Черевко А.И., Ивлев М.Л., Федотова А.А. Электротехника и электроника. (Часть I) Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока
Подождите немного. Документ загружается.
При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на
них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:
U
1
: U
2
: . . . : U
n
= R
1
: R
2
: . . . : R
n
.
В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений:
U
1
/U
2
=R
1
/R
2
; U
1
=UR
1
/(R
1
+ R
2
) ; U
2
=UR
2
/(R
1
+ R
2
),
где U – общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два
сопротивления R
1
и R
2
.
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним
эквивалентным.
Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены
к одной паре узлов (рис. 1.4). Очевидно, что при этом все параллельно
соединенные сопротивления находятся под одинаковым напряжением,
равным напряжению источника питания.
Рис. 1.4. Параллельное соединение сопротивлений
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно
соединенных сопротивлений, определяется из формулы:
∑
=
=+++=
n
k
knЭ
RRRRR
1
21
11
...
111
.
В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R
1
и R
2
эквивалентное сопротивление равно
21
21
RR
RR
R
Э
+
⋅
=
.
Преобразование треугольника сопротивлений (рис. 1.5) в
эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 1.6):
11
Рис. 1.5. Соединение Рис. 1.6. Соединение сопротивлений
сопротивлений треугольником звездой
12 31
1
12 23 31
R R
R
R R R
Ñ
=
+ +
;
23 12
2
12 23 31
R R
R
R R R
Ñ
=
+ +
;
312312
2331
3
RRR
RR
R
++
⋅
=
g
g g
g g g
12
1 2
1 2 3
=
⋅
+ +
;
2 3
23
1 2 3
g g
g
g g g
Ñ
=
+ +
;
g
g g
g g g
31
3 1
1 2 3
=
⋅
+ +
,
где g – проводимость соответствующей ветви (см. рис. 1.5 и рис. 1.6).
Обратное преобразование звезды сопротивлений (рис. 1.6) в
треугольник сопротивлений (рис. 1.5):
3
21
2112
R
RR
RRR
⋅
++=
;
R R R
R R
R
23 2 3
2 3
1
= + +
⋅
;
3 1
31 3 1
2
R R
R R R
R
Ñ
= + +
.
Метод замены параллельно соединенных источников тока одним
эквивалентным.
Если несколько источников тока с токами J
1
, J
2
, ..., J
n
и внутренними
проводимостями g
1
, g
2
, ..., g
n
соединены параллельно (рис. 1.7), то их
можно заменить одним эквивалентным источником тока, ток которого J
Э
равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость g
Э
равна сумме внутренних проводимостей отдельных источников (рис. 1.8):
∑
=
=
n
k
kЭ
JJ
1
,
∑
=
=
n
k
kЭ
gg
1
.
Рис. 1.7. Параллельное соединение Рис. 1.8. Эквивалентный
источников тока источник тока
12
1.4.7. Баланс мощностей.
Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р
и
,
развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей
Р
п
, расходуемых в приемниках энергии:
∑
Р
и
=
∑
Р
п
, или
∑
(E
k
I
k
+ U
k
J
k
)=
∑
I
2
k
R
k
,
где
∑
E
k
I
k
– алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых,
для которых направления действия э.д.с. E
k
и соответствующего тока I
k
совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;
∑
U
k
J
k
–
алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых
напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней
по отношению к зажимам источника тока) и его ток J
k
совпадают по
направлению, в противном случае слагаемое отрицательно;
∑
I
2
k
R
k
–
арифметическая сумма произведений; здесь должны быть учтены как
внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.
Оба закона Кирхгофа являются следствиями закона сохранения энергии
применительно к электрическим цепям.
2. Cведения из теории цепей переменного тока.
2.1. Основные понятия и определения.
Переменный ток – это ток, изменяющийся во времени по величине и
направлению.
В практической электротехнике в большинстве случаев переменные
токи, напряжения и э.д.с. – это величины, изменяющиеся по
синусоидальному закону (см. рис. 2.1).
Рис. 2.1. Синусоидально изменяющийся ток
Наименьший промежуток времени, через который периодически
изменяющаяся величина повторяется по форме и величине, называется
периодом Т.
13
Значение синусоидально изменяющейся функции в любой момент
времени (то есть ордината функции) называется мгновенным значением
(соответственно, мгновенным значением тока, напряжения или э.д.с.).
Мгновенное значение синусоидально изменяющейся величины может
быть задано выражением вида:
a(t)=A
m
sin(
ω
t +
ψ
)=A
m
sin
[ω
(t +
ψ
ω
)
]
,
где A
m
– максимальное значение, или амплитуда (I
m
на рис. 2.1);
ω
t+
ψ
–
фаза (фазовый угол);
ψ
– начальная фаза (начальный фазовый угол);
ψ/ω
–
начальный фазовый сдвиг;
ω
– угловая частота.
Период Т, угловая частота
ω
и частота f связаны соотношениями:
ω=2π
f
=2π/Τ
; f
=1/Τ
.
Понятия начальной фазы и сдвига по фазе проиллюстрируем рис.
2.2, на котором изображены два синусоидальных тока одинаковой
частоты: i
1
(t)=I
m1
sin(ωt+ψ
1
), i
2
(t)=I
m2
sin(ωt+ψ
2
).
Начальная фаза всегда отсчитывается в момент перехода кривой из
отрицательной области в положительную в сторону начала координат
(переход берут ближайший к началу координат). Знак начальной фазы
определяют из сопоставления направления отсчета начальной фазы и
положительного направления оси абсцисс: если они совпадают, знак
начальной фазы положительный, в противном случае – отрицательный.
Рис. 2.2. К понятию начальной фазы
Сдвиг по фазе двух синусоидальных функций одной частоты
определяют как разность их начальных фаз: Δψ=ψ
1
–ψ
2
; причем если
Δψ=(ψ
1
– ψ
2
)>0, то ток I
1
опережает ток I
2
по фазе, а если Δψ=(ψ
1
– ψ
2
)<0, то
ток I
1
отстает от тока I
2
по фазе.
Таким образом, если начала функций времени одной частоты не
совпадают, то они сдвинуты по фазе, Δψ≠0. Если начала функций
14
совпадают, то они синфазны, Δψ=0. Если начала функций времени
сдвинуты на ±π (±180º), то они находятся в противофазе, Δψ=±π. Если
начала функций времени сдвинуты на ±π/2, то они находятся в квадратуре,
Δψ=±π/2.
Действующие значения переменных токов, напряжений, э.д.с.
определяются как
∫
=
T
tdti
T
I
0
2
)(
1
ω
(для напряжения и э.д.с. структура выражений аналогична). Для
синусоидально изменяющихся э.д.с., напряжения и тока
E=E
m
/
2
=0,707E
m
, U=U
m
/
2
, I=I
m
/
2
.
Средние значения переменных токов, напряжений, э.д.с. за
положительную полуволну определяются как
∫
=
2
0
)(
2
1
T
СР
tdti
T
I
ω
(для напряжения и э.д.с. структура выражений аналогична). Для
синусоидально изменяющихся э.д.с., напряжения и тока
Е
ср
=2
Ε
m
/
π
=0,637Е
m
, U
ср
=2U
m
/
π
, I
ср
=2I
m
/
π
.
Среднее значение синусоидально изменяющейся величины
а(t)=A
m
sin(
ω
t+
ψ
) за целый период равно нулю.
Изображение синусоидальной функции вращающимся вектором.
Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной
угловой скоростью
ω
вектора
A
→
m
на вертикальную ось изменяется во
времени по синусоидальному закону: a(t)=A
m
sin(
ω
t
+ψ)
, поэтому любая
синусоидальная функция (ток, напряжение, э.д.с.) может быть изображена
в виде вектора.
2.2. Изображение синусоидальной функции комплексным числом.
Символический метод расчета цепей синусоидального тока.
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на
изображении гармонических функций времени комплексными числами,
называется символическим методом. Сущность символического метода
состоит в том, чтобы, используя комплексные числа, перейти от
составления и решения интегро-дифференциальных уравнений для
м г н о в е н н ы х значений токов и напряжений к составлению и решению
алгебраических уравнений для функций о п е р а т о р а к о м п л е к с н о й
плоскости.
В курсе электротехники используются следующие формы записи
комплексного числа:
а) алгебраическая
jbaA
+=
;
б) показательная
ψ
j
AeA
=
;
15
в) тригонометрическая
ψψ
sincos
jAAA
+=
.
Здесь
[ ]
AAa
Recos
==
ψ
– действительная часть комплексного числа
A
;
[ ]
AAb
Imsin
==
ψ
– мнимая часть комплексного числа
A
;
22
baA
+=
–
модуль комплексного числа
A
;
a
b
arctg
=
ψ
– аргумент комплексного числа
A
;
2
1
π
j
ej
=−=
– мнимая единица или оператор поворота на угол
π/2
=90
0
(умножение на +j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на
угол 90
0
, а умножение на
2
π
j
ej
−
=−
– к повороту вектора на угол 90
0
по
часовой стрелке).
Комплексное число изображается в системе координат (+1; +j)
следующим образом (рис. 2.3):
Рис. 2.3. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости
Действия над комплексными числами.
а) С использованием алгебраической формы записи комплексного числа
(пусть
A
=(a
1
+jb
1
),
B
=(a
2
+jb
2
)):
- сложение:
A
+
B
=(a
1
+jb
1
)+(a
2
+jb
2
)=(a
1
+a
2
)+j(b
1
+b
2
)=
C
;
- умножение:
A
⋅
B
=(a
1
+jb
1
)
⋅
(a
2
+jb
2
)=(a
1
a
2
–b
1
b
2
)+j(a
1
b
2
+a
2
b
1
)=
D
;
- деление:
( ) ( )
( ) ( )
F
ba
baba
j
ba
bbaa
jbajba
jbajba
BB
BA
B
A
=
+
−
+
+
+
=
−⋅+
−⋅+
==
∗
∗
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2222
2211
,
где число
∗
B
– комплексно-сопряженное числу
B
(отличаются знаком
мнимой части). Произведение комплексно-сопряженных чисел –
действительное число, равное квадрату их модуля:
2
BBB
=⋅
∗
.
б) С использованием показательной формы комплексного числа (пусть
a
j
AeA
ϕ
=
,
b
j
BeB
ϕ
=
): в этом случае удобнее производить операции
умножения, деления, возведения в степень, чем в случае использования
алгебраической формы.
- умножение:
( )
baba
jjj
ABeBeAeBA
ϕϕϕϕ
+
=⋅=⋅
;
- деление :
( )
ba
b
a
j
j
j
e
B
A
Be
Ae
B
A
ϕϕ
ϕ
ϕ
−
==
;
- возведение в степень:
( )
( )
a
n
a
n
jn
n
n
j
n
njAnAeAAeA
aa
ϕϕ
ϕϕ
sincos
+===
;
- извлечение корня:
n
j
n
n
j
n
a
a
eAAeA
ϕ
ϕ
⋅==
1
.
Различные формы записи комплексного числа объединяются между
собой при помощи формулы Эйлера:
16
( )
ϕϕ
ϕ
sincos jAeA
j
±=⋅
±
.
Мгновенное значение синусоидальной функции есть мнимая часть
изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на e
+j
ω
t
:
a(t)=Im
[
A
.
m
e
j
ω
t
]=
Im
[
A
m
e
j(
ω
t
+
ϕ)
]=
A
m
sin(
ω
t+
ϕ)
.
Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее
производной и интеграла представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Временная и
комплексная
записи
Функция
Производная
функции
Интеграл от функции
Запись во
временной
области
a=A
m
sin(
ω
t
+
ψ
)
da
dt
=
ω
A
m
cos(
ω
t+
ψ
)
adt
A
= -
m
0
t
ω
∫
cos(
ω
t+
ψ
)
Комплексная
функция
времени
A
m
e
j
⋅
(
ω
t +
ψ
)
ω
A
m
e
j
⋅
(
ω
t +
ψ
+
π
/ 2)
1
ω
⋅
A
m
e
j
⋅
(
ω
t +
ψ
-
π
/2)
Комплексная
амплитуда
A
.
m
= A
m
e
j
ψ
j
ω
A
.
m
1
j
ω
A
.
m
Комплексное
действующее
значение
A
.
= A
m
e
j
ψ
j
ω
A
.
1
j
ω
A
.
Например, для тока i, падения напряжения на активном
сопротивлении u
R
, индуктивности u
L
и емкости u
C
соответствующие
комплексные амплитуды записываются следующим образом:
( )
( )
( )
( )
mCm
t
mC
mLmmL
mRmmR
j
mmm
I
C
jUtI
C
dtti
C
u
ILjUtLI
dt
di
Lu
IRUtRIiRu
eIItIi
ω
ψω
ω
ωψωω
ψω
ψω
ψ
1
cos
1
)(
1
cos
sin
sin
0
−=→+−==
=→+==
=→+==
=→+=
∫
(здесь стрелка → означает знак соответствия).
2.3. Элементы электрической цепи переменного тока.
В таблице 2.2 приведены пассивные элементы, их изображения и
обозначения, формы записи сопротивления и проводимости.
Таблица 2.2
Наименова-
ние
элемента
Свойства
элемента
Изображе-
ние и
буквенное
обозначение
Сопротив-
ление при
синусоид.
токе
Запись
сопротив-
ления в
комплекс-
Проводи-
мость
при
синусои-
Запись
проводи-
мости
в комп-
17
ной форме дальном
токе
лексной
форме
Резистор
Эл. соп-
ротивле-
ние
R
R R g = 1/R g = 1/R
Индуктив-
ная катушка
Индук-
тивность
L
x
L
=ωL Z
L
= jωL
b
L
=
1
ω
L
Y
L
=1/Z
L
=
= – jb
L
Конденса-
тор
Емкость
C
x
C
=1/ωC
Z
C
= –j
1
ω
C
b
C
= ωC
Y
C
=1/Z
C
=
= jb
C
2.4. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме записи.
Закон Ома:
Z
U
I
=
,
где Z – комплексное сопротивление участка цепи.
Например, для изображенной на рис. 2.4. цепи, комплексное
сопротивление равно Z = R+j(x
L
–x
C
).
Рис. 2.4. Цепь с активно-индуктивно-емкостной нагрузкой
Первый закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных токов
соответственно:
0
1
=
∑
=
n
k
k
i
;
0
1
=
∑
=
n
k
k
I
.
Второй закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных напряжений
и э.д.с. соответственно:
( )
∑∑
==
++=
n
k
CkLkkk
n
k
k
uuiRe
11
;
∑∑
==
=
n
k
k
n
k
k
ZIE
11
.
2.5. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений
и проводимостей.
На рисунках 2.5 и 2.6 изображены соответственно последовательная
и параллельная электрические цепи.
При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно
∑
=
=
n
k
k
ZZ
1
.
18
При параллельном соединении общая проводимость цепи равна
∑
=
=
n
k
k
YY
1
.
Формулы для преобразования последовательной цепи в
параллельную и для выполнения обратного преобразования имеют вид:
Y =
Z
1
=
2 2 2 2
R X
j
R X R X
−
+ +
= g – jb; g =
Z
R
2
; b =
Z
X
2
;
Z =
2222
bg
b
j
bg
g
jb-g
1
Y
1
+
+
+
==
= R + jX; R =
y
g
2
; X =
y
b
2
.
(здесь g и b – соответственно активная и реактивная проводимости; R и X –
активное и реактивное сопротивления).
Рис. 2.5. Последовательное Рис. 2.6. Параллельное соединение
соединение сопротивлений проводимостей
Необходимо помнить, что взаимообратными являются лишь
комплексы Z и Y, а их составляющие R и g, Х и b не являются таковыми.
2.6. О применимости методов расчета цепей постоянного тока к
расчетам цепей синусоидального тока.
Структура формул законов Ома и Кирхгофа для цепей постоянного и
синусоидального тока идентичны, поэтому методы расчета цепей
постоянного тока, базирующиеся на законах Кирхгофа, могут быть
использованы при расчете цепей переменного тока в случае применения
комплексов.
2.7. Мощность в цепи синусоидального тока.
Мгновенная мощность в цепи с током i(t)=I
m
sinωt и напряжением
u(t)=U
m
sin(ωt+φ) определяется как их произведение:
p(t)= i(t)·u(t)= U
m
I
m
·sinωt·sin(ωt+φ)=UIcosφ–UIcos(2ωt+φ).
Комплексная полная мощность цепи переменного тока определяется
как:
ϕ
ϕϕ
j
SejQPjUIUIIUS
=+=+=⋅=
∗
sincos
,
где S=U
⋅
I – модуль полной мощности;
19
[ ]
ϕ
cosReRe
UIIUSP
=
⋅==
∗
– активная мощность;
[ ]
ϕ
sinImIm UIIUSQ
=
⋅=−
∗
– реактивная мощность.
Единица измерения полной мощности – вольтампер (ВА). Активную
мощность измеряют в ваттах (Вт), а реактивную – в вольтамперах
реактивных (ВАр).
Баланс мощностей цепи переменного тока в комплексной форме
записи имеет вид:
( )
∑∑
==
∗∗
−⋅+=
+
n
k
CkLkkkk
n
k
kkkk
XXjIRIJUIE
1
22
1
)(
,
где
k
U
– напряжение на источнике тока
k
J
.
2.8. Треугольники токов, напряжений, сопротивлений,
проводимостей и мощностей.
Так как токи (напряжения и т.д.) при использовании символического
метода представлены в виде комплексов, то, отложив вдоль
действительной оси комплексной плоскости активную составляющую тока
(напряжения и т.д.), а вдоль мнимой оси - реактивную составляющую,
получим треугольник токов (напряжений и т.д.), который дает
графическую интерпретацию связи между модулем тока (напряжения и
т.д.) и его активной и реактивной составляющими. На рисунках 2.7 и 2.8
приведены треугольники сопротивлений и проводимостей RL - цепи.
Рис. 2.7. Треугольник Рис. 2.8. Треугольник
сопротивлений проводимостей
2.9. Векторные и топографические диаграммы.
Векторной диаграммой называется совокупность векторов на
комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся
функции времени одной частоты и построенных с соблюдением
правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.
Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока
рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы
иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.
Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих
комплексные потенциалы одноименных точек схемы, называется
20