Боголюбов Н.В. Лекции по метрологии
Подождите немного. Документ загружается.
Влияющие величины
СИТ
Метод
измерен
Погрешности измерений, классификация,
характеристики и оценивание
Х=Х*+
ФВ
Х
*
Х=
Δ
+Х
*
*X X
;
100%
X
;
100%
N
X
Δ
Поправка С= -
c
Δ
с
Δ
0
Х
ис пр
=Х+С
Классификация погрешностей
Критерии
деления
Наименование погрешностей Примечание
измерений СИТ
По источникам
возникновения
Методическая Δ
м
Инструмент Δ
и
Субьективная Δ
с
Инструмент Δ
и
Δ= Δ
м *
Δ
и*
Δ
с
*-символ
объединения
В зависимости от Основная См. РД50-453
Погрешности
измерений
Систематические
Случайные
условий
измерений
------------ Дополнительные
Функции влияния
По характеру
проявления
Системат. Δ
с
,
с
Случайн. Δ
0
,
0
Системат Δ
с
,
с
, γ
с
Случайная Δ
0
,
0
,
0
Грубые промахи
исключают
-
точность, 1.
Мат. ожидание:
М[Δ] =
c
-достоверность
2. Дисперсия:
D[Δ] = M[(Δ)- M(Δ))
2
]
-правильность 3.
СКО:
σ[Δ]=
+
( )D
-сходимость 4.
Размах:
-воспроизводимость
R =
max min
;
4
2 3
R R
5. Границы доверительного интервала:
н
М[Δ]
в
-
0 +
Х; Δ от Δ
н
до Δ
в
; Р Х
Δ; Р
Выражение характеристик погрешностей (МИ 1317-86)
Классификация Наименование Обозначен Примечание
Номенклатура
характеристик
СКО
σ[Δ]
(см.
ссылку)
Нормы
погрешностей
Предел доп. знач.
СКО
σ
р
[Δ]
В ТЗ на МВИ
Приписанные
Наибольшее возм.
σ
м
[Δ]
В МВИ
Характеристики
погрешности измерений
Качественные Количественные
характеристики
значение СКО
Статистические
оценки
Оценка СКО
Границы дов.интерв
[Δ]
Δ
Н
, Δ
В;
Р
В протоколе
измерений
Способы представления результатов измерений
Вид формы Форма представления
РИ
Примечание
Статистическая
Х;
M
;
[Δ]
закон распределения
При использовании совместно с
другими результатами
Интервальная
Х
Δ; Р
Х; Δ от Δ
н
до Δ
в
;Р
Окончательный результат
Погрешность РИ выражают, как правило, одной значащей цифрой. Две
значащие цифры сохраняют: при точных измерениях; если первая цифра не
более трех; если предел допускаемой погрешности задан двумя цифрами.
Пример записи: (15,75
0,34) В; или
15,75
В
0,34 В;
(необходим пробел); 110; 220 В (для группы результатов ед. измер.
- в конце);
97 мм;
Δ
от -1 до +2 мм; Р=0,95 ( ед. измер. - в конце).
Пример. Прибор кл.т. 0,5; γ=
0,5%;
Х
N
=100 дел. Насколько δ в
отметке 30 больше, чем в конце шкалы?
Решение. δ
30
= γ Х
N
/ Х =
0,5·100 / 30 =
1,6%; δ
10 0
=
0,5%.
Пример. Погрешности приборов Δ
1
= Δ
2
=
0,1 В; Х
N1
=100 дел.
Х
N2
= 50 дел. Показания какого из приборов более точные?
Решение. γ
1
=
0,1·100/100 =
0,1%; γ
2
=
0,1· 100/50 =
0,2%.
Пример. Напряжение измерили двумя приборами:
1)
кл.т. 1,0; γ=
1,0%;
Х
к
= 300 В; Х=150 В.
2)
кл.т. 1,5; γ=
1,5%;
Х
к
= 200 В; Х=150 В.
Относительная погрешность какого из показаний меньше?
Решение. Δ
1
= γ
1
Х
к
/100=
1,0 300/100=
3 В;
Δ
2
= γ
2
Х
к
/100 =
1,5 200/100=
3 В;
δ
1
= δ
2
=
2%.
Пример. При поверке прибора кл.т. 2,5 с пределом измерений
Х
N
=100 В в точке шкалы 80 В получены показания РЭ: Х
Б
=77 В;
Х
М
= 78 В. Оценить годность прибора.
Решение. Δ = γ Х
N
/100 =
2,5 В. Δ
Б
= 80-77=+3 В. Не годен.
Пример. Поверяется прибор кл.т. 2,5;( γ=
2,5%);
Х
к
= 30 В.
РЭ кл.т. 0,5; ;( γ=
0,5%);
Х
к
= 30 В. Как учесть погрешность
РЭ, чтобы не забраковать годный прибор?
Решение. Δ
си
= γ Х
к
/100 =
0,75 В; Δ
о
= γ
о
Х
к
/100=
0,15 В;
Новый допуск: Δ
си
*
=
(Δ
си
- Δ
о
) =
(0,75-0,15) =
0,6 В.
Виды законов распределения погрешностей
Нормальный закон распределения
Плотность вероятности:
2
1
( ) exp
2
2
t
f
,
M
t
Вероятность попадания погрешности на интервал
н в
:
2
1
exp
2
2
в
t
P н в dt
н
,
Границы интервала абсолютной погрешности измерений:
нв
=
М[Δ]
t
σ[Δ]; Р
н
М[Δ]
в
Δ
н
М[Δ] Δ
в
Δ
f(Δ)
=
t
σ[Δ]; Р
-
0 +
Границы интервала относительной погрешности:
нв
=
М[
]
t
σ[
]; Р
=
t
σ[
]; Р
( t=2 при
Р=0,95;
t=3 при
Р=0,997)
Пример. 1)
=
1,2 А; 2)
=
1,4%. Определить СКО
(
Р=0,95)
Решение. σ[Δ]=
| |
t
= 1,2 / 2 = 0,6 А;
σ[
]=
| |
t
= 1,4 / 2 = 0,7 %
Равномерный закон распределения
Этому закону подчиняются: основная погрешность серийно
выпускаемых СИТ; погрешности отсчета показаний СИТ;
погрешности округления; неисключенный остаток
систематической погрешности.
М[Δ] =
1
2
(
в н
);
σ[Δ]=
2
в н
k
Границы интервала абсолютной погрешности:
нв
= М[Δ]
k·
σ[Δ];
Р
=
k ·
σ[Δ]; Р
Границы интервала относительной погрешности:
нв
= М[
]
k·
σ[
];
Р
Δ
н
М[Δ] Δ
в
Δ
f(Δ)
=
k·
σ[
]; Р
( k=
3
при Р = 1;
k=1,7
при Р =0,997;
k=1,6
при Р =0,95)
Пример. Напряжение измеряют вольтметром кл.т. 1,0;
γ=
1,0%;
Х
к
=300 В; L=100 дел; Х=220 В. Определить
погрешности: основную
о
; относительную
; считывания
сч
;
СКО:
σ[Δ
о
]; σ[Δ
сч
] при Р=0,95.
Решение.
о
=
100
к
X
=
1,0 300/100 =
3 В;
100
о
Х
=
3A100/220 =
1,4%; е = 300/100 =
3 В;
сч
=
е/2 =
1,5 В;
СКО:
σ[Δ
о
]=
| |
о
k
= 3/1,6 = 1,9 В
; σ[Δ
сч
]=
| |
сч
k
= 1,5/1,6 = 0,9 В.
Построение функции распределения по опытным данным
По результатам Х
1
; Х
2
··· Хn определяют погрешности
1
;
2
···
n
и
их границы:
н =
min;
в =
max.
Интервал
max -
min
делят на k частей (разрядов) и
подсчитывают число погрешностей в каждом разряде:
m
1
; m
2
··· m
k
;
1
k
m
= n.
Вычисляют частоту Р
i
=
i
m
n
;
1
k
i
p
= 1 и
строят статистический
ряд распределения:
Р
i
Δ
н
Δ
в
По виду гистограммы подбирают закон распределения.
Разряд
н
i
···
в
Р
i
Р
н
Pi ··· P
в
Оценивание характеристик погрешностей
Оценка МО]:
1
1
n
M i
n
i
,
n – число наблюдений.
Оценка СКО:
=
1
2
( )
1
1
n
S Xi X
n
i
Оценка СКО среднего арифметического:
( )
S
n
Истинное значение
M
находится в границах интервала:
( )
M M M
P
= Р
дов
c
t
;
c
t
- коэф. Стьюдента для числа степеней свободы
ν = n-1 и уровня значимости α = 1-Р.
Р
M
+
Границы доверительного интервала для среднего значения
X
:
c
X t
S
n
; Р
Для определении доверительных границ СКО используют χ
2
-
распределение Пирсона (ν = n -1 α=1-Р):
Р
σ
н
σ
в
Если распределение наблюдений нормально, то χ
2
=
2
( 1)
2
n S
.
2
К S
в в
;
2
2
1
1
К
n
в
;
2
н н
К S
;
2
2
2
1
К
н
n
;
2
1
находят для уровня значимости 1-α/2,
2
2
- для α/2, где α=1-Р.
Приближенная оценка:
2
K
в
=
5
1,1
1n
; (
1
0,95
1
n
P
n
при
n=40
).
Пример. Для числа измерений n=10 получена оценка СКО:S=0,2.
Определить границы интервала
с вероятностью Р =0,9.
Решение. n-1= 9; α=1- Р= 0,1; К
χ
2
н
=
92,16
9
= 0,73; К
χ
2
в
=
325,3
9
= 1,65.
Границы СКО:
σ
н
= К
χ
2
н
·S = 0,73· 0,2 = 0,15;
σ
в
= К
χ
2
в
·S = 1,65· 0,2 = 0,33.
Определение границ доверительного интервала
погрешности измерений
Составляющие погрешности:
м
;
и (
О
;
ДОП
);
суб.
Систематические погрешности суммируют арифметически:
в абсолютной форме:
1 2
с
с с сk
Влияющие величины
СИТ
ФВ
Метод
измерен
ий
Оператор
в относительной форме:
1 2
C
C C C
k
Для случайных погрешностей находят суммарное СКО:
в абсолютной форме:
2
1
m
j
в относительной форме:
2
1
m
j
Границы доверительного интервала:
в абсолютной форме:
k
нв с
в относительной форме:
k
нв с
При числе составляющих более трех и равномерно
распределенных используют формулы:
в абсолютной форме:
2
1,1
1
m
j
; Р=0,95,
в относительной форме:
2
1,1
1
m
j
;
Р=0,95.
(Р=0,95)
Вероят-
ность
Значение k для разных законов распределения
Норм. Треуг. Трапец. Равном. А.М. - 1 А.М.-2 Релея
2
Р=0,95
2 1,9 1,8 1,6 1,4 1,2 2,2
Р=0,997
3
3 2,4 2,3 1,7 1,4
1,2
3,3
Пример. СК
О основной погрешности СИТ σ[Δ] = 0,15 В; СКО
неисключенной систематической погрешности σ[Δ]
с
=0,09 В.
Считая закон распределения нормальным, найти границы
погрешности при Р=0,95.
Решение. Вычисляем суммарное СКО:
2
1
m
j
=
2
2
0,09 0,15 0,18
В.
Находим границы погрешности, приняв k =2 для Р=0,95:
k
=
2· 0,18 =
0,36 В; Р=0,95.
Пример. СК
О основной погрешности СИТ σ[Δ] = 0,15 В;
СКО дополнительной температурной погрешности σ[Δ]
t
=0,20 В;
СКО дополнительной погрешности из-за влияния
электромагнитных полей σ[Δ]
м
= 0,03 В; М[Δ]= 0. Считая закон
распределения нормальным, найти границы суммарной
погрешности.
Решение. Вычисляем суммарное СКО:
2
1
m
j
=
2
2 2
0,15 0,20 0,03
=0,25 В;
Находим границы погрешности, приняв k =2 для Р=0,95:
k
=
2· 0,25 =
0,5 В; Р=0,95.
Пример.
Класс точности
вольтметра 1,0;
1,0%
, верхний
предел измерения
Х
к
=100 В.
Температура воздуха от 15
о
С до
38
о
С. Цена деления 0,5 В. Результат измерения:
Х=84,0 В.
Дополнительная температурная погрешность не
превышает основной на каждые 10
о
С отклонения
температуры от нормального значения. Дополнительная
погрешность из-за влияния электромагнитных полей
Δ
м
=
0,4 В. Определить границы погрешности и
представить результат измерения с вероятностью Р=0,95.
Решение:
Основная погрешность:
100
1,0 1,0
100 100
Xк
В.
Температурная погрешность:
1,0(38 20)/10 1,8В
t
.
Погрешность считывания показаний:
0,5/2 0,25В
сч
.
Границы погрешности: