Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів
Подождите немного. Документ загружается.
ВРІВНОВАЖЕННЯ ПОСЕРЕДНІХ ВИМІРІВ
§ 41. ПОСЕРЕДНІ ВИМІРИ
Як відомо, виміри називаються прямими, або безпосе
редніми, якщо вимірювана величина безпосередньо порівню
ється з одиницею міри.
Але часто доводиться мати справу з такими об’єктами,
визначити величину яких шляхом безпосередніх вимірів не
зручно, а іноді й цілком неможливо. В таких випадках за
стосовують так звані непрямі, або посередні виміри.
Щоб добре з’ясувати собі різницю між цими двома ви
дами вимірів, розглянемо такі приклади.
1. Як відомо, тиск повітря В можна визначити за допо
могою барометра-анероїда, причому він обчислюється за та
кою емпіричною формулою:
В = А+а+Ы? + с{7ЪО-А), (41,1)
де /° — температура анероїда, а — поправка за положення
шкали, b — температурний коефіцієнт, с — поправка на од
но ділення шкали, А — відлік по шкалі барометра-анероїда.
Величини А і t° одержують безпосередньо із спостере
жень. Для визначення тиску повітря В за формулою (41,1)
необхідно, очевидно, знати ще й величини а, b і с. Припусти
мо, що вони нам невідомі. їх визначають так: декілька ра
зів, по можливості при різних температурах і тиску повіт
ря, визначають атмосферний тиск В за допомогою ртутного
барометра і одночасно беруть відліки А і t° на шкалі баро
метра-анероїда і термометра. Таким чином одержують такі
ряди величин:
5], В2, В3,. . ., Вп,
А і, А2, A s, ..., Ап,
'"1 I l2 і ‘'й > • • • ! 1Л •
из
Підставивши їх у формулу (41,1), одержимо ряд таких
рівнянь:
в 1- Л ] + а + ^г:іо + с(760-Л 1),
В2 — А 2-і' (і + bt2° с (760—А 2),
Вп = Ап + а + bt„° + с (760—Ап ).
(41,2)
Для визначення трьох невідомих коефіцієнтів а, b і с до
сить мати лише три рівняння, тобто для розв’язання нашої
задачі досить провести лише три виміри. Але для того, щоб
виявити наявність у вимірах грубих помилок, щоб послабити
вплив випадкових помилок на . величини а, Ь, с, які ми визна
чаємо, а також для того, щоб надійніше зробити оцінку точ
ності, треба проводити значно більше вимірів, ніж це в дійс
ності потрібно.
Як бачимо, в нашому прикладі ми безпосередньо вимі
рювали функції Ві, В2, . . ., В„ невідомих а, b і с, а самі ці
невідомі визначаємо посереднім шляхом. Як із системи п
рівнянь, де 3, визначаються три невідомі а, b і с, буде по
казано далі.
2. Припустимо, що нам задано положення па площині
деяких точок А, В, С, D, Е (рис. 11) із прямокутними коор
динатами (хА, Уа), (Л'в, ув),
(Хс, Ус,), (XD, yD), {Хе, Уе).
Візьмемо тепер будь-яку
точку F з невідомими коор
динатами л> і уР. Для Тх
визначення проведемо ви
міри віддалей LAf, LBf, LCf,
Ldf, Lef між точкою F і
точками А , В, С, D і Е. Оче
видно, що вони будуть функ
ціями невідомих координат
точки F і, навпаки, коорди
нати точки F—Xf-'lyr є функ
ціями безпосередньо вимі
ряних віддалей Laf, Lbf, Lcf, Ldf, Lef. В нашому випадку ця
функціональна залежність має такий вид:
Lip = У(Хр—Хі f-Viyp-yi f-
(41,3)
Як і в першому прикладі, тут’ ми безпосередньо вимі
рювали функції невідомих величин хр і ур, а ці останні ви
значаються шляхом розв’язання рівнянь виду (41,3).
Тепер ми можемо дати таке визначення: посередніми ви
мірами невідомих величин х, у, г .. . називаються такі, коли
безпосередньо вимірюються деякі функції fi (я, у, z, . . .) від
шукуваних невідомих, а самі ці невідомі визначаються шля
хом обчислень як функції безпосередньо виміряних величин.
При цьому функціональна залежність між цими величинами
повинна бути відома з теорії.
Примітка.. Термін «посередні виміри» величин х, у, г. ... не є
цілком точний в буквальному розумінні, бо тут відшукувані величини не
вимірюються, а обчислюються за результатами безпосередніх вимірів їх
функцій.
§ 42. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ ВРІВНОВАЖЕННЯ
ПОСЕРЕДНІХ ВИМІРІВ
Розглянемо тепер питання, як за результатами безпосе
редніх вимірів функцій невідомих визначаються самі неві
домі.
Нехай були виміряні п функцій невідомих, істинні значен
ня яких позначимо через X, Y, Z, . . . , U, а одержані резуль
тати через L\, L2, . . . , Ln . Припустимо далі, що функціональ
ні залежності між невідомими і результатами вимірів нам
відомі, і в загальному вигляді запишемо їх так:
/,(* , Y, Z ,... , U) = Ly ,
M X , Y ,Z ,..., U) = L2',
................................................ (42,1)
f n(X, Y ,Z ,...t U) = Ln’,
де L i’ — істинні значення функцій/;.
Тут n^>k, де k — кількість невідомих.
Рівняння .(42,1) називаються початковими.
Якби виміри функцій /і, f2, , fn були проведені абсо
лютно точно, то рівняння (42,1) задовольнялися б однією
системою значень невідомих. У цьому випадку додаткові
п—k вимірів нам нічого нового не дали б і були б зайві. Але,
беручи до уваги наявність в результатах вимірів неминучих
випадкових помилок, ми повинні, щоб при певній системі
істинних значень невідомих X, Y, Z, . . . , U задовольнялись
рівняння (42,1), до величия L\, L2, ..., Ln додати ще деякі
поправки є,, е2, ..., є„ . Отже, початкові рівняння (42,1) ми по
винні записати так:
M X , r,z,..., £/)-А+® і.
f 2(X,Y,Z,..., (J)-L3 + e2, (42,2)
fn (X, Y,z,..:, U)~Ln + *n
1(1 П. T. Г.уіай
Очевидно, ЩО величини Є/, взяті з оберненим знаком, яв
лятимуть собою ніщо інше, як істинні помилки вимірів. Як
правило, вони будуть малі, бо всі виміри в геодезичній і
астрономічній практиці завжди проводяться ретельно і до
сить точними інструментами.
'Беручи до уваги, що є,- нам невідомі, можемо сказати, що
система рівнянь (42,2) щодо k невідомих X, Y, Z, U і
п поправок є,- є неозначеною, а тому ми не можемо знайти
істинні значення цих величин. Щоб розв’язати задачу, необ
хідно до неї ввести ще якісь додаткові умови.
Такі умови ми можемо ввести, якщо тільки відмовимось
від пошуків істинних значень невідомих. Замість них буде
мо знаходити їх найімовірніші значення
х, у, z, и, тобто
такі, які задовольняли б умову
\vv\ = minimum,
якщо виміри рівноточні, або
J pvv] =-• minimum,
якщо виміри нерівноточні.
При такій постановці задачі рівняння (42,2) можемо за
писати так:
/і (х, у, z, , и) — Lx +■»!,
f 2(x, у, z, ... , u) = L2 + v2, ^
fn{X, у, z, , u) = Ln + Vn .
В геодезичній літературі ці рівняння прийнято називати
рівняннями помилок, а величини Vj, v2, ..., vn —
найімовірнішими поправками до результатів вимірів.
З рівнянь помилок (42,3) і лри вказаних вище додаткових
умовах ми можемо знайти таку систему невідомих, при якій,
по-перше, суми [vv] або [pvv] будуть мінімальні і, по-друге,
значення невідомих х, у, z, . . . , и задовольнятимуть усі рів
няння (42,3). Розв’язати цю задачу — це й значить врівно
важити посередні виміри.
Розв'яжемо її спочатку їв загальному вигляді.
Нехай маємо систему рівнянь помилок (42,3), яку ми
запишемо так:
/і (х, у, z, . . . , и)— =
/2 (X, у, z, ... , u)~L2^ v2,
fn(x, у, z, .. . , u)—Ln =v„,
де n — кількість виміряних значень функцій, a k — кількість
невідомих аргументів; n^>k. Ваги вимірів нехай будуть
Ри р2, • • ■ , рп ■ Знайдемо з цих рівнянь невідомі при умові
F(x, у, z,. .., u)=p1vl2+p-.v22 +...+pnv„2 = minimum. (42,5)
Щоб знайти мінімум 'цієї функції, необхідно за відомим
з математики правилом взяти її часткові похідні по кожно
му аргументу, прирівняти їх до нуля і з одержаної системи
рівнянь визначити значення невідомих аргументів
х, у, z,
и, при яких функція (42, 5) матиме minimum. Отже, диферен
ціюючи, одержимо:
F/{x, у, z, . . . , u)=2plvl~ l + 2p.iv.i . . . +
+ 2pnvn~ = 0,
F / (х, у, z
............
u)^2plvlf U 2p.iv.i + ... +
, о d vn n
2p„
V n
-jjy- = 0,
Fz'(x, y, z, ... , u)^2plvld^ + 2p2v2 ~ 2+ . . . + .
+ 2pnVn%g--0, (42,6)
c- r Ґ \ r. , n dVl ,
Fa (x, y, z, ... , u)~2plvi7r?+2p2v27i-+ . . .
ldu
'Vn_
du
n dv n
2p„ vn = 0 .
Скоротивши ці рівняння на 2 і застосовуючи позначення
Гаусса для сум, можемо записати:
dv
P‘VЖ
pv
. dv
ду
dv
P V dz
= 0 ,
= 0,
- о .
(42,7)
dv
P V Wu
Такі рівняння називаються нормальними рівняннями в за
гальній формі. їх буде стільки, скільки є невідомих. Скла
даються вони лише тоді, коли кількість рівнянь помилок або
початкових рівнянь буде більшою від кількості невідомих ар
гументів. Якщо ж кількість .вимірів менша від кількості не
відомих, то задача буде неозначеною і .розв’язати її не можна.
Якщо ваги вимірів однакові, то можна припустити, що
Рі — р2 = ... = рп = 1, і рівняння (42,6) та (42,7) набе
руть відповідно такого вигляду:
рл х , У
.............
« ) - 2vl g + 2v*g + . . • + 2^ = 0,
/У (*, У, • . , , «) = 2 ^ I ’+ 2W g + . . . + 2г/я^ - 0 ,
................................................................................................... (42,8)
Fa (х, Уі , «) = 2v1d^ + 2v2d^i + . . .+ 2Vn~j- = 0,
або
dv
дх
dv
ду
= 0,
= 0,
(42,9)
v
dv
ди
§ 43. ПРИВЕДЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ ФУНКЦІЙ
ДО ЛІНІЙНОГО ВИДУ І РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ПОМИЛОК
МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Розглядаючи структуру нормальних рівнянь (42,6) і
(42,8), можна сподіватися, що вони будуть складними функ
ціями. Розв’язувати систему складних рівнянь трудно, а то
му для спрощення обчислень при складанні і розв’язуванні
нормальних рівнянь необхідно функції, які входять у рівнян
ня помилок, привести спочатку до більш простого лінійного
виду. Тоді і нормальні рівняння матимуть такий же вигляд
і їх легко розв’язати одним із способів, відомих з алгебри.
Приведення нелінійних функцій до лінійного виду прово
диться так.
Візьмемо систему рівнянь помилок (42,4) і знайдемо на
ближені значення невідомих, які ми позначимо через-
х0, уо, Zo, . .., и0. Це можна зробити різними способами, на-
приклад, так: відокремлюють від п рівнянь помилок (42,4)
групу В k рівнянь І, Прирівнявши поправки Vi, V2, Vk до
нуля, розв’язують цю відокремлену групу за правилами ал
гебри; знайдені корені цих рівнянь і приймають за набли
жені значення. Зв’яжемо найімовірніші значення невідомих
х, у, z, и, які ми знайшли б із розв’язання системи рів
нянь (42,4) при додатковій умові [pvv] = minimum, з на
ближеними їх значеннями такими рівностями:
х = х0 + (х),
У=Уо + (У),
z = z0 + (z), (43,1)
и = и0 + (и).
Тут (х), (у), (г), (и) є малі невідомі поправки до
наближених значень невідомих, які ми повинні знайти.
Підставивши (43,1) в (42,4), будемо мати:
/ і {■*<> + (*). Уо+(У), zo+(z)> ■ ■ ■ > « о - К « ) } —
f 2{x0 + (x), УО + СУ), zo + (z)y ••• - u0+(u)}-L2 = v2,
..........................................................................
..
.........................
(43,2)
fn{x0+(x), у 0 + (у), z0 + (z), ... , U0 + (tl)} Ln=Vn.
Розкладемо тепер в лівих частинах цих рівнянь функції
в ряд Тейлора, обмежуючись при розкладанні членами з по
правками (х), (у), (г), . . . , (и) в перших степенях:
/ і(* 0» Уо, 2 0> . . . , Ио)+ ( £ i )oW + ( Щ ) № +
Введемо для скорочення записів такі позначення:
Уі (•*• о> Уо> ^0,' • • • , М0) ^ 1 = А>
f ‘i { x
0> З'о, «0, • • • ) «о) ^2 ~ ^2»
Отже, величини /і, 12, .. . , Іп є. різниці між наближеними та
виміряними значеннями функцій f,-; а,-, 6 ,-, с і , , 11 — їх.
часткові похідні, які обчислюються за наближеними значен
нями аргументів № Zo, . . ., «о.
З позначеннями (43,4) та (43,5) рівняння (43,3) набе
руть такого остаточного вигляду:.
a1(x) + bl(y) + c1(z) + . . . + tt(u) + ll = vl,
a2(x) + b.,(y) + c.,(z) + . . . +to(u) + Li = v.>, . ■
(43,6)
CLn (-£) "h bn (_y) + Cn (z ) -f- . . . + tn (U) Л' ln ~ 'Vrt.
Ми одержали систему рівнянь помилок в лінійному виді
відносно невідомих полравок (х), (у), (г), ..., (и).
Далі розв’язуємо задачу звичайним шляхом згідно з ви
кладеною вище загальною теорією.
Визначимо невідомі поправки (х), (у), (z), . . . , (и) до
наближених значень х0, уо, z0, . . . , и0 відшукуваних аргумен
тів при умові, щоб функція
\pvv\ = minimum,
або в розгорнутому виді
F{(x), Су), (*). ■ ■ ■ (u)}=PAai(x) + b1{y) + c1(z) + . ..+
+ ^і(и) + /]}2 +
+ Рг { а2 (Х) + ^2 (.У) + С2 (Z) + • • ■ + ^2 (и) + 4 } 2 +
............................................................................................ (43,7)
+Pn{an(x) + b„(y) + c„(z)+ ... +tn(ii) + ln}2 =
= minimum.
Для цього знаходимо часткові похідні цієї функції по
кожній невідомій поправці і прирівнюємо їх до нуля:
F / = 2pla1{a1(x) + b1(y) + c1(z) +
+ ... +^i(u) + /j} +
+ 2 р2а2 {а2 (х) + b2(y) + c2(z) + ... + t 2 (и) + /2} + (43,8)
.......................................t...................................................................................
+ 2 рпап{а„(х) +bn(y) + cn{z) f . .. t„(u) + l„} = 0
Скоротивши на 2 і звівши подібні члени по невідомих по
правках, одержимо в позначеннях Гаусса таке рівняння:
Іраа] (х) + \pab] (v) + [рас] (z) + ... + [pat] (и) +
+ [pal] =0. (43,9)
Часткову похідну функції (43,7) по (у) знаходимо так
само:
F / = 2 р, b1{a1 (x) + bl(y) + ci (z)+ . .. +t1(u) + li} +
A 2p2b2{a2(x) V b2(y) V c2{z) + ... +t2(u) + l2} +
■ ■ ........................................................................................(43,10)
+ 2 pn b„{an{x) \ bn(y)Acn(z) 1- .. . + t„(u) + l„} = 0,
звідки
[pab] (x) + [pbb] (y) -+ [pbc] (z) + .. . + [pbt] (u) +
+ [pbl 1=0 (43,11)
і Т. Д.
Таким способом одержимо систему рівнянь:
А
І
[раа](х) + [pab\(.у) + \pac](z) +... f [pat](и) + [pal] = 0
[pab] (x) + [pbb] (y) f [pbc] (z) +... + [pbt] (u) + [pbl] = 0
\pac](x) + \pbc](y)+ [pcc[ (z) +. . . Ь Ipct](u) + [pel] =0 (43,12)
I pat] (x) + [pbt] (y) + [pet] {z) +... + [ptt] (u) + [ptl] = 0.
—T
в
Ці рівняння називаються нормальними. їх буде
стільки, скільки є поправок до наближених значень невідомих
х0, уо, Zo, и0. Отже, число їх достатнє для визначення
цих поправок.
Нормальні рівіняння (43,12) мають дві характерні особ
ливості:
1) по діагоналі АВ розташовані квадратичні коефіцієнти
і всі вони є величини додатні;
2) коефіцієнти, розташовані симетрично відносно діагона
лі, попарно рівні між собою.
Розглядаючи часткові похідні (43,8) і (43,10), легко
прийти до висновку, що нормальні рівняння можна записати
в такому вигляді:
[pav] = [pbv] = [pcv] =... = [ptv] = 0. (43,13)
Розв’язавши нормальні рівняння одним із способів, які
ми розглянемо далі, знайдемо поправки (х), (у), (z), . . . , (и)
і найімовірніші значення відшукуваних невідомих х, у, г,..., и
за формулами
= + (•*),
У“Уо + (У),
z = z0 + (z),
и = и0 + (и).
Найімовірніші поправки vu у2, • • • , vn до виміряних вели
чин Li, L2, . . ., Ln знайдемо, підставивши (х), (у), (z),...(u)
в рівняння помилок (43,6). Нарешті обчислюється сума
[pvv], яка надалі буде потрібна для оцінки точності виміря
них і знайдених в результаті врівноваження величин.
В тому випадку, коли виміри проведені з однаковою точ
ністю, рівнянням помилок (43,6) можна приписати ваги
рі = Рі = • • • = Рп'~ 1 і відшукування невідомих х, у, z, .... и
провадити при умові [vv] = minimum. Легко побачити, за
стосувавши загальну теорію врівноваження посередніх вимі
рів, що в цьому випадку нормальні рівняння (43,12) і (43,13)
матимуть відповідно такий вигляд:
[aa]{x) + [ab]{y) + [ас\(г) + ...+ [at\(n) + [аі] = 0,
[a&](x)+ [bb\{у)+ [bc](z) + ... + [bt] (и) + [Ы] = 0,
\ac](x) + [bc](y) + [cc](z) + . .. + [ct] (и) + [cl] =0, (43,14)
[at] (jc) + [bt] (у) + [ct] (z)+ . .. + [tt] (в) + [tl] - 0,
[av] = [bv] = [cv] =... = [tv] =0. (43,15)
§ 44. ВРІВНОВАЖЕННЯ КУТОВИХ ВИМІРІВ
НА СТАНЦІЇ
Застосуємо викладену вище загальну теорію врівнова
ження посередніх вимірів на конкретному прикладі.
Нехай на тригонометричному пункті А (рис. 12) були ви