3|
I
II
IIa
5
3
0
1
2
a
b
y = f (x)
y = g(x)
y = x
2
a
b
5
3
0
1
2
y =
√
x
2
√
2
2
2
dy
x
2
a
b
y = f(x)
y = g(x)
M
m
1
2
−1
−2
0
y = e
−x
2
1
2
e
−1/4
f
av
y = f
av
c
A
M
0
1
2
a
b
x
t
y = f (t)
F (x )
y = f (t)
F (x + h)
x + h
F (x + h) − F (x)
f(x)
Z
9
4
1
x
√
x
dx.