Ответ: 1)
; 2) )40(mod33≡х )120(mod107
х ;
3)
; 4) )70(mod36≡х )56(mod19
х ;
5)
; 6) )42(mod11≡х )55(mod2
х .
3.17.* Дано натуральное число n. Докажите, что найдется число, запи-
сываемое только единицами и нулями, которое делится на
n.
3.18.* Докажите, что число
100…001, в котором число нулей четное,
делится на
11.
3.19.* Существует ли такое натуральное
п, что число делится
на 217?
цифрп
11...111
3.20.* Докажите, что при любых целых
а и b число
делится на 15. )4()(
2222
babaab −⋅−⋅
3.21 (1-я Мексиканская математическая олимпиада).* Докажите, что
числа вида
24483
35
++
+⋅−
аа
аа делятся на 3804 при любом це-
лом
. 0≥а
3.22 (Московская олимпиада).* Докажите, что числа вида
не могут делиться на числа вида
.
2
2
++ kk
36 +n
3.23.* Докажите, что числа вида
не могут делиться: 1
2
++ kk
1) на
5, на 11 и на 17; 2) на числа вида 16
т .
3.24.* Докажите, что ни при каком натуральном
п число п
…21
не может заканчиваться ни одной из цифр
2, 4, 7, 9.
3.25.* Докажите признак делимости на
9:
«Для того чтобы число делилось на
9, необходимо и достаточно,
чтобы сумма его цифр делилась на
9».
3.26.* Докажите признак делимости на
11:
«Для того чтобы число делилось на
11, необходимо и достаточно,
чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных мес-
тах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на
11».
35