Богословский С.В. Дорофеев А.Д. Динамика полета летательных аппаратов

Подождите немного. Документ загружается.

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

О ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

4.1. Летательный аппарат – объект линейной системы управления

Управление по летом ЛА заключается в выдерживании и изменении за-

данной траектории движения центра масс, ориентации и стабилизации

положения ЛА относительно центра масс, что обеспечивается системой

управления, в кот орой ЛА яв ляется объект о м или звеном управления.

При исследовании динамических свойств ЛА как звена системы уп-

равления в качестве входных воздействий служат приращения отклоне-

ний органов управления, а выходными – приращения параметров дви-

жения ЛА (∆ψ, ∆β, ∆γ, ∆ω

, ∆ω

, ∆V, ∆α, ∆ω

, ∆θ и др.).

Если считать, что динамические свойства ЛА приближенно описы-

ваются линейными дифференциальными уравнениями, то введение ти-

повых (стандартных) возмущений (ступенчатые отклонения рулей, от-

клонения по гармоническому закону) оправдываются принципом су-

перпозиции, справедливым для линейных систем.

Чтобы исследовать динамические свойства ЛА методами, разрабо-

танными в теории автоматического регулирования для линейных сис-

тем с постоянными коэффициентами, обычно используют прием “замо-

раживания” ко эффициентов: на заданной невозмущенной траектории

выбирают несколько точек и вместо соответствующей системы с пере-

менными динамическими ко эффициентами a

(t) рассматривают систе-

му с постоянными коэффициентами a

При этом считают, что за время переходного процесса, начиная с

момента t

, динамические коэффициенты не успевают заметно изме-

ниться и этими изменениями можно пренебречь, если их относитель-

ная величина

() ( )

()

ij ij k

ij k

at at

−

не превосходит точности определения динамиче ских коэффициен-

тов (10–20)%.

Частным случаем управляемого движения является переходное дви-

жение или переходный процесс. Это – возмущенное движение, обу с -

ловленное, в частно сти, ступенчатым воздействием регулирующего

фактора. В процессе переходного движения достигают ся новые требуе -

мые значения параметров движения ЛА.

4.2. Понятие о передаточных коэффициентах

при продольном движении

Под передаточными коэффициентами понимают отношение устано-

вившего ся приращения выходной величины (∆ψ, ∆β, ∆γ, ∆ω

, ∆ω

, ∆V,

∆α, ∆ω

, ∆θ и др.) к приращению входной величины (∆δ

в,

∆δ

н,

∆δ

др.). Чтобы управлять полетом, надо управлять нормальными силами,

что достигается изменением α, β и γ. Так как эти параметры практичес-

ки изменяются только на короткопериодическом этапе возмущенного

движения, то наибольший интерес представляет реакция ЛА на дей-

ствие рулей именно на этом этапе.

В соответствии с этим при составлении приближенных уравнений

короткопериодического этапа продольного возмущенного движения от-

брасывают первое уравнение, описывающее изменение ∆V, а в осталь-

ных уравнениях полагают ∆V = 0. Кроме того, для упрощения пренебре-

гают влиянием на возмущенное движение силы тяжести, т. е. полагают,

что

sin 0

=θ=

. В этом случае уравнениям короткопериодического

этапа можно придать вид

12 13 11 в

22 23 21 в

31 32 31 в

42 42 32 42 33

'''

44 42 41 42 31 в 41

;

()

;

()

;

()

()( ) .

aab

aa b

aVa b

aaa aa

aa bab b





∆α+ ∆θ = ∆δ



∆α



+ ∆α+ ∆θ−∆ω = ∆δ



∆θ 

−∆−∆α=∆δ





∆ω



+− ∆α− ∆θ+



∆δ



+ + ∆ω = − ∆δ +





(20)

Рассмотрим установившееся криволинейное движение после откло-

нения рулей высоты, в котором

const;∆θ= ∆θ =

вв

const;

∆δ = ∆δ =

const;

∆α = ∆α =

const.

∆ω = ∆ω =

Тогда, опуская знак приращения, уравнениям (20) можно придать вид

12 13 11

вв

22 23 21

ввв

000

32 31

вв

'' '

42 42 32 42 33 44 42

вв в

00 0

41 42 31

;

()

aab

aa b

aaa aa aa

bab

 

αθ

 

δδ

 

 

αθ

+−=

 

δδδ

 

 

θα

−=

 

δδ

 

  

αθ

−−++=

  

δδ δ

  

=−

В этом случае передаточные ко эффициенты будут

вв

32 31

вв в

00 0

;

;; ,

KaKb

KKK

θα

δδ

αθ

δδ





==+











∆

  

∆∆

αθ



== == ==

  



δ∆ δ∆ δ ∆

  



где определители имеют значения

12 13

22 23

'' '

42 42 32 42 33 44 42

aaa aaaa





∆= −



−− +



11 13

21 23

'' '

41 42 31 42 33 44 42

12 11

22 21

'''

42 42 32 41 42 31 44 42

12 13 11

22 23 21

'' '

42 42 32 42 33 41 42 31

bab aaa a

aaababaa

aab

aaa aabab





∆= −



−− +







∆= −



−−+







∆=



−− −



Передаточные коэффициенты характеризуют важные динамические

характеристики управляемости ЛА. Так, например, коэффициент

устанавливает связь между отклонением рулей высоты и угловой ско-

ростью изменения направления полета. Чем больше

, тем выше свой-

ства управляемости ЛА. Передаточный ко эффициент

характеризу-

ет эффективность руля высоты – его способность изменять угол атаки.

Приближенный анализ выражения для

показывает, что с возраста-

нием степени ст атической устойчивости

эффективно сть руля вы-

соты уменьшается, что соответствует известному противоречию между

повышением устойчивости движения и маневренностью.

4.3. Понятие о передаточных функциях по тангажу

Передаточной функцией линейного звена системы управления на-

зывается отношение изображения Лапласа (операторного изображения)

текущего значения выходной величины к такому же изображению вход-

ной при нулевых начальных условиях

00 0

() () () 0

tt t

∆α = ∆θ = ∆ω =

Переходя к операторному изображению, формально достаточно за-

менить в уравнениях короткопериодического движения оператор диф-

ференцирования новым обозначением, имеющим вид парамет ра р

;

=α

;

=θ

=ω

В соответствии с этим можно написать

22 23 21 в

32 33 31 в

'' '

42 42 32 42 33 44 42

41 42 31 41 в

() ();

() ( )

()(),

pa a b p

apabp

aaa aa paa

babbp p

+ ∆α+ ∆θ−∆ω = ∆δ





−∆α+− ∆θ=∆δ





−∆α−∆θ+++∆ω=



=− + ∆δ



или

вв

22 23 21

32 33 31

'' '

42 42 32 42 33 44 42

41 42 31 41

( ) () () () ;

() ( ) () ;

( ) () () ( ) ()

(),

pa W p aW p W p b

aW p p a W p b

aaaWpaaWppaaWp

babbp

αθ

δδ

αθ

δδ

αθ

δδ



++−=



−+− =





−−+++=



=− − +



где

()

() ;

() ()

∆

δ∆

()

() ;

() ()

∆

δ∆

()

() ()

∆

δ∆

– передаточные функции. При этом

22 23

32 33

'' '

42 42 32 42 33 44 42

() 0 ;

pa a

papa

aaa aapaa

+−

∆= − +

−− ++

21 23

31 33

''' '

41 42 31 41 42 33 44 42

() 0 ;

pb pa

babbpaa pa a

−

∆= +

−+− ++

22 21

32 31

''' '

42 42 32 41 42 31 41 44 42

() 0 ;

pa b

aaababbppaa

+−

∆=−

−⋅ − + ++

22 23 21

32 33 31

'' ''

42 42 32 42 33 41 42 31 41

() .

pa a b

papa b

aaa aababbp

∆=− +

−− −+

Если нормальная сила органов управления пренебрежимо мала по

сравнению с нормальной силой крыла в ЛА, то положив

23 33

sin

== =

cQb

mQb

передаточ-

ные функции будут

41 44 42

00 1

() 0 0 ;

pp bp

bpaa

−

∆= =

32 32 41

42 42 32 41 44 42

() 0 0 ;

pa ab

aaabpaa

+−

∆=− =

−++

()

42 42 32 44 42

22 44 42 42 42 32

() 0

pap

aaa paa

ppa pa a a aa

+−

∆= − =

−++



= + ++ +−



Таким образом, по отношению к углу атаки ЛА является звеном вто-

рого порядка, передаточную функцию которого можно записать

()

22 44 42 42 42 32

()

() ()

;

pa pa a a aa

∆

== =

δ∆

++++−

() ,

Tp Tp

+ξ +

(21)

где

()

22 44 42 42 42 32

;

aa a a aa

++−

()

22 44 42 42 42 32

aa a a aa

++−

()

22 44 42

22 44 42 42 42 32

aaa

aa a a aa

ξ=

++−

Величина Т называет ся постоянной времени и характеризует период

затухающих колебаний, а ξ называется коэффициентом демпфирования

и характеризует скорость затухания колебаний.

4.4. Переходные процессы

при ступенчатом отклонении органов управления

Пусть переход ЛА от одного режима полета к другому происходит в

результате ступенчатого отклонения органов управления. Если бы ЛА

не обладал инерцией, то этот переход происходил бы мгновенно. В дей-

ствительности же, благодаря инерционности ЛА, параметры

αθω

из-

меняются в течение некоторого промежутка времени. Этот процесс на-

зывается переходным. По его окончании устанавливаются новые значе-

ния парамет ров полета, соответствующие новому положению органов

управления. Дифференциа льное уравнение, соответствующее переда-

точной функции (21), будет

()

21 ,Tp Tp K

+ξ + α= δ

где

Так как управляющее воздействие принимается постоянным (δ

=δ

= const), частное решение уравнения для угла атаки будет

α= δ

Общее решение однородного уравнения определяет ся корнями ха-

рактеристического уравнения

210Tp Tp+ξ +=

, равными

1,2

−ξ± ξ −

λ=

Если корни различны (ξ≠1), общее решение будет

12 0

Ce Ce K

λλ

α= + + δ

или

12 1 2

12 1122

и .

tt t t

Ce Ce K C e C e

λλ λ λ

αα

=++ =λ+λ

δδ

(22)

Отсюда, учитывая, что при t = 0 α = 0 и

= 0, для определения С

можно составить систему уравнений

11 2 2

СС K

СС

++ =

λ+ λ=

отку да

12 12

;С K С K

αα

δδ

λλ

==−

λ−λ λ−λ

Обычным для ЛА является колебательный переходный процесс, ко-

торый имеет место при ξ <1. В этом случае

()

1,2

1,i

λ= −ξ± −ξ=−±ω

где

−ξ

ω=

Используя эти значения корней, можно получить

CK C K

αα

δδ

ξξ

−−ω −ω

ωω

Подста вляя эти результаты в (22) для переходного процесса, можно

получить

()

1cossin.

eTt t

−ξ

=− ω ω+ξ ω

−ξ

Полагая

1cos,sinTω= −ξ= ϕξ= ϕ

, можно получить

1cos .

−ξ



−ξ



=− −ϕ



−ξ



Вещественная часть пары сопряженных корней характеристического

уравнения при ξ<1 оказывается отрицательной, так как обычно

22 44 42

()

zzA

PcQ

aaa m mQb

TmVJ



++ +

−=− =− − <





Поэтому рассматриваемый колебательный переходный процесс ЛА

оказывается всегда затухающим.

Чем больше коэффициент демпфирования ξ, тем быст рее затухают

свободные колебания (рис. 10).

1,0

t / T

= 0

0,1

0,4

0,8

Рис. 10. Переходные процессы по углу атаки

при ступенчатом отклонении руля высоты

Угловая частота свободных колебаний (при наличии демпфирова-

ния) определяется выражением

() ()

'' '

22 44 42 42 42 32 22 44 42 32

a a a a aa a a aa

−ξ

ω= = + + − − + −

На величину ω влияет, главным образом, коэффициент статической

устойчивости

mQb

=− >

– с его увеличением частота колеба-

ний возрастает.

При отсутствии демпфирования (ξ = 0) угловая частота к о лебаний в

перех одном процессе называется собственной угловой частот ой колебаний.

Соответственно, период собственных колебаний определяется

==π

Собственная частота является важной динамической характеристи-

кой ЛА. Как следует из формулы

()

22 44 42 42 42 32

aa a a aaω= + + −

где ω

, как и постоянная времени Т, зависит от момента инерции, сте-

пени статической устойчивости и скоростного напора. С изменением

скорости и высоты полета, а также центровки ЛА, собственная частота

может изменяться в несколько раз.

Свойства динамической управляемости ЛА могут быть оценены

способностью быстро и без заметных колебаний отвечать на управляю-

щее воздействие, т. е. следовать за изменением положения органов уп-

равления. Оценка этого свойства ЛА может быть проведена по времени

запаздывания реакции ЛА на управляющее воздействие и по абсолют-

ной величине изменения параметров полета.

Время переходного процесс а показывает запаздывание реакции ЛА

на отклонение, например руля высоты.

Из рис. 10 следует, что наиболее короткий (в безразмерном времени)

переходный процесс получается при ξ ≈ 0,8. В этом случае его длитель-

ность равна t

≈ 3T=3/ω

Уменьшение коэффициента относительного демпфирования сопро-

вождает ся увеличением заброса параметров движения. Под забро сом

понимают увеличение параметра движения по сравнению с его устано-

вившимся значением.

Максимальное значение заброса в переходном процессе будет дос-

тигнуто в момент времени

, определяемый условием

0α=

, т. е.

через половину периода после начала переходного процесс а и будет

max уст

ξπ

−





α=α +





Относительный заброс будет