32
следует ожидать за этими границами, а именно: 15,87% - за границей μ + σ и 15,87% за
границей μ - σ в силу симметричности нормального распределения.
Границы μ - 2σ и μ + 2σ охватывают 95,44% всех значений, а вне этих границ
находятся по 2,28% значений (за границей μ + 2σ и μ - 2σ), т.е. всего 4,56%.
Между 3σ границами
(μ - 3σ; μ + 3σ) находится 99,73% всех наблюдений, т.е.
практически все значения. Только 0,27% значений находятся за границами, а именно: 0,135%
за границей μ + 3σ и 0,135% за μ - 3σ.
Таким образом, теоретически нормальная переменная может принимать любое значение
от -∞ до +∞, однако вероятность попадания в 3σ границы составляет 99,7%. Это означает,
что
на практике мы можем пренебречь шансами, что X окажется за пределами3σ границ –
это правило служит основанием для определения контрольных пределов в контрольных
картах
(по количественному признаку).
Равномерное (равновероятное) распределение наблюдается в случаях, когда на
случайную величину решающее влияние оказывает величина, также распределенная
равномерно, а так же в случаях, когда ни одно из значений случайной величины не имеет
преимущества перед другими.
Треугольное распределение (распределение Симпсона) возникает, если
рассматривается сумма или разность двух равномерно распределенных случайных величин.
Экспоненциальное распределение
характерно для величины наработки изделий до
отказа, если отказы происходят с равной вероятностью (одинаковой интенсивностью) в
течении всего срока службы (например, за счет скрытых дефектов или случайных
отклонений в технологии).
Логарифмически нормальное распределение характерно для времени простоя
некоторых видов оборудования, для оценки потребности в различных типоразмерах изделий,
усталостной долговечности деталей.
Биноминальное распределение обобщает различные случаи оценки доли бракованных
изделий в партии при контроле по альтернативному признаку (годен - не годен). Частными
случаями его являются гипергеометрическое и распределение Пуассона, описывающее
вероятность редких событий.
С нормальным распределением связан еще ряд специальных распределений,
описывающих поведение случайных величин различных типов. На практике часто
встречаются комбинации различных
законов, а так же различные усечения их,
обусловленные физической природой явлений. Однако, хотя в чистом виде эти законы
практически никогда не проявляются из-за неизбежных отклонений, называемых действием
случайных факторов, их использование чрезвычайно полезно, так как позволяет
прогнозировать возможные значения случайной величины, что необходимо при принятии
управленческих решений.
На практике
даже если закон распределения точно известен, бывают неизвестны его
параметры. Поэтому для определения закона и его параметров проводятся статистические
наблюдения, по результатам которых строят эмпирические распределения. По их виду судят
о характере закона распределения и при необходимости подбирают параметры
теоретического закона, соответствующие полученным экспериментальным результатам.
Распределение случайной величины может быть
представлено не только в виде
графика функции или плотности распределения, но и в виде чисел, отражающих наиболее
существенные особенности случайной величины. Оценки случайной величины с помощью
чисел называются точечными оценками.
Наиболее употребительными точечными оценками являются: среднее
арифметическое, мода, медиана, размах, среднее квадратичное отклонение. Они показаны на
рис. 19.