Большакова И.В. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
21
x=
2
1
(2,5,1)+
3
1
(10,1,5)-
6
5
(4,1,-1)=
6
1
[3(2,5,1)+2(10,1,5)-5(4,1,-1)]=
=
6
1
[(6,15,3)+(20,2,10)+(-20,-5,+5)]=
6
1
(6+20-20,15+2-
5,3+10+5)=
6
1
(6,12,18)=(1,2,3).
Задача решена.
Cкалярное произведение
двух векторов в координатной форме вычисля-
ется по формуле:
ab=а
x
b
x
+а
y
b
y
+а
z
b
z
.
Для скалярного квадрата аа получаем:
aa=а
x
a
x
+а
y
a
y
+а
z
a
z
=
2
z
2
y
2
x
aaa ++ ;
но, с другой стороны,
аa=⎪a⎪⎪a⎪cos0=⎪a⎪
2
.
Следовательно,
⎪a⎪=
2
z
2
y
2
x
aaa ++ .
Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в коорди-
натной форме.
Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисля-
ется по формуле
a×b=(а
y
b
z
-а
z
b
y
)i+(а
z
b
x
-а
x
b
z
)j+(а
x
b
y
-а
y
b
x
)k,
которую можно выразить через символический определитель третьего порядка
a×b=
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
.
Смешанное произведение трех векторов в координатной форме
a=а
x
i+а
y
j+а
z
k, b=b
x
i+b
y
j+b
z
k и c=с
x
i+с
y
j+с
z
k определяется формулой
abc=
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
.
Пример 2.
Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А(1,1,-1),
B(2,1,-3), C(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вер-
шины D на основание АВС.
Решение.
Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:
D
V
АВСD
=
3
1
S
АВС
H, А В
С
22
где V
АВСD
− объем пирамиды АВСD, S
АВС
− площадь основания АВС, Н − высо-
та пирамиды, опущенная из вершины D.
Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади па-
раллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно,
по определению векторного произведения
S
АВС
=
1
2
⎪АВ×АС⎪.
По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:
АВ=(b
x
-а
x
,b
y
-а
y
,b
z
-а
z
)=(2-1,1-1,-3-(-1))=(1,0,-2);
АС=(-1-1,1-1,1-(-1))=(-2,0,2).
Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно
АВ×АС=
202
201
−
−
kji
=i
20
20
−
-j
22
21
−
−
+k
02
01
−
=0i+2j+0k=2j
⇒ S
АВС
=
2
1
⎪2j⎪=
2
1
4
=1(кв.ед.).
Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема
параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по
геометрическому смыслу смешанного произведения
V
АВСD
=
6
1
⎪(АВ×АС)AD⎪.
Найдем координаты вектора AD:
AD=(0-1,7-1,3-(-1))=(-1,6,4).
Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно
(АВ×АС)AD=
461
202
201
−
−
−
={разложим определитель по второму столб-
цу}=6(-1)
3+2
22
21
−
−
=-6(2-4)=12
⇒ V
АВСD
=
6
12
=2(куб.ед) ⇒ Н=
ABC
ABCD
S
3V
=3⋅2=6(ед.).
Задача решена.
Замечание.
1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллело-
грамма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины,
например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
2. Объем треугольной пирамиды АВСD можно находить из объема па-
раллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной
точки, например
: АВ, АС и АD; ВА, BC и ВD; СА, CB и СD; DA, DB и DC.
23
2.3. Прямая
Нормальным вектором
прямой называется любой вектор, перпендику-
лярный прямой.
Направляющим
вектором прямой называется любой вектор, лежащий на
этой прямой.
Уравнения прямой на плоскости
1. На плоскости Oxy составим уравнение прямой
l
, проходящей через
точку М
0
(х
0
,у
0
), с нормальным вектором n=(А,В) (рис.6).
у
n(A,B)
l
М
0
(х
0
,у
0
)
О х
М(х,у)
Рис.6
Возьмем
любую
точку М(х,у), лежащую на прямой
l
, и рассмотрим век-
тор М
0
М=(х-х
0
,у-у
0
). Векторы М
0
М и n будут взаимно перпендикулярными по
определению нормального вектора: М
0
М⊥n. Следовательно, их скалярное про-
изведение будет равно нулю: n⋅М
0
М=0.
В координатной форме это равенство примет вид:
А(х-х
0
)+В(у-у
0
)=0 ⇔ Ах+Ву-Ах
0
-Ву
0
=0 ⇔ Ах+Ву+С=0, где С=-Ах
0
-Ву
0
.
Уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В не равны одновременно нулю
(А
2
+В
2
≠0), называется общим уравнением прямой.
Если В≠0, то это уравнение можно представить в виде уравнения с угло-
вым коэффициентом:
y=kx+b, где
B
C
b,
B
A
k
−=−= ,
притом k=tgϕ, где ϕ − угол наклона прямой к оси Ох.
Вывод. Прямая
на плоскости
однозначно определяется точкой и нор-
мальным вектором.
2. На плоскости Oxy составим уравнение прямой
l
, проходящей через
точку М
0
(х
0
,у
0
), с направляющим вектором s=(m,n) (рис.7).
М
0
(х
0
,у
0
) у
s(m,n) М(х,у)
l
r
0
r
О х
Рис.7
24
Пусть М(х,у) −
произвольная
точка прямой
l
, r=OM=(х,у) − ее радиус-
вектор, а r
0
=OM
0
=(х
0
,у
0
) − радиус-вектор точки М
0
. Тогда по правилу треуголь-
ника имеем:
OM=OM
0
+M
0
M.
Так как векторы M
0
M и s коллинеарны, то M
0
M=ts, где t − некоторое
число, называемое параметром. Подставляя это выражение в уравнение, полу-
чаем векторное уравнение прямой
:
r=r
0
+ts
или в координатной форме параметрические уравнения прямой
:
⎢
⎣
⎡
+=
+=
.ntyy
,mtxx
0
0
Пусть m и n отличны от нуля. Разрешим каждое из уравнений относи-
тельно t:
m
xx
t
0
−
=
и
n
yy
t
0
−
=
,
откуда получаем каноническое уравнение прямой:
n
yy
m
xx
00
−
=
−
.
Пусть прямая
l
проходит через две точки М
1
(х
1
,у
1
) и М
2
(х
2
,у
2
). Тогда в
качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор s=M
1
M
2
=(х
2
-х
1
,у
2
-
у
1
). Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
.
Вывод. Прямая однозначно определяется точкой и направляющим векто-
ром.
Пример.
Вершины треугольника находятся в точках А(2,2), В(1,-2), С(-
1,0). Найти проекцию точки А на основание ВС.
Решение
. Построим чертеж.
у
А(2,2)
С(-1,0)
О
1
х
Н
В(1,-2)
Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с перпен-
дикуляром, опущенным из А на ВС.
Составим уравнение прямой ВС по двум точкам:
BC
B
BC
B
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
⇒
)2(0
)2(y
11
1x
−−
−−
=
−−
−
⇒
25
2
2y
2
1x +
=
−
−
− каноническое уравнение прямой ВС
⇒ 2(х-1)=-2(у+2) ⇒ 2х+2у+2=0 ⇒
х+у+1=0 − общее уравнение прямой ВС.
Обозначим искомую проекцию точкой Н(х,у). Т.к. АН⊥ВС, то скалярное
произведение векторов
АН=(х-2,у-2) и ВС=(-1-(-1),0-(-2))=(-2,2)
равно нулю:
ВС⋅АН=0 ⇒ -2(х-2)+2(у-2)=0 ⇒ -2х+2у=0 ⇒
-х+у=0 − общее уравнение прямой АН.
Теперь найдем проекцию точки А на основание ВС. Для этого решим
систему:
⎩
⎨
⎧
0=y+x-
0,=1+y+x
⇔
⎩
⎨
⎧
-1=2x
y,=x
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
.
2
1
y
,
2
1
x
Следовательно, Н(
2
1
,
2
1
). Задача решена.
Замечание.
Уравнение прямой АН можно было находить другими спосо-
бами. Например, из общего уравнения прямой ВС х+у+1=0 можно выписать
координаты нормального вектора n
ВС
=(1,1) (коэффициенты при х и у соответ-
ственно). Т.к. ВС⊥АН, то нормальный вектор прямой ВС будет являться
направляющим вектором прямой АН: n
ВС
=s
АН
=(1,1). По нормальному вектору
s
АН
=(1,1) и точке А(2,2) составляем каноническое уравнение прямой АН:
n
yy
m
xx
BА
−
=
−
⇒
1
2y
1
2x −
=
−
⇒ х=у.
Уравнения прямой в пространстве
Уравнения прямой
l
, проходящей через точку М
0
(х
0
,у
0
,z
0
), с направляю-
щим вектором s=(m,n,p) в пространстве Oxyz составляются
аналогичным
плос-
кости образом.
Пусть М(х,у,z) −
произвольная
точка прямой
l
, r=OM=(х,у,z) − ее радиус-
вектор, а r
0
=OM
0
=(х
0
,у
0
,z
0
) − радиус-вектор точки М
0
(рис.8).
М(х,у,z)
М
0
(х
0
,у
0
,z)
z
s(m,n,p)
l
r
0
r
у
O
х Рис.8
26
Тогда векторное уравнение прямой
останется прежним:
r=r
0
+ts, где t - параметр.
Параметрические уравнения прямой
примут вид:
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+=
+=
.ptzz
,ntyy
,mtxx
0
0
0
В случае m≠0, n≠0 и p≠0 выразим канонические уравнения прямой
:
p
zz
n
yy
m
xx
000
−
=
−
=
−
.
Наконец, составим уравнения прямой, проходящей через две точки
М
1
(х
1
,у
1
,z
1
), М
2
(х
2
,у
2
,z
2
):
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
.
Внимание!
В пространстве
точка и
нормальный
вектор однозначным об-
разом определяют плоскость. Поэтому в пространстве общие уравнения пря-
мой будут задаваться линией пересечения двух плоскостей.
2.4. Плоскость
Плоскость в пространстве также можно задать разными способами (тре-
мя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости). В зависимости
от этого рассматриваются различные виды ее уравнений.
1. В пространстве Oxyz составим
уравнение плоскости P, проходящей
через точку М
0
(х
0
,у
0
,z
0
) перпендикулярно вектору n=(А,В,C) (нормальному век-
тору плоскости) (рис.9).
n=(А,В,C)
М(х,у,z)
z P М
0
(х
0
,у
0
,z
0
)
O y
x
Рис.9
Возьмем
любую
точку М(х,у,z), лежащую на плоскости, и рассмотрим
вектор М
0
М=(х-х
0
,у-у
0
,z-z
0
). Так как векторы М
0
М и n являются взаимно пер-
пендикулярными, их скалярное произведение равно нулю:
n⋅М
0
М=0
или в координатной форме:
А(х-х
0
)+В(у-у
0
)+С(z-z
0
)=0 ⇔ Ах+Ву+Сz+D=0, где D=-Ах
0
-Ву
0
-Cz
0
.
Уравнение Ах+Ву+Сz+D=0, где А, В и С не равны одновременно нулю
(А
2
+В
2
+С
2
≠0), называется общим уравнением плоскости.
27
2. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки
М
1
(х
1
,у
1
,z
1
), М
2
(х
2
,у
2
,z
2
) и М
3
(х
3
,у
3
,z
3
), не лежащие на одной прямой. Пусть
М(х,у,z) −
произвольная
точка этой плоскости. Рассмотрим векторы
M
1
M=(х-х
1
,у-у
1
,z-z
1
),
M
1
M
2
=(х
2
-х
1
,у
2
-у
1
,z
2
-z
1
),
M
1
M
3
=(х
3
-х
1
,у
3
-у
1
,z
3
-z
1
).
Эти векторы компланарны, поэтому их смешанное произведение равно
нулю: (M
1
M×M
1
M
2
)⋅M
1
M
3
=0. Условие компланарности трех векторов в коор-
динатной форме запишется так:
0
z-z y- yx-x
z-z y- yx-x
z-z y- yx-x
131313
121212
111
= .
Это и есть искомое уравнение плоскости.
2.5. Задачи на прямую и плоскость
Прямая как пересечение двух плоскостей. Рассмотрим две непараллель-
ные плоскости, заданные общими уравнениями. В этом случае плоскости пере-
секаются по прямой, определяемой уравнениями
⎩
⎨
⎧
0,=D+zC+yB+x
А
0,=D+zC+yB+xА
2222
1111
которые называются общими уравнениями прямой
.
Замечание.
Одна и та же прямая может быть задана различными систе-
мами двух линейных уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бес-
численное множество плоскостей.
Пример 1.
Общие уравнения прямой привести к каноническому виду:
⎩
⎨
⎧
=+−−
=+−−
.01z3y2x4
,05z2yx2
Решение.
Векторы n
1
=(2,-1,-2) и n
2
=(4,-2,-3) являются нормальными век-
торами плоскостей. Направляющий вектор прямой можно вычислить по фор-
муле
s=n
1
×n
2
,
т.к. он принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, удовлетворяет усло-
виям: s⊥n
1
, s⊥n
2
.
s=n
1
×n
2
=
324
212
−−
−−
kji
=(3-4)i-(-6+8)j+(-4+4)k=-i-2j
.
Найдем точку на прямой. Положив в общих уравнениях, например, х=0,
получим систему уравнений:
28
⎩
⎨
⎧
=+−−
=+−−
01z3y2
,05z2y
⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=
.9z
,13y
По точке на прямой (0,-13,9) и направляющему вектору s=(-1,-2,0) соста-
вим канонические уравнения прямой:
0
9z
2
13y
1
x −
=
−
+
=
−
.
Т.к. деление на нуль невозможно, то уравнения прямой примут вид:
9z,
2
13y
1
x
=
−
+
=
−
. Задача решена.
Расстояние от точки до прямой на плоскости. Пусть заданы прямая на
плоскости своим общим уравнением Ах+Ву+С=0 и точка М
0
(х
0
,у
0
), не лежащая
на этой прямой.
Найдем расстояние d от точки до данной прямой. Проведем из точки М
0
перпендикуляр М
0
М
1
на прямую
l
(рис.10).
y
M
0
(x
0
,y
0
)
l
d
n=(A,B)
M
1
(x
1
,y
1
)
O
x
Рис.10
Искомое расстояние d есть модуль вектора
М
1
М
0
=(х
0
-х
1
,у
0
-у
1
),
который коллинеарен вектору n=(A,B). Из определения скалярного произведе-
ния следует:
d=⎪М
1
М
0
⎪=
n
MMn
MMnn
MMn
1
1
1
0
0
0
),cos(
⋅
=
∠
⋅
или в координатной форме:
d=
22
1100
22
1010
BА
ByАxByАx
B
А
)yy(B)xx(А
+
−−+
=
+
−+−
.
А так как -Ах
1
-Ву
1
=С, то
d
22
00
BА
CByАx
+
++
=
.
Аналогично находится расстояние от точки до плоскости. Если заданы
плоскость своим общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 и точка М
0
(х
0
,у
0
,z
0
), не
принадлежащая этой плоскости, то расстояние d от точки до плоскости нахо-
дится по формуле:
d
222
000
CBА
DCzByАx
++
+++
=
.
29
Пример 2.
Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А(1,1,-1),
B(2,1,-3), C(-1,1,1) и D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из
вершины D на основание АВС.
Решение.
Искомая высота есть расстояние от точки D до плоскости АВС.
Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В и С. Возьмем
любую точку М(х,у,z), принадлежащую этой плоскости. Тогда векторы АМ=(х-
1,у-1,z+1), АВ=(1,0,-2) и АС=(-2,0,2) будут лежать в плоскости АВС и, следова-
тельно, их смешанное произведение будет
равно нулю:
(АМ×АВ)АС=
202
201
1z1y1x
−
−
+−−
=2(у-1)=0 ⇔ 2у-2=0 ⇔
у-1=0 − общее уравнение плоскости АВС. Применяя формулу расстояния
от точки до плоскости, получим
d
222
000
CBА
DCzByАx
++
+++
=
=
010
1307100
++
−⋅+⋅+⋅
=6(ед.).
Задача решена.
Пусть s
1
=(m
1
,n
1
,p
1
) и s
2
=(m
2
,n
2
,p
2
) − направляющие векторы двух прямых
в пространстве. Угол между двумя прямыми есть угол между их направляю-
щими векторами, т.е.
cosϕ=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
pnmpnm
ppnnmm
++++
++
=
21
21
ss
ss
.
Условие параллельности двух прямых: s
1
⎪⎪s
2
, т.е.
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
==
.
Условие перпендикулярности двух прямых: s
1
⊥s
2
⇔
s
1
s
2
=0, т.е.
0ppnnmm
212121
=++ .
Пусть n
1
=(A
1
,B
1
,C
1
) и n
2
=(A
2
,B
2
,C
2
) - нормальные векторы двух плоско-
стей в пространстве. Угол между двумя плоскостями есть угол между их нор-
мальными векторами, т.е.
cosϕ=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=
21
21
nn
nn
.
Условие параллельности двух плоскостей: n
1
⎪⎪n
2
, т.е.
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
А
А
== .
Условие перпендикулярности двух плоскостей: n
1
⊥n
2
⇔ n
1
n
2
=0, т.е.
0CCBBАА
212121
=++ .
Пусть прямая
l
задана каноническими уравнениями
p
zz
n
yy
m
xx
000
−
=
−
=
−
,
30
а плоскость Р − общим уравнением
Ах+Ву+Сz+D=0.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между пря-
мой и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до
2
π
к углу
между векторами s
l
=(m,n,p) и n
P
=(А,В,С) (рис.11):
n
Р
=(А,В,C)
l
π/2-ϕ s
l
=(m,n,p)
ϕ
z P
O y
x
Рис.11
Тогда
sinϕ=cos(
2
π
-ϕ)=
222222
pnmCBА
CpBnАm
++++
++
=
l
l
sn
sn
P
P
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: n
P
⎪⎪s
l
, т.е.
p
C
n
B
m
А
== .
Условие параллельности прямой и плоскости: n
P
⊥s
l
⇔ n
P
s
l
=0, т.е.
Am+Bn+Cp=0.
2.6. Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка
называется фигура на плоскости, задаваемая в
прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно
переменных х и у:
Ах
2
+Вху+Су
2
+2Dx+2Ey+F=0,
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю (А
2
+В
2
+С
2
≠0).
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из
типов:
эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллель-
ные прямые, прямая, точка, пустое множество
.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэф-
фициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки:
АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если ко-
эффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противополож-
ные знаки: АС<0.