Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Для задачи в плоскопараллельном приближении при отсутствии в

проводящей среде свободных электрических зарядов grad(p = Q.

Учитывая, что плотность тока и векторный потенциал имеют по од-

ной аксиальной составляющей J

и A

, а магнитная индукция - две

составляющие в

и 5, , плотность тока ротора с учётом принятых

допущений может быть записана в виде

, \

(8.11)

дА_ дА

dt Эф

где о - частота вращения ротора.

Подставляя это выражение в (8.9) и выполняя промежуточные

преобразования, в окончательном виде будем иметь

1 Д

Д дА д А

= (8.12)

Ro Эф Эф dt

Таким образом, получено простейшее уравнение для векторного

потенциала, учитывающее влияние магнитных сопротивлений ярма ста-

тора и ротора, а также рассеяния ротора. Решение этого уравнения со-

вместно с краевыми условиями периодического типа позволяет опреде-

лить значения векторного потенциала в зазоре асинхронной машины,

радиальной и тангенциальной компонент магнитной индукции.

Покажем, что представленная одномерная модель с учётом вы-

шеуказанных допущений полностью соответствует процессам асин-

хронной машины.

Для стационарного режима будем считать, что при гармониче-

ском изменении величин во времени ток статорной обмотки создаёт

бегущую волну:

см

ехр[;(ю

?-рф)]. (8.13)

Тогда и векторный потенциал также представляет бегущее магнит-

ное поле

А = А

ехр[у(оу - /*р)]. (8.14)

Подставляя эти выражения в уравнение (8.12) и выполняя промежу-

точные преобразования, получим

До

№оУ

{

+ К

С2Ж - Р») +

/"1м с.м

Частота вращения ротора в функции скольжения s

«0 =

^(1 -s),

ffl

ро)

В этом случае выражение векторного потенциала из (8.15)

JW с.м

Ам

(1 +K

)(O

s q

J .

а а

(8.15)

(8.16)

(8.17)

(8.18)

Как было показано выше (7.40), выражение

—-

представляет

коэффициент насыщения магнитной цепи машины К^. Следователь-

но, векторный потенциал может быть представлен в виде

К»

1+J

Размерность выражения

(о

^ Ом-с

К« м с

1К»

= Ом

•

(8.19)

совпадает с размерностью удельного сопротивления. Обозначим это

отношение как

_ Ц

О>

а Ка

(8.20)

Рассмотрим физический смысл этой величины. Индуктивное

сопротивление намагничивающего контура, отнесённое к обмотке

ротора, определяется как отношение ЭДС обмотки ротора е

к на-

магничивающему току /

. ц2

/о

(8.21)

Выражая ЭДС через напряжённость электрического поля, намаг-

ничивающий ток через его плотность, будем иметь

Е 21

WIKO62 Е l

WгКоы' mi ,

Хц2 = ТТГ-Г— Z} •

•

2рт/тг Jo рт-5

Отсюда

= Z(l2

P^L . (8.23)

Jo hW гКлг' тг

С другой стороны, индуктивное сопротивление намагничиваю-

щего контура, приведённое к обмотке ротора, выраженное через па-

раметры машины, записывается в виде [4]

_ 4rmf РоЧ WiKl&i апл\

. (8.24)

л 5 Р

Подставляя это выражение в (8.23) и выполняя преобразования,

в окончательном виде получим

Е _ 4/ Р

Т%2*ов2

Jo л Кц

(8.25)

Для короткозамкнутой обмотки ротора W

= 1/2, К

о62

= 1 и от-

ношение

Е _ 2я/р

_ (о

—2

го •

(о.го;

Jo it К

а К»

!iiiliilliii»iiiii>

РВЯТЯИТШР

Таким образом,

X 20

можно рассматривать как удельное индуктив-

ное сопротивление намагничивающего контура, приведённое к обмотке

ротора. В этом случае приведённое ниже произведение представляет

собой сумму индуктивных сопротивлений

Х*>{1

+ К

а2

) =

Х2о

+ Х

а2

, (8.27)

и векторный потенциал записывается как

; Ич)-/с.м /о 2«\

Ам

Kll

jyAX2o

)]'

С учетом допущений напряжённость электрического поля опре-

деляется выражением

(8-29)

Умножая левую и правую части уравнения (8.28) tia-j(0o-y

-s, полу-

чим плотность тока ротора

j,и

= УЁ,„ = ч- •

(8-30)

Разделив правую часть этого выражения на y

s и приведя его к обще-

му знаменателю, получим

—+jX2oj

.»

-jX*>j

.u (8-31)

Уз

или

j р.м + jX

jp.

- ~iX2o/c.M JX20J ом~ Ёи- (8.32)

у ,

Отсюда плотность тока ротора

• Ей

рм J

— + Дс2

Полученное выражение аналогично выражению тока ротора асин-

хронной машины

Eis

R' 2

(8.34)

+ jx

Разница заключается в том, что в выражении (8.33) использованы рас-

пределённые (дифференциальные) параметры вместо интегральных

величин выражения (8.34).

Полученному уравнению маг-

нитного поля (8.12) соответствует

роторная цепь Т-образной схемы

замещения асинхронной машины

(рис. 8.1).

Таким образом, решая краевую

задачу с принятыми допущениями,

получают решение, соответствующее

реальным условиям асинхронной

короткозамкнутой машины с на-

сыщением магнитопровода и рас-

сеянием ротора.

Электромагнитные процессы асинхронной машины могут быть

описаны с использованием схемы замещения машины с полым не-

магнитным ротором [37].

Для осуществления перехода к схеме замещения машины с по-

лым немагнитным роторам запишем выражение напряжённости элек-

трического поля, используя (8.29)

Рис. 8.1. Схема замещения

роторной цепи асинхронной

машины

Ег

= -J®o

A»

JXiqSJcm

l+jX

oSya

(8.35)

Плотность тока ротора

i _

», А — ~JX20Y

Jc.M

(о о

J2M-YE2M-- : • (8.36)

1+JX20JSO

Полученное выражение может быть преобразовано к виду

2м

'1 • )

— +УХ20О

У*

JX 20 J

с.м *

(8.37)

Умножив и разделив левую часть уравнения на о, получим

°/2м

' 1 . }

+ JX

= - JX 20/с.

•

(8.38)

ycrs j

Если обозначить а/

2м

= /*„, то полученное уравнение может

быть представлено в виде

Л'„ —=-jX

o(K, +Лм)- (8.39)

yoj

Этому уравнению соответствует схема замещения вторичной це-

пи асинхронной машины с полым немагнитным ротором, индуктивное

сопротивление ротора которой равно нулю.

Преобразуем уравнение Кирхгофа статорной обмотки асинхрон-

ной машины. ЭДС намагничивающего контура Т-образной схемы за-

мещения

ЁЫ = - Д20 (К, + Ки ) = " — «и + <м

)

° (8.40)

Подставляя в уравнение о =

+ К

а2

= —, будем иметь

•^20

_ х^

X „

Elm - -;—[(! + ^а2>Л.м + Л'м ] =

L л

о о

(8.41)

Но выражение Х

а2

= Х

2а

представляет удельное индуктивное

сопротивление рассеяния вторичной среды асинхронной машины.

В этом случае напряжённость электрического поля статора за-

писывается в виде

1т '

,• 2q / _ •

20 / г , г' \

•'см J V

O.M

2M/'

ст -

(8.42)

./см

J 2м

уда

и схема замещения роторной цепи

асинхронной машины сведена

к схеме замещения роторной цепи

асинхронной машины с полым не-

магнитным ротором [37]. Фраг-

мент этой схемы представлен на

рис. 8.2.

Этой схеме замещения вполне

соответствуют реальные процессы

асинхронной машины, в которой

магнитное поле представляет еди-

ное целое, а не разделено на от-

дельные составляющие для цепей

статора и ротора.

Если уравнение (8.39) привести в соответствие с рассматривае-

мой схемой замещения, то оно должно быть записано в виде

Рис. 8.2. Фрагмент схемы

замещения асинхронной машины

с полым немагнитным ротором

2м 2 '

JSCS

-(Л.

(8.43)

Активное сопротивление ротора, как следует из этого выражения,

уменьшается в а

раз, а плотность тока ротора увеличивается в ст раз

по сравнению с Т-образной схемой замещения. Механическая мощность

машины, а следовательно, и электромагнитный момент остаются при

этом без изменения:

= m(o/0

~ = /n(/;)

—• (8.44)

Замена Т-образной схемы замещения асинхронной машины схе-

мой замещения машины с полым немагнитным ротором позволяет в

ряде случаев намного упростить анализ её электромагнитных про-

цессов. Особенно рационально использовать эту схему при анализе

электромагнитных нестационарных процессов, что будет рассмотре-

но в последующих разделах.

8.2.

ПЛОТНОСТЬ СТОРОННЕГО ТОКА ПРИ

ПИТАНИИ ОБМОТКИ

СТАТОРА ОТ

ИСТОЧНИКА

СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Для решения уравнения электромагнитного поля необходимо

задать его источники, в качестве которых выступают плотности то-

ков статора. При принятых допущениях считается, что токи провод-

ников статорной обмотки вынесены в зазор машины и сосредоточе-

ны в точках, соответствующих координатам этих проводников.

Плотность сосредоточенного в точке тока записывается как

где

фо

- координата проводника; /(ф

) - ток проводника; 8(ф) - дель-

та-функция Дирака; 8' - приведённый зазор.

Поскольку значение дельта-функции не определено, то при ре-

шении задачи конечно-разностными методами токовую нагрузку

распределяют на величину интервала разбиения пространственной

координаты:

ст

(Фо) = ^^5(ф-ф

), (8.45)

(8.46)

Следовательно, зная схему обмотки, определяющую простран-

ственное положение её проводников, число проводников обмотки

и мгновенное значение фазных токов, можно определить правую

часть дифференциального уравнения (8.12).

Однако величины фазных токов асинхронной машины заранее

неизвестны, так как они являются функцией питающего напряжения

и параметров машины. Поэтому для определения фазных токов ис-

пользуется система уравнений Кирхгофа, записываемая для обмоток

статора в установившемся режиме:

=j^

Z,-, (8.47)

=j^

+ i

\ (8.48)

= j<a

Zc- (8.49)

В этих уравнениях Ч'д.Ч'д.Ч'с - комплексы потокосцеплений фаз;

~ комплексы полных сопротивлений фаз; /

, ком-

плексы фазных токов двигателя.

При известной системе фазных напряжений величины фазных

токов находятся из этих уравнений, если найдены потокосцепления

фаз, которые определяются суммированием потокосцеплений кату-

шечных групп, входящих в рассматриваемую фазу:

= (8-50)

где р - число пар полюсов машины.

В свою очередь потокосцепление катушечной группы записыва-

ется в виде

= (8-51)

где q - число катушек, входящих в катушечную группу.

«окмИЙЙМММИ!

Поскольку катушки, входящие в катушечную группу, распреде-

лены в пространстве, при суммировании потокосцеплений катушек

учитывается их распределение.

Потокосцепление катушки определяется суммой потоков от-

дельных катушек. Однако, если считать, что все витки, образующие

катушку, занимают одинаковое пространственное положение и, сле-

довательно, пронизываются одним и тем же потоком, потокосцепле-

ние катушек можно записать как

= ^кФ

, (8.52)

где

- число витков в катушке; Ф

- поток витка.

В свою очередь поток витка

= J BdS = |rot A dS• (8-53)

s s

Используя теорему Стокса, последнему выражению можно при-

дать следующий вид:

= jAdL, (8.54)

где L - контур, охватывающий площадь S .

Если пренебречь значениями векторного потенциала лобовых

частей, что соответствует условиям одномерной задачи, циркуляция

векторного потенциала может быть записана в виде

jArfL =(/*,,-Д, )/

, (8.55)

где Д, и А

- значения векторного потенциала в точках, координаты

которых соответствуют координатам сторон витка; 4 - длина актив-

ной части проводника, лежащего в пазу магнитопровода.

Таким образом, при известной величине фазных напряжений

и потокосцеплений фаз из уравнений Кирхгофа могут быть найдены

значения фазных токов, которые, в свою очередь, дают возможность

определения величины потокосцеплений фаз при решении уравнения

электромагнитного поля по известным значениям фазных токов. Сис-